江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期10月学情调研测试数学试题(解析版)

2022/2023学年第一学期高三10月学情调研测试
数学试题
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合][(){}
,14,,11A B x a x a ∞∞=-⋃+=-<<+，若A B =∅ ，则实数a 的取
值范围为（）
A.
()2,3 B.
[)
2,3 C.
(]
2,3 D.
[]
2,3【答案】D 【解析】
【分析】利用数轴法解决集合的交集运算即可.
【详解】因为][(){}
,14,,11A B x a x a ∞∞=-⋃+=-<<+，且A B =∅ ，
所以1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得2
3
a a ≥⎧⎨≤⎩，故23a ≤≤，即[]2,3a ∈.
故选：D.
2.已知i 为虚数单位，则复数13i
12i
z -=+对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象
限【答案】C 【解析】
【分析】利用复数的四则运算化简，结合复数的几何意义，即可得到答案．【详解】13i (13i)(12i)
1i 12i (12i)(12i)
z ---=
==--++- ，∴复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--，位于第三象限．
故选：C ．
3.已知单位向量,a b
满足2a b -= ，则a 在b 方向上的投影向量为（
）
A.b
B.b -
C.2a
D.a
-
【答案】B 【解析】
【分析】先由条件计算得a b ⋅ 的值，再利用a 在b 方向上的投影向量为
cos b a b b
a b b b
θ⋅⋅=⋅
求得答案.【详解】因为,a b
是单位向量，所以1,1a b == ，故22221,1a a b b ==== ，由2a b -= 得24a b -= ，即()
2
4a b
-=
，则22
24
a b a b =⋅+- ，即1214a b ⋅=+- ，得1a b ⋅=-
，
设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影向量为
1cos 11b a b b b
a b b b
b
θ⋅-⋅=⋅=⋅=-
.
故选：B.
4.与直线310x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（）
A.310
x y -+= B.310
x y +-= C.310
x y ++= D.
310
x y ++=【答案】B 【解析】
【分析】设(,)P x y 为所求直线上任一点，则(,)P x y 关于y 轴对称的点为(,)x y -，将其代入310x y -+=中化简可得答案.
【详解】设(,)P x y 为所求直线上任一点，则(,)P x y 关于y 轴对称的点为(,)x y -，由题意可得点(,)x y -在直线310x y -+=上，所以310x y --+=，即310x y +-，
所以与直线310x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为310x y +-=，故选：B
5.定义:若函数()f x 的图象经过Ω变换后所得图象的对应函数的值域与()f x 的值域相同，则称Ω变换是()f x 的”同值变换”.则下列正确的是（）
A.()cos()6
f x x π
=+
:Ω将函数()f x 的图象关于点(e 0)，
对称B.2
()=2f x x x -:Ω将函数()f x 的图象关于原点对称C.()=21x
f x -:Ω将函数()f x 的图象关于x 轴对称
D.2()=log f x x :Ω将函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】A 【解析】
【分析】讨论原函数和变化后的函数值域是否相同即可.
【详解】因为函数()cos()6
f x x π
=+
的图象关于x 轴上的点(e 0)，
对称后得到的仍然为三角函数，值域仍然为[]1,1-，所以A 选项正确；
因为2
()=2f x x x -的值域为[)1,-+∞，
关于原点对称后的函数为2
()=2f x x x -+，值域为(],1-∞，所以B 选项错误；
()=21x f x -的值域为(1,)-+∞，
关于x 对称后的值域为(,1)-∞，所以C 选项错误；
2()=log f x x 的值域为R ,2()=log f x x 关于直线y x
=对称的函数为2()=log f x x 的反函数，即2x y =值域为(0,)+∞,所以D 选项错误.故选:A.
6.椭圆E :22x a +2
2y b
=1（a >b >0）左右焦点分别为12F F ，上顶点为A ，射线AF 1交椭圆E 于
B ，以AB 为直径的圆过2F ，则椭圆E 的离心率是（）
A.
22
B.
33
C.
12
D.
5
【答案】D 【解析】
【分析】以AB 为直径的圆过2F ，即22AF BF ⊥，由勾股定理与椭圆定义用a 表示出1BF ，
2BF ，
然后在12AF F △和12BF F △中，由1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=得出,a c 的齐次等式，变形后可得离心率．
【详解】由题意12AF AF a ==，设1BF t =，则22BF a t =-，
又以AB 为直径的圆过2F ，即22AF BF ⊥，所以222(2)()a a t a t +-=+，解得23
t a =，所以243
BF a =
，在12AF F △和12BF F △中，12cos c AF F a
∠=
，
222
22124164399cos 22223c a a c a BF F ac c a +--∠==⋅⋅，
1212180AF F BF F ∠+∠=︒，
所以1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即22
302c c a a ac
-+=，整理得225a c =，
所以5
5
c e a =
=
．故选：D ．
7.定义在[0，π]上的函数πsin(6y x ω=-(ω>0)存在极值点，且值域1
[,)2
M ⊆-+∞，则ω的范围是（）
A.[
76,2] B.24[,]
33
C.74
(,63
] D.[223
，
]【答案】B 【解析】【分析】由π[,]666
x ωωππ
-
∈-π-，根据极值点和值域范围即可求得ω的范围.【详解】定义在[0,π]上的函数π
sin()6
y x ω=-
,π[,]666
x ωωππ-∈-π-,
因为函数存在极值点，所以π62
ωππ-≥，即ω≥2
3.
又因为值域1[,)2M ⊆-+∞，所以π66
ω7π
π-≤，即有：43ω≤
,综上：24[,33
ω∈.故选：B
8.当0x >时，不等式2e 2ln 1x x mx x ≤++有解，则实数m 的范围为（）A
.
[)
1,+∞ B.1
,e ⎡-+∞⎫
⎪⎢⎣⎭
C.2,e ⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
D.
[)
2,+∞
【解析】
【分析】先令1m =，构造导数证得在()0,1上存在0x 使得0
2000e
2ln 1x x x x =++，即1
m =满足题意，故排除D ；再利用一次函数的单调性证得当1m <时，2e 2ln 1x x x m x >++在
()0,∞+上恒成立，即可排除BC ，实则至此已经可以选择A 选项，然而我们可以进一步证
得当1m >时，题设不等式也成立，由此选项A 正确.
【详解】当1m =时，题设不等式可化为2e 2ln 10x x x x ---≤有解，令()()2e 2ln 10x
f x x x x x =--->，则问题转化为()0f x ≤有解，
()()()()22
e 2e 1212x
x
x x f x x x x
x '+-=
-+=-，
令()()210e x
x x g x =->，则()()
2
e 20x
g x x x +=>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，
又()010g =-<，()1e 10g =->，故()g x 在()0,1上存在唯一零点0x ，且0
201e x x =，
两边取自然对数得0
02ln 0x x +=，
所以当00x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，故()f x 单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，故()f x 单调递增；
所以()()()0022
0000000min e 2ln 1e 12ln 0x
x
f x f x x x x x x x ==---=--+=，即在()
0,1上存在0x 使得0
2000e
2ln x x x x =++，即()0f x ≤有解0x ，
即1m =满足题意，故排除D.
由上述证明可得2e 2ln 10x x x x ---≥，即2e 2ln 1x x x x ≥++在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1h m xm x =++，则()0h m x '=>，故()h m 在R 上单调递增；
所以当1m <时，()()1h h m >，即2ln 12ln 1x x mx x ++>++，故2e 2ln 1x x x m x >++，即当1m <时，2e 2ln 1x x x m x >++在()0,∞+上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC ；
当1m >时，()()1h m h >，即2ln 12ln 1mx x x x ++>++，故
00002ln 12ln 1mx x x x ++>++，
又0
2000e
2ln 1x x x x =++，故02000e 2ln 1x x mx x <++，即2e 2ln 1x x mx x ≤++至少有一
解0x ；
综上：m 1≥，即选项A 正确.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知0,0a b >>，且24a b +=，则下列结论正确的是（）
A.2
ab ≤ B.
12a +1b
1≥ C.426
a b +≥ D.
2248
a b +≤【答案】AB 【解析】
【分析】对于A ，由42a b =+≥，可得2ab ≤，即可判断；对于B ，由
12a +1b 111
(2)(
42a b a b
=++，利用基本不等式求解即可；
对于C ，由24222a b a b +=+≥=对于D ，由2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，及2ab ≤即可求得2248a b +≥，从而即可判断.
【详解】解：因为0,0a b >>，且24a b +=，
对于A ，42a b =+≥2242ab ab ≤⇒≤⇒≤，当2a b =，即1
2
a b =⎧⎨
=⎩时，等号成立，故正确；对于B ，因为24a b +=，所以
1
(2)14
a b +=，1
2a +1b 111(2)()42a b a b =++1211
(2)(2(22)14244a b b a =++≥+=+=，当
22a b b a =，即12
a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故正确；
对于C ，因为24222248a b a b +=+≥===⨯=，当2a b =，
即12a b =⎧⎨=⎩
时，等号成立，故错误；
对于D ，因为2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，又因为2ab ≤，所以48ab -≥-，
所以1641688ab -≥-=，即2
2
48a b +≥，当2a b =，即1
2a b =⎧⎨=⎩
时，等号成立，故错误.
故选：AB ．
10.已知向量()()1,1,cos ,sin (0)a b θθθπ==≤≤
．则下列命题正确的是（）
A.若22,22b ⎛= ⎝⎭ ，则4π
θ= B.存在θ，使得a b a b
+=-
C.与a
共线的单位向量为22,22⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭ D.向量a
与b
夹角的余弦值范围是
2,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】ABD 【解析】
【分析】对于A ，由特殊角的三角函数值与θ的取值范围可得到4
π
θ=
，故A 正确；对于B ，利用向量的数量积运算由a b a b +=- 易得0a b ⋅= ，从而得到tan 1θ=-，故
34
π
θ=
，即说法成立，故B 正确；对于C ，利用a a
± 易求得与a 共线的单位向量有两个，故C 错误；对于D ，利用向量数量积运算求得,a b
夹角的余弦值的表达式，结合三角函数的图像即可得到其取值范围是2,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，故D 正确.【详解】对于A ，由题意得2
cos 2
θ=
，又0θπ≤≤，故4πθ=，故A 正确；
对于B ，因为a b a b +=- ，即22
a b a b +=- ，即()()
22a b a b +=- ，
整理得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+
，即0a b ⋅= ，
故1cos 1sin 0θθ⨯+⨯=，即sin cos θθ=-，得sin tan 1cos θ
θθ
=
=-，又0θπ≤≤，所以34
π
θ=，即存在θ，使得a b a b +=- ，故B 正确；
对于C ，因为()1,1a =r
，所以a ==
a
共线的单位向量为
a a ⎛±=±=±± ⎝ ，故C 错误；
对于D
，22cos ,cos sin sin 22
4a b a b a b
πθθθ⋅⎛⎫
==
+=+ ⎪⎝
⎭
，
又0θπ≤≤，所以
5444p p p q £+£，所以2sin 124πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，即向量a 与b 夹角的余
弦值范围是22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，故D 正确.故选：ABD.
11.已知定义在R 上的函数()f x ，满足()cos f x x +是奇函数，且()sin f x x -是偶函数．则下列命题正确的是（
）
A.34
f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B.12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
C.()()f k x f x π+=
D.22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】BD 【解析】
【分析】由()cos f x x +是奇函数，可得()()2cos f x f x x -+=-，由
()()2cos f x f x x -+=-，可得()()2sin x f x x --=-两方程联立求出()f x 的解析式，
然后逐个分析判断.
【详解】因为()cos f x x +是奇函数，所以()cos()()cos f x x f x x -+-=-⎡+⎤⎣⎦，
()cos ()cos f x x f x x -+=--，
所以()()2cos f x f x x -+=-，因为()sin f x x -是偶函数，
所以()sin()()sin f x x f x x ---=-，所以()()2sin f x f x x --=-，所以()sin cos f x x x =-，对于A ，33322sin cos 044422f π
ππ⎛⎫=-=-=
⎪
⎝⎭
，所以A 错误，
对于B ，sin cos 1222f πππ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
，所以B 正确，对于C ，()()()sin cos f k x k x k x πππ+=+-+，当k 为偶数时，
()()()sin cos sin cos ()f k x k x k x x x f x πππ+=+-+=-=，当k 为奇数时，()()()sin cos sin cos sin cos ()f k x k x k x x x x x f x πππ+=+-+=---=--≠，所
以C 错误，对于D ，因为sin cos cos sin 222f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=---=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，sin cos cos sin cos sin 222f x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以D 正确，故选：BD
12.过点()1
0P -，的直线l 与圆220:412C x y y +--=交于A ，B 两点，线段MN 是圆C
的一条动弦，且MN =）
A.AB 的最小值为
B.△ABC 面积的最大值为8
C.△ABC
D.PM PN +uuu r uuu r
的最小值为6-【答案】ACD 【解析】
【分析】设圆心C 到直线AB 的距离为d ，求出AB ，即可判断A ；再由1
||2
ABC S AB d =
⋅ ，求出ABC 面积的最大值即可判断B ，C ；取MN 的中点E ，求PM PN +uuu r uuu r
的最小值转化为求PE
的最小值即可判断D ．
【详解】∵224120x y y +--=即22(2)16x y +-=，∴圆心()0,2C ，半径4
r =()
1,0P -在圆C 内，PC =，
设圆心C 到直线AB 的距离为d ，由题意得0d ≤≤
∵AB =min AB ==A 正确；
11
22
ABC S AB d d =
⋅=⨯=△
∵205d ≤≤，∴当25d =时，()max ABC S =
△，故B 错误，C 正确．
取MN 的中点E ，则CE MN ⊥，又MN =3CE ==，∴点E 的轨迹是以()0,2C 为圆心，半径为3的圆．
因为2PM PN PE +=
，且min
33PE
PC =-= ，
所以||PM PN +
的最小值为6-，故D 正确．
故选：ACD ．
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若4
cos 45
πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，则sin 2α=_________.【答案】725
【解析】
【分析】利用二倍角公式可求解.
【详解】2
247sin 2cos 22cos 12124525ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.故答案为：
7
25
.14.若“[1,2]x ∀∈，都有2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________【答案】9,2
⎛⎤-∞ ⎥
⎝
⎦
【解析】
【分析】求出命题为真时，参数范围，再求其在R 上的补集，则得命题为假时的范围．【详解】若[1,2]x ∀∈，都有2210x x λ-+<成立是真命题，
则2108210
λλ-+<⎧⎨-+<⎩，解得92λ>，
所以若[1,2]x ∀∈，都有2210x x λ-+<成立是假命题时，9
2
λ≤．故答案为：9(,]2
-∞．
15.已知实数x ，y 满足20x y >>，若2z x =+2
2x y y
-（），则z 的最小值是_____
【答案】8【解析】
【分析】先由基本不等式放缩(2)x y y -，然后再用基本不等式得最小值．【详解】因为20x y >>，所以20x y ->，
2
2
11(2)2(2)22228x y y x x y y -+⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦
，当且仅当22x y y -=，即4x y =时取等号，
所以2
22216(2)z x x x y y x =+≥+-8≥=，当且仅当2216
x x =，即2x =时等号成
立，此时14
y =
．故答案为：8．
16.椭圆E :22
143
x y +=内有一个圆C ，圆C 与椭圆内切，圆C 面积的最大值是________;
若切点是椭圆的右顶点，则圆C 面积的最大值是_____【答案】①.3π
②.
9
π4
【解析】
【分析】空1：当圆半径r b =是圆的面积最大.
空2:切点是椭圆的右顶点,设半径为r ，圆心为()2,0r -，列出圆的方程，然后和椭圆方程联立得到含有r 的二次方程，因为和圆有一个切点，故0∆=，得到r ，求得圆的面积.【详解】空1：因为圆C 与椭圆内切，当r b =时，圆C 的面积最大，最大为22π=π=3πr b .空2:因为切点是椭圆的右顶点,设半径为r ，圆心为()2,0r -，所以圆C 的方程为：
()2
2
2
2x r y r --+=⎡⎤⎣⎦和椭圆方程22
143x y +=联立得
()()2
222322234x r x r x r --+-+-=化解得()21227404
x r x r --+-=因为有一个
切点，所以()()2
2142474(23)04r r r ∆=--⨯
-=-=故32
r =.综上所述：圆C 面积的最大值为2
4
ππ9
r =.故答案为：3π，
9π4
.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知(
){
}
2
2log 242A x x x =-->，11|327x a
B x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬
⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
（1）当2a =时，求R A B ⋂ð;
（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）R {2A B x x ⋂=<-ð或45}x <≤；（2）[
)1,+∞．【解析】
【分析】（1）先解对数不等式得到集合A ，再解指数不等式得到集合B ，由此利用数轴法对集合进行交并补运算即可；
（2）先求得集合B ，再由题设条件得到B A ⊆，由由此利用数轴法对集合进行运算即可.【小问1详解】
因为(
)
2
2log 242x x -->，所以由2log y x =的单调性可得2244x x -->，即()()240x x +->，解得2x <-或4x >，故{2A x x =<-或4}x >，
当2a =时，由11327x a
-⎛⎫< ⎪
⎝⎭
，得2
3
1133x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
故
23x ->，即5x >，故{}5B x x =>，所以{}
R 5B x x =≤ð，
所以R {2A B x x ⋂=<-ð或45}x <≤，【小问2详解】
由11327x a
-⎛⎫<
⎪⎝⎭
得3
1133x a
-⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，故3x a ->，即3x a >+，故{}3B x x a =>+，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆，所以34a +≥，解得1a ≥，即[)1,a ∈+∞.
18.圆C ：22(2)(1)9x y -+-=，过点(1,3)P -向圆C 引两切线，A ，B 为切点，
（1）求切线的方程:（2）求PA PB ⋅
的值
【答案】（1）1x =-或512410x y -+=（2）20
13
-
【解析】
【分析】（1）按斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时，设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求得结论；
（2）求出,,PC PA PB ，在直角三角形中得出sin APC ∠，用二倍角公式求得cos APB ∠，然后由数量积的定义计算．【小问1详解】
若过P 点的直线斜率不存在，符合题意，切线方程为1x =-；若过P 点的直线斜率存在，设切线方程为3(1)y k x -=+，即30kx y k -++=，圆心C
3=，解得5
12
k =
，则512410x y -+=，
综上，切线方程为1x =-或512410x y -+=【小问2
详解】
|||||2PC PA PB ===
sin CA CPA PC
∠=
=
，2
2
5cos 12sin 1213APB CPA ∠=-∠=-=-．520cos 221313PA PB PA PB APB ⎛⎫
⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
．
19.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力、在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐.某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的20n （n ∈N +）台汽车车主，统计得到以下22⨯列联表，经过计算可得2 5.556x ≈．
喜欢
不喜欢
总计男性
10n
12n
女性3n
总计
15n
（1）完成表格并求出n 值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关:
（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率．从该车企今年某月份售出的汽车中，随机抽取4辆汽车，设被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X ，求X 的分布列及数学期望．
附：()
22
()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
a =P （2x ≥k ）0.150.
10
0.050.0250.0100.0050.001k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）表格见解析，5，有97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
（2）列联表见解析，1【解析】
【分析】(1)根据列联表算出2x ，利用独立性检验即可判断；（2）利用二项分布即可列出分布列，从而求期望.【小问1详解】补充表格数据如下:
喜欢
不喜欢总计男性10n 2n 12n 女性5n 3n 8n 总计
15n
5n
20n
根据数表可得22
20(31052)10 5.5561551289
n n n n n n x n n n n ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，又n *∈N ，得5n =；
由题意，2 5.556(5.024,6.635)x ≈∈，
故有97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
【小问2详解】
随机抽取1辆汽车属于不喜欢新能源购车者的概率为
2511004
=，被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X ，X 的可能值为：0，1，2，3，4依题意，14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，
4041381(0)C 44256P X ⎛⎫
⎛⎫==⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，1
3
141327
(1)C 4464P X ⎛⎫
⎛⎫==⋅=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，2
2
24
1354(2)C 44256P X ⎛⎫
⎛⎫==⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，3
1
34133(3)C 4464
P X ⎛⎫
⎛⎫
==⋅=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4
44131(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫
==⋅=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
所以X 的分布列为：X 0
1
2
3
4
P
81
2562764542563641256
X 的数学期望81275431()0123412566425664256
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以X 的数学期望为1
20.在三角形ABC 中，A =60︒
，D AC 边上，AD =1，DC
（1）BD ，求△ABD 的面积．
（2）若E 点在AB 边上，AD =AE ，∠DBC =30°，求sin ∠EDB ．
【答案】（1）
4
（2）sin 2
EDB ∠=【解析】
【分析】(1)在ABD △中利用余弦定理和面积公式即可；
（2）在BDE 和BDC 中利用正弦定理分析求解.【小问1详解】
在ABD △中，由余弦定理得
2222cos 60BD AB AD AB AD =+-⋅⋅︒，
即260AB AB --=，则3AB =（舍负）
所以，11sin6031sin60224
ABD S AB AD ︒︒=⋅⋅=⨯⨯⨯=
△．【小问2详解】
,60AD AE A ==︒，则ADE 为正三角形，1,60DE AD AED ADE ==∠=∠=︒，
设EDB θ∠=，在BDE 中，120,60BED EBD θ∠=∠=︒-︒，
由正弦定理得()
1
sin120sin 60BD θ=︒-︒．（*）
在BDC 中，30,30,DBC BCD DC θ︒=+︒∠=∠=由正弦定理得
()3
sin 30sin 30BD θ=+︒︒
（**）
由（*）和（**）得()()1sin 30sin 604
θθ︒+︒-=，即()1sin 6022
θ︒+=
，又060θ︒<<︒，则60602180θ︒<︒+<︒，故602150θ︒+=︒，所以45θ=︒，
sin 2
EDB ∠=
.21.如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD 垂直，P 是半圆弧上一点（端点除外），AD 是半圆的直径，AB =1，AD =2．
（1）求证：平面PAB ⊥平面PDC ；
（2）是否存在P 点，使得二面角B PC D --的正弦值为3
2
若存在，求四棱锥P -ABCD 的体积；若不存在，说明理由，
【答案】（1）证明见解析（2）
2
3
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质和面面垂直性质定理可证CD ⊥平面ADP ，结合直径所对圆周角为直角可证AP ⊥平面PDC ，然后由面面垂直判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可得二面角B PC D --
为正弦值为2
时点P 坐标，然后计算可得体积.【小问1详解】
在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，
又平面ABCD ⊥平面ADP ，平面ABCD 平面,ADP AD CD =⊂平面ABCD ，所以，CD ⊥平面ADP ，
又AP ⊂平面ADP ，所以CD AP ⊥，
P 是AD 为直径的半圆上一点，所以DP AP ⊥，又,,CD DP P CD DP =⊂ 平面PDC ，所以，AP ⊥平面PDC ，
又AP ⊂平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PDC 【小问2详解】
取BC 中点E ，以AD 的中点O 为坐标原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示空间直角坐标系，由平面ABCD ⊥平面可知，半圆在平面xOz 平面内，设(,0,)P a b
，
则221,0a b b +=>，又(1,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,0,0)A B C D --，
由（1）可知，平面PDC 的一个法向量为,(1,0,)AP AP a b =-
，
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =
，又(1,1,),(2,0,0)BP a b BC =--=- ，
则(1)020
BP n a x y bz BC n x ⎧⋅=--+=⎨⋅=-=⎩
，取1z =，则(0,,1)n b = ，设二面角B PC D --的大小为α，
|cos ||cos ,|AP n α==
若3
sin 2
α=
，则1|cos |2α=
，又b =，
1
2
=
=
，又(1,1)a ∈-，得0,1
a b ==所以，四面体P ABCD -的体积1233
ABCD V S b =
⋅=22.已知函数()e a x f x -=，()ln g x a x =-，()f x 与()g x 在1x =处的切线相同．（1）求实数a 的值；
（2）令(),1
()(),1f x x m x g x x <⎧=⎨>⎩
，若存在12x x <，使得12()()2m x m x +=，
（i ）求12()x m x +的取值范围；（ii ）求证:122x x +>.【答案】（1）1；（2）①(,2)-∞；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设(1)(1)
(1)(1)f g f g =⎧⎨''=⎩
即可求a 的值；
（2）由（1）1e ,1
()1ln ,1x x m x x x -⎧<=⎨->⎩，（i ）根据()m x 区间单调性求对应值域，即可知只存在
121x x <<使()()122m x m x +=，进而得()()111211e 21x x m x x x -+=-+<，构造1e 2(1)x y x x -=-+<研究其单调性求值域，即可得结果；
（ii ）由（i ）得112e 1ln 2x
x -+-=，（双变量变量统一）：首先有()11
e
1
1211e 1x x x x x --+=+<，
令11e 10x t -=->得11ln(1)x t =-+，进而构造()1ln(1)e (0)t h t t t =-++>并利用导数证明()2h t >即可证；（极值点偏移）：构造()(2)[2()]x m x m x ϕ=---且1x <，利用导数研究其单调性可得min ()0x ϕ>，即(2)[2()]m x m x ->-，进而可得()()122m x m x ->，结合1221,1x x ->>及()1ln m x x =-单调性，即可证结论.【小问1详解】
由题意(1)(1)(1)(1)f g f g =⎧⎨''=⎩，则11e ln1
e 1
a a a --⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，可得1a =.
【小问2详解】
由（1）得1e ,1
()1ln ,1
x x m x x x -⎧<=⎨->⎩，
（i ）当121x x <<时，由()(1)1m x m >=，则()()122m x m x +>，不合题意，舍去；当121x x <<时，()1ln 1ln11m x x =-<-=，则()()122m x m x +<，不合题意，舍去；
故只存在121x x <<时，才能使()()122m x m x +=，即112e 1ln 2x
x -+-=，
所以()(
)()1
11112121111ln 1e
1e 21x x x m x x x x x x --+=+-=+--=-+<，
令1e 2(1)x y x x -=-+<，则11e 0x y -=+'>，故1e 2x y x -=-+在(,1)-∞上递增，即
2y <，
故()12x m x +的取值范围为(,2)-∞.
（ii ）证明：由（i ）知：121x x <<，且112e 1ln 2x
x -+-=（*），
法一（双变量变量统一）：
由（*）得：11
1111e 1
222e 1ln 2ln e 1e x x x x x x ----+-=⇔=-⇒=，
故()
11
e
1
1211e 1x x x x x --+=+<令11e 1x t -=-，而11<x ，则110t ->-=，且11ln(1)x t =-+，则()11
e
1
1211e 1()1ln(1)e (0)x t x x x x h t t t --+=+<⇔=-++>，
要证122x x +>，即证()1ln(1)e (0)t h t t t =-++>的最小值大于2，又1()e 1
t
h t t =-
+'，且2
1()e 0(1)t
h x t ''=+>+，故()h t '在(0,)+∞上递增，则min ()(0)0h t h >'='，
∴()h t 在(0,)+∞上单调递增，即0
min ()(0)1ln1e 2h t h >=-+=，则122x x +>得证.
法二（极值点偏移）：
构造函数()(2)[2()]x m x m x ϕ=---且1x <，即
()11()[1ln(2)]2e e ln(2)1x x x x x ϕ--=----=---且1x <，
此时11()e
2x
x x
ϕ-'=-+
-，且12
1()e 0(2)x
x x ϕ-''=+>-，故()x ϕ'在(,1)-∞上递增，
故max ()(1)0t ϕϕ<'='，
∴()ϕx 在(,1)-∞上单调递减，且11
min ()(1)e ln(21)10x ϕϕ->=---=，
当(,1)x ∞∈-时，(2)[2()]m x m x ->-，∵11<x ，()()122m x m x +=，
∴()()()1122[2]m x m x m x --=>，而121x x <<知：1221,1x x ->>，且()1ln m x x =-在(1,)x ∈+∞上单调递减，∴122x x -<，故122x x +>得证.
【点睛】关键点点睛：第二问，利用等量关系构造12()x m x +关于1x 的表达式，构造函数研究其值域；应用双变量变量统一或极值点偏移，注意构造中间函数并利用导数研究不等式恒成立即可.。