河北省迁安一中高中数学 1.1.2余弦定理教案 新人教A版必修5

河北省迁安一中数学必修五：1.1.2余弦定理

理．

2．理解余弦定理与勾股定理的关系．

教学重点和难点

重点：利用向量的数量积证明余弦定理；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用．

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路，及对余弦定理的熟练记忆．

教学过程设计

(一)师生共同复习正弦定理．

正弦定理准确地反映了三角形中边与角之间的关系，即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦成正比．

请同学们回忆一下正弦定理的证明过程．

(二)教师讲述新课．

前面我们学习正弦定理时同学们已知道(1)如果已知三角形的两个角和任一边，我们用正弦定理可求出其它两边和一角．(2)如果已知三角形的两边和其中一边的对角，我们用正弦定理可求出另一边的对角，再进一步求出其他的边和角．现在我们来研究，如果已知三角形的一个角和夹此角的两边，能否求出此角的对边呢？

如图，在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．

∴b2＝a2＋c2＋2accos(180°－B)，

b2＝a2＋c2－2accosB．

这个式子就表达了第三边b与另两边a和c及他们夹角之间的关系．

b2＝a2＋c2－2accosB，

同理可证出，

a2＝b2＋c2－2bccosA，

c2＝a2＋b2－2abcosC．

我们得到余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

教师引导学生观察余弦定理公式的特征和规律帮助记忆公式，同时要求学生用语言叙述余弦定理，促进对公式的记忆．

教师引导学生注意以下问题．

(1)如三角形中有一个角是直角，三角形是直角三角形．如∠C＝90°，则cosC ＝0．

这时余弦定理为，c2＝a2＋b2－2abcos90°＝a2＋b2．这就是勾股定理．因之，勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．

(2)我们用余弦定理求角时，有时为了方便，余弦定理变形为如下形状．

(师生共同完成以下例题)

解：这个问题是已知三角形的两边a、c，及其夹角B，直接用余弦定理，求第三边，即∠B的对边．由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB．

∴b＝7．

解：已知三角形的三边，可用余弦定理确定角．

∴A＝45°．

例3．如图，在△ABC中，应用勾股定理证明余弦定理．

解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，过顶点C作AB边上的高CD．

则CD＝bsinA，AD＝bcosA，DB＝C－bcosA，

在Rt△CDB中，BC2＝CD2＋DB2．

a2＝b2sin2A＋(c－bcosA)2＝b2sin2A＋c2－2bccosA＋b2cos2A

＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2

＝b2＋c2－2bccosA

∴a2＝b2＋c2－2bccosA．

(三)学生练习．

1．课本练习3(1)，a＝7.

2．课本练习3(2)，B＝90°．

(四)教师小结．

总结余弦定理的内容，余弦定理公式记忆的特征．余弦定理公式的两种形式．(1)求边形式：a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC．