位置矢量运动方程轨迹方程位移-新乡学院精品课程

t 0 t 0
3、角加速度 为了描述角速度变化的快慢，引进角 加速度概念。 （1）平均角加速度： 设在 t 内，质点角速度增量为 定义： （2-12） t 称为时间间隔内质点的平均角加速度 瞬时角加速度： d d 定义： lim lim t dt dt （2-13） 称为 t 时刻质点的瞬时角加速度，简称 角加速度。 d d （2-14） dt dt
y B , t t

O
A, t
x
图 1-11
2、角速度 平均角速度： 定义： （2-9） t 称为平均角速度。平均角速度粗略地描述 了物体的运动。为了描述运动细节，需要引 进瞬时角速度。 d lim lim t dt 定义： （ 2-10 ） d （2-11） dt 结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导 数 说明：角速度是矢量,方向与角位移 方向一致。
此时0?nar????????????000000dvdvdvdtdvat匀速曲线运动减速曲线运动加速曲线运动?????????????????????斜抛平抛竖直下抛抛体运动匀速圆周运动减速圆周运动加速圆周运动圆周运动曲线运动特例1角坐标如图111t时刻质点在a处tt时刻质点在b处是oa与x轴正向夹角是ob与x轴正向夹角称为t时刻质点角坐标为t时间间隔内角坐标增量称为在时间间隔内的角位移
加速圆周运动 圆周运动 减速圆周运动 匀速圆周运动 曲线运动特例 竖直下抛 抛体运动 平抛 斜抛
⑷
三、圆周运动的角量描述
1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt 时刻质点在B处，θ是OA与x轴正向 夹角， θ+ Δ θ是OB与x轴正向夹角， 称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ为Δt时 间间隔内角坐标增量，称为在时间 间隔内的角位移。
2 t 0 t 0 2
2 2
结论：角加速度等于角速度对时间的一阶 导数或等于角坐标对时间的二阶导数。 d 说明：角加速度是矢量，方向沿 方向。 4、线量与角量的关系 等称为线量， a 、an 、 把物理量 v 、 、 ， v a B, t dt 等称为角量。 ds （1） 、v 与 关系 dr A, t r 如图2-7， dt 0 时， d
PE PM O 'E
O
x
图 1-13
二、相对位移 由（2-18）有 r r r （2-19） 结论：P对E的位移等于P对 ' M的位移与 O 对E的位移的矢量 和。
说明： ⑴比较平均速率与平均速度： 二者均为过程量；前者为标量，后者 为矢量。 ⑵比较速率与速度：二者均为瞬 时量；前者为标量，后者为矢量。 （ 3 ）一般，平均速率不等于平均速 度的大小。速率不等于速度的大小。
四、加速度
为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概 念。 1、平均加速度 定义：平均加速度=Δv/Δt（见图1-4） 称为Δt时间间隔内质点的平均加速度。
第一篇 力学
力学分为： 1. 运动学：只从几何 观点研究物体的运动。如位置、速度、 加速度等，而不涉及物体间的相互作 用。2.动力学：研究物体间相互作用 和运动间的规律。 3.静力学：研究力 及力矩的平衡问题。
第一章
质点运动学
§1-1 质点运动的描述
一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动而选择的参考物体叫 参考系。 2、坐标系 为了定量地研究物体的运动，要选择 一个与 参考系相对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参考系、坐标系是任意选择的，视处 理问题方便而定。

B, t dt
ds d O et
A,t r
图 1-8
式（2-2）中第二项为：
det d v ds v 2 v v en en en dt dt r dt r
该项为矢量，其方向沿半径指 向圆心。 称此项为法向加速度，记为 v a e （2-5） r 大小为 v a （2-6） r 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速 率平方除以曲率半径 。
2、法向加速度 式（2-2）中，第二项是 由质点运动方向改变引起的。 如图 1-8 ，质点由 A 点运 动到B点，有det=e/t-et, e/t与 et 夹角为 d（见图1-8）当 d 趋 于0时 ，有det 的大小 d 等于 。因为det垂直et，所以由A点 指向圆心O，可有det= d en
讨论： ⑴比较 Δr 与 r ：二者均为矢量；前 者是过程量，后者为瞬时量 ⑵比较 Δr 与 Δs （ A→B 路程）二者 均为过程量；前者是矢量，后者是标 量。一般情况下Δr的大小不等于Δs 。 当Δt趋于零时， Δr的大小等于Δs 。 ⑶什么运动情况下，均有 Δr 的大 小等于Δs ？
三、速度 为了描述质点运动快慢及方向， 从而引进速度概念。
v
3、平均速率与瞬时速率 定义：平均速率=Δs/Δt（参见图1-3） 称为质点在Δt时间段内的平均速率。为 了描述运动细节，引进瞬时速率。 定义：v=ds/dt 称为 t 时刻质点的瞬时速率，简称速率 . 当Δt趋于零时， Δr=dr, Δs=ds,所以，瞬 时速率=瞬时速度的大小。 结论：质点速率等于其速度大小或等于 路程对时间的一阶导数。
2 n n
det
et
et d
2
图 1-9
n
3、总加速度 大小：
dv v 2 a at an at et an en et en dt r
2 dv v 2 2 a at a n dt r 2 2
新乡学院物理系 校级力学精品电子课件 制作人：梁彦天 2005.3.8
没有今日的基础科学，就没有明日 的科技应用。 ……. 可以想象，我们现在的 基础科学将怎样地影响21世纪的科技文明。 ---------李政道 运动只能理解为物体的相对运动。 在力学中，一般讲到运动，总是意味着相对 于坐标系的运动.-------爱因斯坦
r
dv 0) 0, 加速直线运动（ dv at dv 0) 0, 减速直线运动（ dt dv 0) 0, 匀速直线运动（
此时
⑶ an 0 时， r
有限，质点做曲线运动。
dv 0) 0, 加速曲线运动（ dv at dv 0) 0, 减速曲线运动（ dt dv 0) 0, 匀速曲线运动（

r x
图 1-12
an 与 关系 （3）、
v 2 r an r 2 r r
2
即
an r
2
（2-17）
§1-3相对运动
本节讨论一个质点的运动，用 两个参考系来描述，并得出两个参 考系中物理量（如：速度、加速度） 之间的数学变换关系。
一、相对位矢
设有参照系 E 、M，其上固连的坐标系，如图 113， rPE rPME运动。 二坐标系相应坐标轴平行，M相对于 质点P相对 E、M 、 ，相对位 的位矢分别为 rPE rPM rO'E 矢为： y M (2-18) y p ' O 结论：P对E的位矢等于 P对 r r E M的位矢与 对E的位矢 O x 的矢量和。 r
z
参考系
o 坐标系
y
x
图 1-1
3、质点 忽略物体的大小和形状，而把它看作 一个具有质量、占据空间位置的物体， 这样的物体称为质点。 说明：⑴质点是一种理想模型，而不 真实存在（物理中有很多理想模型）。 ⑵质点突出了物体三个基本性质： 1）具有质量； 2）占有位置； 3）无体积。 ⑶物体能否视为质点是有条件的、相 对的。视研究问题的性质和精确度而定.
t
dr ds rd

r
x
图 1-12
dv d r dt dt
有 dt 即 v r （2-15） （2）a 与 关系 式（2-15）两边对 t 求一阶导数 即 a r （2-16）
r
t
t
dr
d dt
r
B, t dt ds dr A, t
d
（2-7） （2-8）
方向：a与et夹角（见图1-10）满足
an tg at
a O

an
at
A,t
图 1-10
4、一般曲线运动 圆周运动的切向加速度和法向加速度也 适用于一般曲线运动，只要把曲率半径看作 变量即可。 讨论：⑴如图 1-10 ， a 总是指向曲线的 凹侧。 r ⑵ an 0 时， ，质点做直线运动。此 时
1、平均速度 如图1-3 定义：平均速度=Δr/Δt（1-7） 称为Δt时间间隔内质点的平均速度。 平均速度方向：同Δr方向。 说明：与时间间隔相对应。平均速度仅提供一 段时间内位置总变动的方向和平均快慢。
2、瞬时速度 平均速度粗略地描述了质点的运动情况 。为了描述质点运动的细节，引进瞬时 速度。 定义：瞬时速度v=dr/dt 称为质点在时刻的瞬时速度，简称速度 结论：质点的速度等于位矢对时间的一 阶导数。 v 的方向：所在位置的切线且指向质点 运动的方向 .rຫໍສະໝຸດ zz P r

y

y
x
x
图 1-2
2、运动方程 质点的位置坐标与时间的函数关系， 称为运动方程。 运动方程 ⑴矢量式： r=x(t) i+ y(t)j+z(t)k （1-3） ⑵标量式： x=x(t),y=y(t),z=z(t) （1-4）
3、轨迹方程 从式（1-4）中消掉t，得出x、y、 z之间的关系式为轨迹方程， 即F(x、y、z)=0。 如平面上运动质点，运动方程为 x=t，y=t2， 得轨迹方程为 y=x2（抛物线）
六、运动的二类问题 第一类问题： 已知运动学方程利用微分 求v、a等 第二类问题： 已知 v、a和初始条件利用 积分求运动学方程
§ 1-2圆周运动 本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。
一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻质 点P位于A 点， et 、 en 分别为 A 点切向及法向的 单位矢量，以A为原点， et切向和en法 向为坐标轴，由此构成的参照系为自 然坐标系（可推广到三维）
二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移 1、位置矢量 定义：由坐标原点到质点所在位置的 矢量称为位置矢量（简称位矢或径 矢）。如图1—2，取的是直角坐标系， 位置坐标为X.Y.Z, 为质点的位置矢量 r=xi+yj+zk（1-1）
r= (x2+y2+z2) （1-2） r方向可由方向余弦 确定： z y x ， cos ， cos cos r r
C
et (切向）
e（法向） n
A ,t P
B 图 1-6
二、圆周运动的切向加速度及 法向加速度
1、切向加速度 如图1-7，质点做 半径为r的圆周运动，t时刻 ，质点速度 V=vet （2-1） 式（2-1）中，v为速率。
v
et
A,t
en
r
O
图 1-7
加速度为 a=dv/dt=dv/dtet+vdet/dt（2-2） 式（ 2-2 ）中，第一项是由质点运动速 率变化引起的，方向与et共线，称该项为 切向加速度，记为 at= dv/dtet =atet（2-3） at为加速度的切向分量。 结论：切向加速度分量等于速率对时间 的一阶导数 。
五、直线运动 质点做直线运动，如图1-5 1、位移 Δr=r2-r1=x2i-x1i=Δxi; 当Δx>0时， Δr 沿+x方向；
A, t
B, t t
o
x1
x2
x
图 1-5
2、速度 v=dx/dti=vxi，vx >0 沿+x轴方向；，vx <0 沿-x轴方向。 3、加速度 a=dv/dt=dvx/dti=axi ， ax>0 沿 +x 轴方向； ax <0 沿-x轴方向。 由上可见，一维运动情况下，由Δx、vx、 ax的正负就能判断位移、速度和加速度的方 向，故一维运动可用标量式代替矢量式。
y
A, t

1

B, t t

r1
（平移） 2

r2
2
o
图 1-4
x
2、瞬时加速度 为了描述质点运动速度变化的细节，引 进瞬时加速度。 定义：a=dv/dt=dr2/d2t （1-12） 称为质点在 t 时刻的瞬时加速度，简称 加速度。 结论：加速度等于速度对时间的一阶导 数或位矢对时间的二阶导数。 说明：一般情况下a与v方向不同（如不 计空气阻力的斜上抛运动）。