高中数学教案 必修3教案 第三章 概率 3.3几何概型

几何概型
一、教学目标：
1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
P （A ）=积）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古
典概型还是几何概型；
（4）了解均匀随机数的概念；
（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学
知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现
实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应
用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时
养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图
形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、
教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种
仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个
试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之
间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中
的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构
成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为
几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P （A ）=积）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）
有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
3、 例题分析：
课本例题略
例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，
还是几何概型。

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩
转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获
胜的概率。

分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性
和等可能性。

而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件
的区域长度有关。

解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是
等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指
针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，
即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例 2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时
一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,
但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机
事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概
率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等
车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的
长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到
站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公
式,得P(A)= 605060 =61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为6
1． 小结：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间
的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，
X 为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客到达
站台立即乘上车的概率。

2．两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与
两端距离都大于2m 的概率．
解：1．由几何概型知，所求事件A 的概率为P(A)=
11
1； 2．记“灯与两端距离都大于2m ”为事件A ，则P(A)= 62=31． 例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，
假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而
40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得
概率。

解：记“钻到油层面”为事件
A ，则P(A)=
所有海域的大陆架面积储藏石油的大陆架面积=1000040=0.004． 答：钻到油层面的概率是0.004．
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机
取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克
种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的
区域，可用“体积比”公式计算其概率。

解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A)= 所有种子的体积取出的种子体积=1000
10=0.01． 答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例5 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两
段的长都不小于1m 的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]
内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。

因此在任意位置
剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中
取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也
就是剪得两段长都不小于1m 。

这样取得的[1，2]内的随机数个数与
[0，3]内个数之比就是事件A 发生的概率。

解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数
a 1=RAND ．
（2）经过伸缩变换，a=a 1*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N 1和[0，3] 内随机数的个数N ．
（4）计算频率f n (A)=N
N 1即为概率P （A ）的近似值． 解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这
里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在
[1，2]范围内）的次数N 1及试验总次数N ，则f n (A)=
N
N 1即为概率P （A ）的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对
应的区域转化为随机数的范围。

解法2用转盘产生随机数，这种方法
可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计
算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结
果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和
规律性有更深刻的认识．
例6 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方
形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm 长的线
段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a 1=RAND ．
（2）经过伸缩变换，a=a 1*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N 和[6，9]内随机数个数N 1
（4）计算频率N
N 1． 记事件A={面积介于36cm 2 与81cm 2之间}={长度介于6cm 与9cm 之
间}，则P （A ）的近似值为f n (A)=N
N 1． 4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几
何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概
率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算
器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：
建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）
有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
5、自我评价与课堂练习：
1．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显
微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A ．0.5
B ．0.4
C ．0.004
D ．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任
意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．
3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选
到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
4．如图3-18所示，曲线y=-x 2+1与x 轴、y 轴围成一个区域A ，直
线x=1、直线y=1、x 轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把
芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A 内的芝麻数
与落在正方形中的芝麻数。

6、评价标准：
1．C （提示：由于取水样的随机性，所求事件A ：“在
取出2ml 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004） 2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记
为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠
得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图所示，这样线段OM 长度
（记作OM ）的取值范围就是[o,a]，只有当r ＜OM ≤a 时硬币不与平
行线相碰，所以所求事件A 的概率就是P （A ）=的长度的长度],0[],(a a r =a
r a 3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的
步骤独立完成。

（1）用1~45的45个数来替代45个人；
M
（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。

4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。

如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。

7、作业：根据情况安排。