矩阵论若干分析及应用

目录
1、介绍 (2)
2、现实应用 (2)
2.1、图像处理 (3)
2.1.1、背景 (3)
2.1.2、理论基础 (3)
2.1.3、应用 (3)
2.2电路分析 (4)
2.2.1、背景 (4)
2.2.2、理论基础 (4)
2.2.3、应用 (5)
2.3、谱分析 (5)
2.3.1、背景 (5)
2.3.2、理论基础 (5)
2.3.3、应用 (6)
3、结论 (6)
参考文献 (7)
矩阵论若干分析及应用
摘要：矩阵论不仅是数学学科，也是理工学科重要的数学工具。

许多学科新的理论和方法的产生和发展就是矩阵论创造性应用和推广的结果，毫无夸张地说，矩阵理论在物理力学、信号与信息处理、通信、电子、图像处理、大数据分析、控制系统等众多领域最具创造性和灵活性，并起着不可代替作用的数学工具。

本文列举矩阵论若干相关知识点分别在图像处理、电路分析、谱分析法中的应用，相信在相关介绍和分析之后，大家会意识到矩阵论在现实应用中的强大之处。

关键词：矩阵论数学工具应用
1、介绍
矩阵这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。

而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。

从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。

凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。

1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。

文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。

另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。

凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。

1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。

泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。

他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。

1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。

1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。

傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。

而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。

矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

2、现实应用
2.1、图像处理
2.1.1、背景
图像作为人类感知世界的视觉基础，是人类获取信息、表达信息和传递信息的重要手段。

图像处理一般指数字图像处理。

既然是数字图像就可以考虑可以用矩阵的方法来处理一些问题。

接下来我们讨论矩阵论特征值和特征向量在图像处理中如何发挥作用的。

2.1.2、理论基础
特征值和特征向量的定义设是矩阵A 是n阶方阵，若有数λ和非零向量χ，使得Aχ=λχ。

称数λ是的特征值，非零向量χ是λ对应于特征值的特征向量。

特征值和特征向量的求法：简单设A是3阶矩阵，由Aχ=λχ得（A-λE）χ=0，并且由于χ是非零向量，故行列式A−λE=0，即：
a11−λa12a13
=0
a21a22−λa23
a31a32a33−λ
由此可以求解得出λ1、λ2、λ3，然后根据某个λi代入线性方程组（A-λi E）χ=0解出非零
解χ=χ
，这就是A对应于特征值λi的特征向量。

i
2.1.3、应用
矩阵论在图像中的应用比如有主成分变换(PCA)方法，是一种基于图像统计特性的变换，它的协方差矩阵除对角线以外的元素都是零，消除了数据之间的相关性，从而在信息压缩方面起着重要作用。

选取特征值最高的k 个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法。

一般而言，这一方法的目的是寻找任意统计分布的数据集合之主要分量的子集。

相应的基向量组满足正交性且由它定义的子空间最优地考虑了数据的相关性。

将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性降低到最低点。

在模式识别和图像处理中一个主要的问题就是降维，在实际的模式识别问题中，我们选择的特征经常彼此相关，在识别这些特征时，数量很多，大部分都是无用的。

如果我们能减少特征的数量，即减少特征空间的维数，那么我们将以更少的存储和计算复杂度获得更好的准确性。

如何寻找一种合理的综合性方法，使得：1减少特征量的个数。

2尽量不损失或者稍损失原特征中所包含的信息。

3使得原本相关的特征转化为彼此不相关（用相关系数阵衡量）。

K-L变换即主成分分析就可以简化大维数的数据集合。

它还可以用于许多图像的处理应用中，例如：压缩、分类、特征选择等。

K-L变换的原理:目的是寻找任意统计分布的数据集合主要分量的子集。

基向量满足相互正交性，且由它定义的空间最优的考虑了数据的相关性。

将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性降低到最低点。

对某一n个波段的多光谱图像实行一个线性变换，即对该多光谱图像组成的光谱空间X 乘以一个线性变换矩阵A，产生一个新的光谱空间Y，即产生一幅新的n个波段的多光谱图像。

其表达式为Y = AX。

式中：X为变换前多光谱空间的像元矢量；Y为变换后多光谱空间
的像元矢量；A为一个nxn的线性变换矩阵。

对于K-L变换中的矩阵A，必须满足以下要求：A为n×n正交矩阵，A=[φ1,φ2,φ3,…,φn]。

对正交矩阵A来说，取φi为X的协方差矩阵∑x的特征向量，协方差矩阵除对角线以外的元素都是零。

变换Y=A T X与反变换X=AY即为K-L变换的变换公式。

A的作用实际上对各分量加一个权重系数，实现线性变换。

Y的各分量的信息的线性组合，它综合了原有各分量的信息而不是简单的取舍，这使得新的n维随机向量Y能够较好的反映事物的本质特征。

2.2电路分析
2.2.1、背景
电路分析是电子专业领域人员设计和测试复杂电路系统必备一项专业技能，该知识具有概念性强、电路分析繁杂、求解计算量大的特点。

为了缓解此问题，往往需要合适的电路分析方法以及如何借用计算机进行复杂计算，因此引入了矩阵理论，并结合MATLAB 软件对电路矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。

2.2.2、理论基础
一般地，n个未知量，m个方程组成的线性方程组可以表示为：
a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1
a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2
：
a m1x1+a m2x2+⋯+a mn x n=
b m
（1）
其中x1,x2,..,x n是方程组的n个未知量，a ij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)是第i个方程中第j 个未知量x j的系数，b i(i=1,2,…,m)是第i个方程的常数项.若记
A=a11⋯a1n
⋮⋱⋮
a m1⋯a mn
X=
x1
x2
x3
B=
b1
b2
b3
则按矩阵乘法和矩阵相等的定义(1)式可写成
AX=B
其中mxn矩阵A称为线性方程组（1）的系数矩阵，nx1矩阵X称为未知量矩阵，mx1矩阵B称为常数项矩阵.
显然,线性方程组解的情况取决于未知量的系数和常数项. mx(n+1)矩阵A=A,B称为线性方程组（1）的增广矩阵，可以表示为
A=A,B=a11⋯a1n
⋮⋱⋮
a m1⋯a mn
b1
⋮
b m
则线性方程组(1)与其增广矩阵是一一对应的.
如果用常数ε1,ε2,…,εn依次代替线性方程组（1）中的n个未知量x1,x2,…,x n时,(1)中m个方程均成为恒等式,则称x1=ε1,x2=ε2,…,x n=εn为(1)的一个解.此时也称方程组(1)有解,并可表示方程组的解为矩阵形式
ε=ε1：εn
也称nx1解矩阵为(1)的一个解向量,或者说X=ε是AX=B的解.
2.2.3、应用
电子领域基础知识电路分析中，经过理论分析后形成线性方程组，求未知解是电路分析的一项基本技能。

而求解线性方程组使用矩阵理论，优势十分明显。

例如某电路网孔法求网孔电流i a、i b、i c，其中电阻、供电电压为已知，网孔方程为：
(R1+R2+R3)i a−R3i b=u s
−R3i a+R3+R4+R5i b−R5i c=0
−R5i b+R5+R6+R7i c=0
(1)
上述方程（1 ）在求解过程中相对简单，但如果电路复杂未知量继续增多，则利用初等代数方法求解线性方程组就比较困难，相当繁杂。

借助矩阵理论，可将方程式（1）变换为如下矩阵形式：
(R1+R2+R3−R30−R3R3+R4+R5−R5
0−R5R5+R6+R7i a
i b
i c
=
1
u s(2)
矩阵形式方程(2)可表述为AI=BS。

（A表示方程组系数矩阵；i表示网孔电流列向量；BS表示网孔电源列向量)
现代电路系统集成度高，电路分析复杂，相关已知量和未知量成量级增长，另外数据计算误差保持在合理的对电路的影响也是非常重要的，通过矩阵理论分析和MATLAB计算变得更加高效和准确。

2.3、谱分析
2.3.1、背景
利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱分析。

在雷达信号处理中，由回波信号的功率谱密度、谱峰宽度、高度和位置，可以确定运动目标的位置、辐射强度和运动速度。

例如通过雷达信号，观测得到导弹的飞行若干样本数据，确定导弹飞行轨迹和判断着陆位置，对建立反导系统意义重大，又例如对全球卫星定位系统解算优化。

谱分析中特征分解法相关的总体最小二乘法在进行数值分析后拟合相关曲线轨迹。

2.3.2、理论基础
考虑线性非齐次方程组：AX=b的求解，其最小二乘解X0满足下式：
AX0−b=min x AX−b
令e=AX-b，即求X，使得,e.的值最小，且e+bϵR(A)，因此最小二乘问题等同用一个最小的e去扰动b以便b+e可以用A的各列来预测。

例如对于给定的一组观测数(x i, y i)(i=0，1，2……,m),要求出自自变量x与因变量y的函数
关系y=S(x)，由于观测数据总有误差，所以不要求y=S(x)通过点(x i , y i )(i=0，1，2……,m)而只
要求在给定点x i 上的误差e= S(x i , y i )(i=0，1，2……,m)的平方和最小，即 e 2m i 最小。

若已知：
S(x)=a 0φ0 x +a 1φ1 x +a 2φ2 x +⋯+a n φn (x)
这里φ0 x ,φ1 x ,…,φn x 是线性无关的函数族，假定有一组数据(x i , y i )(i=0，1，2……,m)
要求y=S(x)使得I=(a 0, a 1,.., a n )= (s x i −y i )2m i 最小,得到拟合曲线y=S(x)，这种方法称为曲
线拟合的最小二乘法。

2.3.3、应用
工程技术中复杂系统的优化广泛使用最小二乘法。

导弹轨迹问题，在已知曲线大致模型的情况下，运用曲线拟合最小二乘法，使得观测数据与曲线模型数据之间的误差平方和最小，进而求的曲线模型参数，并由所求的曲线曲线模型进行分析预测轨迹和着陆点。

数据
(x i , y i )(i=0，1，2……,m 要求曲线y=S(x)使得I=(a 0, a 1,.., a n )= (s x i −y i )2m i 最小，
I=(a 0, a 1,.., a n )实际上是关于a 0, a 1,.., a n 的多元函数求最小值即是求多元函数的极值问题，由极值的必要条件得：
∂I
∂a k = 2 a 0φ0 x +a 1φ1 x +a 2φ2 x +⋯+a n φn x −y i m i φk x i k=0,1,2,….,n 令φi = φi x 0 ：φi x m
y = y 0：y m ，即φi 是将实验数据x i 代入函数所得的列向量，y 是实验
数据的列向量，则上式可写为：
(φ0,φk ) a 0+(φ1,φk )a 1+⋯.+(φn ,φk )a n =(y,φk )
这里是关于参数,a-0.,,a-1.,…,,a -n.的线性方程组，可用矩阵表示：
(φ0,φ0)⋯(φ0,φn )⋮⋱⋮(φn ,φ0)⋯(φn ,φn ) a 0⋮a n = (y,φ0)⋮(y,φn )
解线性方程组，记方程解为：a k =a k ∗从而得到最小二乘拟合曲线
S ∗(x)= a 0∗φ0(x)+ a 1∗φ1 x +⋯+a n ∗φn (x)
分析误差向量e 为：
e= S ∗ x 0 −y 0⋮ S ∗ x m −y m
则拟合曲线的平方误差为向量的2-范数的平方，即
e 22= (S ∗ x i −y i )2m i
此外卫星定位系统定位的本质就是线性最小二乘法问题，对定位系统的算法主要伪距定位法结合载波相位定位法，优势互补，针对线性二乘法将目标矩阵2-范数正交不变性考虑进来，结合改进的Households 法，提出导航定位问题的优化改进算法。

3、结论
随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。

诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经
济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。

当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。

因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。

参考文献。