2016年安徽自主招生数学模拟试题：导数的几何意义

2016年自主招生数学模拟试题:导数的几何意义
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1：已知过函数f(x)=x 2的图象上点P的切线斜率为2，则点P的坐标为（）A、(-1,1)B、(0,0)C、(1,1)D、(2,4)2：设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值围是(,），则点横坐标的取值围为（）A、B、C、D、3：函数的定义域为R，，对任意，都有＜成立，则不等式的解集为（）A、（-2，2）B、（-2，+ ）C、（- ，-2）D、（- ，+ ）4：
已知曲线在点处切线的斜率为8,则等于( )
A. 9
B. 6
C.
D.
5：
函数在点处的切线的斜率为（）
A.
B.
C.
D.
6：已知函数的图象如图，则函数的草图为▲。

7：、，若在R上可导，则＝，8：如图，是可导函数，直线是
曲线在处的切线，令，则。

9：若直线y=kx-3与y=2lnx曲线相切，则实数K=______10：抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为________________。

11：物体作直线运动的方程为（位移单位是，时间单位是），求物体在到时的平均速度及到的平均速度。

12：（本小题满分12分）设函数f( x)= ax+( a, b∈Z)，曲线y= f( x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=3。

（Ⅰ）求f( x)的解析式：（Ⅱ）证明：函数y= f( x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线y=f( x)上任一点的切线与直线x=1和直线y= x所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

13：（本小题满分14分）已知函数在点处有极小值-1, （1）求的值（2）求出的单调区间. （3）求处的切线方程.14：
已知曲线，是否存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a
的取值围；若不存在，请说明理由。

15：（2）设
是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：；
(3)
答案部分
1、C
设点，依题意有∴故
2、B
试题分析：设点的横坐标为，由题意，得。

又由导数的几何意义，得（
为点处切线的倾斜角）。

又∵(,），∴，∴，故选B、考点：1、导数
的几何意义；2、正切函数的取值。

3、C
试题分析：构造函数，因为，对任意，都有＜成立，即
<0成立，所以函数是减函数。

，即，故，选C。

考点：利用导数研究函数的单调性，抽象不等式的解法。

点评：中档题，本题关键是构造函数，通过研究函数的单调性，达到解不等式的目的。

4、D
由题意知,
∴.故选：D.
5、B
令，则，所以.由导数的几何意义可知在点处的切线的斜率.故选：B.
6、
略
7、
略
8、
试题分析：观察图形可知，，切线过点，所以，切线方程为，因此，
；故。

考点：导数的几何意义，直线方程，商的导数计算法则。

9、
略
10、3，3 x－y＋1＝0
Δy＝(1＋d) 2＋(1＋d)＋2－(1 2＋1＋2)＝3 d＋d2，故y′| x＝1＝＝ (3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3( x－1)，即3 x－y＋1＝0.
11、到的平均变化率为，到的平均变化率为。

，。

12、（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析。

（Ⅲ）证明见解析。

（Ⅰ），于是。

解得或。

因，故。

（II）证明：已知函数都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。

而函数。

可知，函数的图像按向量a=(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形。

（III）证明：在曲
线上任一点。

由知,过此点的切线方程为。

令得，切线与直线交点为。

令
得，切线与直线交点为。

直线与直线的交点为(1,1)。

从而所
围三角形的面积为。

所以，所围三角形的面积为定值2。

13、（1），；（2）为函数单调递增区间，为函数单调递减区间；（3）.
第一问利用函数在x=1处有极小值-1，可知其导数为零，同时函数值为-1，联立方程组得到a,b的值。

第二问中，结合第一问的结论，递进关系，再确定导数，利用导数的正负，来判定函数的单调性。

解：(1)由已知得:
（2分）（4分）(2) （6分）
即为函数单调递增区间（8分）
即为函数单调递减区间（10分）(3)
，即过点（12分），（13分）所以得：切线方程为：（14分）
14、
∵，∴。

设切点为，则切线的斜率为。

由点斜式可得所求切线方程为，
又∵切线过点（1，a），且，∴，即。

∵切线有两条，∴，
解得a < 2，故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取值围是。

15、（2）【证明】由（1）知（Ⅰ）若，由（1）知在线段上,且且,
若,由（1）知在线段上,则在轴上，这与矛盾，故，得；（Ⅱ）若，有，点在的下方，则交点在线段上,即，得.由上述（Ⅰ）（Ⅱ）知：
略。