人教版八年级上册第3讲 全等三角形讲义

第3讲全等形和全等三角形
全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个图形经过平移、翻折、旋转后位置变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转后的图形全等。

重合的顶点叫做对应点：A→D，B→E，C→F；
重合的边叫做对应边:AB→DE，AC→DF，BC→EF；
重合的角叫做对应角：∠A→∠D，∠B→∠E，∠C→∠F ；记作△ABC≌DEF
全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等。

即AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
【例1--1】:△ABC△△DEF，△A的对应角是△D，△B的对应角△E，则△C与______ 是对应角；AB与____ 是对应边，BC与_______ 是对应边，AC与_______ 是对应边.
【例1--2】如图的两个三角形全等.∠B和∠D，∠BAC与∠DCA是对应角。

（1）若按对应顶点写在对应位置上，则应写为△ABC△__________.
（2）找出对应边和对应角.
【例1--3】如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=7,BC=4,
∠D=35°,∠C=60°(1)求线段AE的长。

(2)求∠DFA的度数。

【例1--4】如图,A、D.E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE，试说明：
(1)BD=DE+CE；(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE?
A B C A’ B’ C’
全等三角形的判定
Ⅰ。

边边边（SSS ）
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。

书写格式：
在△ABC 和△A ’B ’C ’中，
∵⎪⎩⎪⎨⎧===''''''C B BC C A AC B A AB
∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（SSS ）
【例2--1】：如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F 是AC 上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中全等三角形有( )
A. 4对
B. 3对
C. 2对
D. 1对
练习：如图,在△ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点 F. 若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则
∠ACB 等于( )
A. ∠EDB
C. 2
1∠AFB ABF
【例2--2】如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=DF ，AC=DE ，
BE=FC.
（1）证明：△ABC△△DEF.
（2）若△A=65°，求△D 的度数.
【例2--3】如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接A 与BC 中点D 的支架。

求证：△ABD△△ACD.
A B C A’ B’ C’
【例2--4】如图，AC=BD ，AB=DC ，求证：∠B=∠C.
变式练习：如图AB=AC ，BD=CD ，求证：∠B=∠C
【例2--5】如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BE=CD 。

(1)求证：△BAC=△EAD ； (2)写出△1、△2、△3之间的数量关系，并予以证明。

Ⅱ。

边角边（SAS ）
三角形全等的判定方法二：SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）。

书写格式：
在△ABC 和△A ’B ’C ’中，
∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠='''''C A AC A A B A AB
∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（SAS ）
知识延伸：“SAS ”中的“A ”必须是两个“S ”所夹的角。

【例3--1】如图，下列条件中能使△ABC
≌△ADC
的是（ ）
A.AB=AD，∠B=∠D
B.AB=AD，∠BAC=∠DAC
C.AB=AD，∠ACB=∠ACD
D.BC=DC，∠BAC=∠DAC
练习：如图,AB=DB,BC=BE,欲证△ABE≌△DBC,则可增加的条件是( )
A.∠ABE=∠DBE
B.∠A=∠D
C.∠E=∠C
D.∠1=∠2
【例3--2】如图,点C在线段AB上,AD∥EB，AC=BE，AD=BC.CF平分∠DCE.
求证：(1)△ACD≌△BEC；(2)CF⊥DE.
【例3--3】如图，已知AB＝AD，BC＝DC．求证：OB＝OD．
【例3--4】如图，点D.E分别是AB、AC上的点，AD=AE，BD=CE.
求证：△B=△C.
练习：1.如图，AB，CD交于O点，且互相平分，则图中的全等三角形有（）
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
2.如图，已知AB∥CD，AB=CD，AF=CE，判断DF与BE是否平行，并说明理由。

3.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60∘,∠C=25∘，则∠BED=______度。

【例3--5】如图，点E, F在BC上，BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C.
求证: ∠A=∠D
作业3：
1.如图，△ABC中，AB=AC，BE=EC，直接使用“SSS”可判定（）
A.△ABD△△ACD
B.△ABE△△ACE
C.△BED△△CED
D.△ABE△△EDC
2.如图2,△ABC≌△DEC,∠A=70∘,∠ACB=60∘,则∠E的度数为（）
A.70∘
B.50∘
C.60∘
D.30∘
3.如图3所示,AC=DF,BD=EC,AC△DF,△ACB=80△,△B=30△，则△F=___.
图2 图3 图4
4.如图3，已知∠l=∠2，AD =AC，则△______≌△_______ ，其依据是_____________。

5.如图4，∠l=∠2，AB =AC，AE=AD，则△ABD≌△______，依据是_____________，由此还可得BD=______。

6.如图,已知△ACE≌△DBF，点A. B. C.D在同一条直线上，AE=DF，CE=BF，AD=8，BC=2.（1）求AC的长；（2）求证：CE∥BF.
7.如图，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，AD=CE=2，BD=AE=4.
(1)直接写出梯形BDEC的面积为___________.
(2)求证：AB=AC.
(3)求AB长的范围。

8.如图所示,AC=DF,BD=EC,AC△DF,△ACB=80△,△B=30△，求△F.。