大学线性代数课件矩阵 (4)

1
0
1 4 1 2
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
A 1
0
0
0
E2
O23
21 3E3
A13
O31
二、分块矩阵的运算规则
分块矩阵运算基本规则： 把分块矩阵的每一个子块看成一个数， 然后采用类似于普通矩阵的运算规则
来运算。
1 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用
相同的分块法, 有
Cmn AB a1
s
aibi .
a2
b11
as
b21
bs1
b12 b1
b22b2
bs 2 b s
b1n b2n bsn
i 1
4
设
A
A11
A1r
,
则
AT
A1T1
As1 Asr
A1Tr
例如：A
2 0
1 2
1 1
1 0
0 1
0 1 3 2 1
0 . E
BX DW E,
BZ
DY CW
O, O,
CY E.
X B1,
Z
Y C 1, B1DC 1,
W O.
因此
A1
B 1 O
B 1 DC C 1
1
.
例如：
A
a21 a31 a41
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
a25 a35 a45
a26
a36 a46
4×6
AA1211
A12
A22
A13 A23
Aij
A的子块
例如
A
AA1211
A12
A22
A13 A23
2×3
A的分块矩阵
1 0 0 0 0 2
0
A
5
若A与B相 乘, 需A的 列 的 划 分 与B的 行 的 划 分 相 一 致
思考题
设 A B D ,其中B和C都是可逆方阵, 0 C
证明A可逆, 并求A1 .
思考题解答
证 由B,C可逆, 有 A B C 0, 得A可逆.
设 A1 X W
Z , Y
则 B 0
D X C W
Z E Y 0
2 0 1 2
A11 A21
A12 A22
AT
1
1
1 0
则 A =TA
AA11T11 AA11T22
AA2T211 AA2T2
0
1
AsT1 .
AsTr
0
1
3
2
1
5 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线
上有非零子块,其余子块都为零矩阵, 且非零子块都
是 方 阵.即
A1
A
A2
o
, As
若 Ai 0i 1,2,, s,则 A 0,并有
A11o A1来自A21o. As 1
5 0 0
例3 设 A 0 3 1, 求 A1.
0 2 1
解
5 A 0
0
0 3 2
0 1 1
A1 O
O ,
A2
A1 5,
A11
1 5
;
A2
3 2
1, 1
A11
4 1
例2 对m×n线性方程组的矩阵表达AX=B,
其中
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
x1
b1
， a2n
amn
X
x2
B
xn ，
b2 bm
a11
若把A分块成
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
1
2 n
am1 am2 amn
A2
O
O
,
As
其 中Ai i 1,2, s 都 是 方 阵,那 末 称 A为 分 块
对 角 矩 阵.(准对角矩阵)
A1T O O
有 （a）A
A1
A2 As
;
（b）AT
O
A2T
O
;
O O AsT
（c） 同阶准对角矩阵的和、差、积仍为准
对角矩阵.
A1
o 6设 A
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
其
中Ai1
,
Ai
2
,,
Ai
的
t
列
数
分
别
等
于B1
j
,
B2
j
,,
Bt
j
的 行 数, 那 末
AB
C11
C1r
t
Cs1 Csr
其 中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其 中Aij与Bij的 行 数 相 同,列 数 相 同, 那 末
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
2
设
A
A11
A1r
,
为
数,
那
末
As1 Asr
A
A11
A1r
A11 AB O
O
O 3E O
A13 2E 2 A11 A13B3 O B2 3B2 A33 B3 A33B3
4
3
9
0 0
2
6
12
4 1
1 2A11 A13B3 2 2
12 100
1
2 4
4 2
0 0
10
2 4
52
A33B3 140
1
0 0
x1
则
AX 1
2
n
x2 xn
x11 x22 xnn
于是线性方程组AX=B可表示成：
x11 x22 xnn B
例3 矩阵乘法AB=C的分块表达.
Ams a1 a2 as
b11
Bsn
b21
b12
b22
b1n b1
b2n
b2
bs1 bs2 bsn bs
1 5
;
A21
1 2
1; 3
A1
A11 O
O A21
1
5 0
0 1
0 1.
0 2 3
三、小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基 本,最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1) 加法 同型矩阵,采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块 (3) 乘法
§2·4 分块矩阵
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了
简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将
矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，以子
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
a11 a12 a13 a14 a15 a16
k 1
例1 设
1 2 0 0 1
2 1 0 0 0
A
0
0 3 0 0
0 0 0 3 0
0
0 0 0 4
0 0 0 0 1 65
2
0
B
1
3
0
0
2
2
4
1
52
求 AB
解：
A11 O A13 A O 3E O
2E B B2
O O A33
B3
2 5
则