第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题

1．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 (特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝12＜sin 60°＝32，

故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．

答案 D

2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )

A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．

答案 B

3．已知集合A ＝{x ∈R|12<2x<8}，B ＝{x ∈R|－1<x<m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要

的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )

A ．m≥2

B ．m≤2

C ．m>2

D ．－2<m<2

解析 A ＝{x ∈R|12<2x<8}＝{x|－1<x<3}

∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A

∴A B

∴m ＋1>3，即m>2.

答案 C

4．设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}，C ＝{x ∈R|x(x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 A ∪B ＝{x ∈R|x ＜0，或x ＞2}，C ＝{x ∈R|x ＜0，或x ＞2}，

∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件．

答案C

5．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )．

A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数

B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数

C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数

D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数

解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B.

答案 B

6．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是

( )．

A ．0<a ≤1

B ．a <1

C ．a ≤1

D ．0<a ≤1或a <0 解析 法一 (直接法)当a ＝0时，x ＝－12符合题意．

当a ≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，

则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4a >0，1a <0⇔⎩⎨⎧ a <1，a <0

⇔a <0； 若方程两根均负，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4a ≥0，－2a

<0，1a >0⇔⎩⎨⎧

a ≤1，a >0⇔0<a ≤1. 综上所述，所求充要条件是a ≤1.

法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，所以选C.

答案 C

二、填空题

7．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p1：|a ＋b|＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫0，2π3

p2：|a ＋b|＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π p3：|a －b|＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫0，π3 p4：|a －b|＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤π3，π 其中真命题的个数是____________．

解析 由|a ＋b|＞1可得a2＋2a·b ＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b ＞－12，故θ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣

⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a·b ＞－12，|a ＋b|2＝a2＋2a·b ＋b2＞1，即|a ＋b|＞1，故p1正确．由|a －b|＞1可得a2－2a·b ＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b ＜12，故θ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤π3，π，反之也成立，p4正确．

答案 2

8．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．

解析 由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a 的最大值为－1.

答案 －1

9．若“x ∈[2,5]或x ∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x 的取值范围是________．

解析 x ∉[2,5]且x ∉{x|x<1或x>4}是真命题．

由⎩⎨⎧

x<2或x>5，1≤x≤4

得1≤x<2. 答案 [1,2)

10. 已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x2＋(y －a)2＝1相切”，则p 是q 的________

条件．

解析 由直线x ＋y ＝0与圆x2＋(y －a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x ＋y ＝0的距离等

于圆的半径，即有|a|2

＝1，a ＝±2.因此，p 是q 的充分不必要条件． 答案 充分不必要

三、解答题

11．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命

题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

解 (1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a2≥4b ，则关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，