五年级奥数第讲等积变形

四个等积三角形，即△ADE、△BDE、△DCF、
△ADF等积．
白汀水
A
A
E
F
E
F
B
D
C
B
D
C
方法3：如左图， 取△ABC三条边的中点D、E、F
连结DE、DF、EF，则△BED、△EAF、 △DFC、
△EFD等积．
方法4：如右图， 取点D，使BD=BC/3，连结AD、 取点E、F，使AE=EF=FD，则△ABD、△CAE、 △CEF 、 △CFD等积．
∴S ⊿ADG=（1/3）×（2/3）S⊿ABC=（2/9）S ⊿ABC 。
面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
S△DOC=S△DBC—S△BOC
？ ∴ S△ABC=4S△ACE
连结HB，同理 S△AEH=2S2，
D
C
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（
解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与白四边汀形水ABCD等积．
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若
△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积． A
解法1：连结BD，在△ABD中 ∵ BE=3AE，
E1 D
∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
五年级奥数第讲等积变形
三角形的等积变形
三角形面积的计算公式：
高
三角形面积=底×高÷2
底
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高
的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也
就越大（小）。同样若三角形的高不变，底越大（小），三角
形面积也就越大（小）。这说明；当三角形的面积变化时，它
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法 ，如上图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处，
∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
∵ CD=2AD，
S△CDF=S△ACF；
D
A
A′ B
C
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是
改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积
变形的方法，如上图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处，
△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面 积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形 △A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点。
的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和
高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．当三角形的底
和高 的积保持不变，三角形的面积就不变。只有当三角形底
和高的乘积 变化时，三角形的面积才发生变化。
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个 不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形
C
B
D
解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE
E？ F
A
又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF 而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF ∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．
白汀水
方法4：如右图， 取点D，使BD=BC/3，连结AD、取点E、F，使AE=EF=FD，则△ABD、△CAE、 △CEF、 △CFD等积．
又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；
例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG， BE=EF=FC=BC/3，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？
解：连结BG，在△ABG中，
A
∵ BD=2AD， ∴S ⊿ADG=S⊿ABG，在⊿ABC中， ∵ AG=2CG， ∴S ⊿ABG=2/3S⊿ABC，
B
∴S ⊿ADG=（1/3）×（2/3）S⊿ABC=（2/9）S ⊿ABC 。 同理S ⊿BDE=（2/9）S ⊿ABC ； S ⊿CFG=（1/9）S ⊿ABC
结因D此ES、△DAFE．H从+S而△得CG到F四=2个S等1+积2S三2角=2形（，S1即+△S2A）D=E2、×△1=B2D．E、△DCF、△AADF等积． E
B
同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）。
证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF； 同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）。
白汀水
例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求 证：△AOB与△COD面积相等．
A
D
O
B
C
证明：∵△ABC与△DBC等底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC—S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
白汀水
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
①等底等高的两个三角形面积相等．
∴S△AOB=S△COD．
白汀水 而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，
DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
H
G
C
D S11 S2 B
E A？
F
解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有 S△FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC= S△FBD+S△DBC=2S1．
状以及它们之间的关系。白汀水
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一 个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（
或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（
又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF； 小）。
例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）． ∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．
另一个三角形面积的几倍．
A
B
D
E
C
它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么
这两个三角形的面积相等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的
3倍．
白汀水
例如在下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC）， 它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们 的高相等），那么这两个三角形的面积相等．
A
D
B
C
白汀水
例如下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都 是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点， AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC 面积的2倍．
A
D
百度文库
B
C
E
H
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
白汀水
例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面
小）。
4 因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．
例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
F
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AB、AC中点E、F，并连
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积 比为1∶3∶4．
白汀水
方法2：如下图，先取AB中点D，再连结CD，再取CD上的1/4分 点E，连结AE，从而得到三个三角形：△ACE、△ADE、 △BCD．其面积比为1∶3∶4．
A
D3
B
4
1 EC
当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．B
C
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
A
E1 D
∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）． 在△ABC中，∵BE=3AE
B
C
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12（平方厘米）．
白汀水
连结HB，同理 S△AEH=2S2， 因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．
同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH 的面积为2+2+1=5（平方单位）．
白汀水
例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长 线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．
D G
EFC
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG =（2/9+2/9+1/9）S ⊿ABC=5/9⊿ABC
∴ 阴影部分面积=（1-5/9）S△ABC=4/9 △ABC
白汀水
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；
例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的 因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．
积相等的三角形． A
A
E
F
B DEF C
B
D
C
方法1：如左图，将BC四等分，
（BD=DE=EF=FC=BC/4）、连结AD、AE、AF，则
△ABD、△ADE、 △AEF、 △AFC等积．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，
得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然
后取AB、AC中点E、F，并连结DE、DF．从而得到
白汀水
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，
使它们的面积比为及1∶3∶4．
A
A
E
1
1 BD
3
4
E
C
3
4
B
D
C
方法 1：如上左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连
结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为
1∶3∶4．
方法2：如上右图，先取BC中点，再取AB的1/4分点，连结AD 、