平面向量数量积的物理背景及几何意义

向量的数量积运算类似于多项式运算
例2.已知 | a | 6,| b | 4, a与b夹角为60 , 求： (1)(a 2b) (a 3b)
(2) a 2b | .
解：（1）. (a 2b) (a 3b) a a b 6b a a b cos 6 b 72
A D C
答案：2；2；-4;4;-2;0.
例2 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解： a
2, b 2, 450
a b a b cos 2 2 cos 450 2
是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则 a b | a || b | cos (1)e a a e | a | cos (2)a b a b 0 判断垂直的又一条 件 B (3)当a与b 同向时，a b | a || b |; b
一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹 角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
交换律:
在实数中 ab=ba 在向量运算中
a b b a
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
( ×) ( a) b (a b) a (b) ( √ )
(a b) c a c b c
(a b)c a(b c)
分配律： (a+b)c=ab+bc
数量积的几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 只有在位移方向上的力做功．
F θ
s
对非零向量a与b，定义| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． | a | cosθ叫 向量a在b 方向上的投影．
数量积的几何意义 作OA a， OB b，过点B作BB1 直线OA 则 OB1 的数量是| b | cosθ （不是向量）
(√ )
消去律: ab=bc(b≠0) a=c
a b b c(b 0) a c
(×)
数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数 ，则:
(1)a b b a; (2)( a) b (a b) a ( b) (3) a b) c a c b c
思考：用向量方法证明：直径所对的圆 周角为直角。
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB ，即AC CB 0 。
C
B
O
解：设 AO a,OC b 则 AC a b ,CB a b ， 由此可得： AC CB a b a
2.4.1 平面向量数量积 物理背景及其含义
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
A
当θ＝0°时，a与b同向；
O
A
B
B
当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
O
B
b O a A
情景引入
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量分 别是OM、MN、 ON,
a
b a+b
O
M
N c
则： (a + b) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c|
= a· c + b· c.
典型例题 例1.已知向量a，b,求证下列各式
（） 1 ( a b ) a 2a b b
2 2 2
(2)(a b) (a b) a b
2
2
证明：（1）(a＋b) b
＝ a· a＋b· a＋a· b＋b· b
＝a2＋2a· b＋b2.
（2）(a＋b)· (a－b)＝(a＋b)· a－(a＋b)· b ＝ a· a＋ b· a－ a· b － b· b ＝ a2－ b2.
3 4
所以，k=
例4、
(2009· 海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在 △ABC所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0,
PA PB PB PC PC PA, 则点O, N , P依次 是ABC的（ C ）
A．重心、外心、垂心 C．外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
2
×
√
5. 0时， ( a) b与b的方向相同. ×
巩固练习
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a· b <0, a· b =0时, △ ABC各是什么 三角形？
当a ·b＜0时， cos<0，
为钝角三角形
当a ·b=0时，为直角三角形
3. 在△ABC中a=5,b=8,C=60o, 求 BC CA 20
O
θ
B1 a
A
当a与b 反向时，a b | a || b |;
特别地
求 角
a b (4) cos | a || b |
2 a a | a | 或 | a | a a
2 a 求模的方法
(5) | a b || a || b |
(2) a 2b a 4a b 4b 2 37
2 2
2
2
2
2
例3.已知 | a | 3,| b | 4, 且a与b不共线. k为何值时, (a kb) (a kb)？
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）·（a-kb）=0 即a2-k2b2=0 9-16 k 2 =0
c＋b· c (分配律) (3) (a＋b) · c = a·
巩固练习
1.已知向量 a, b, c 和实数 判断正误，并说理. × 1．若 a b 0，则 a, b 中至少有一个为 0 ． 2. 若b≠0，a· b＝c· b ，则a=c 3. (a· b)c=a(b· c) × 4. 对任意向量 a 有 a | a |2
知识回顾:
夹角的范围 数量积 性质
0
a b | a || b | cos
或 | a | a a
a· a=|a|2 （简写 a2 = |a|2）
运算律
) (1) a · b= b ·a (交换律 (2) (a) b a (b ) (a b )
2 2 2
b
2

r2 r2 0
a b | a | | b |
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
课后作业:
P108 1——8 (习题).
预习向量的数量积的坐标表示
B B B
b
b
b

O B1 a A
B1

O

a
A O a A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
a· b的几何意义：数量积a · b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos的乘积。
数量积的运算律
回顾实数运算中有关的运算律，类比数 量积得运算律:
例题讲解
例1．已知 a =5， b =4，a 与 b 的夹角 10 120 ，求 a b . 答案：
变式:如图的菱形ABCD中，角A等于 60 ， AB=2,求下列各数量积.
B
AB AD, AB BC , AB CD AB DC , BA BC , AC BD.
a b a b cos
注 意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘· ’不能省.
（1）两向量的数量积是一个数量，
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时 a· b为正； 当90°＜θ ≤180°时 a· b为负。 当θ =90°时 a· b为零。