电子科技大学信号检测与估计2016期末考试

信号检测与估计试题答案
三、（15分）现有两个假设
00,11,:,1,2,,:,1,2,,j j j j j j H y u z j K H y u z j K
=+==+=
其中观测样本j y 为复信号，0,1,,j j u u 是复信号样本，j z 是均值为零、方差为
2*z j j E z z σ⎡⎤=⎣⎦的复高斯白噪声，代价因子为001101100,1c c c c ====，先验概率
010.5ππ==
（1）试写出两假设下的似然函数()0p y 和()1p y ，其中12[,,,]T K y y y y =
；（4分）
（2）采用贝叶斯准则进行检测，给出信号检测的判决规则表达式；（6分） （3）在上题基础上，计算虚警概率。

（5分） 解：
（1）观测样本j y 在假设0H 下的概率密度函数为
()2
0,022
1exp 1,2,,j j
j z z y u p y j K πσσ⎧⎫
-⎪⎪=-=⎨
⎬⎪⎪⎩
⎭
……..（2分）
由于样本间互相独立，则K 个观测样本的联合概率密度函数为
()()()()()
20010200,2211
1exp K K j j K
j z z p y p y p y p y y u σπσ=⎧⎫==
--⎨⎬
⎩⎭∑
…….（1分）
同理可得，在假设1H 下的似然函数为
()()()()()
21111211,2211
1exp K K j j K
j z z p y p y p y p y y u σπσ=⎧⎫==
--⎨⎬
⎩⎭∑
…….（1分）
（2）首先计算似然比：
()()(){}{}1**
011,0,22221
102222exp Re Re K K j j j j j j z z z z p y L y y u y u p y εεσσσσ==⎧⎫==--+⎨⎬⎩⎭∑∑
其中∑==K j j u 12
,00||21ε，∑==K j j u 1
2,11||21ε。

……..（2分） 然后，计算贝叶斯准则似然比门限为
()
()010********
B C C C C πτπ-=
=-
………（2分）
因此，根据
{}{}1
**011,0,222
21
10
2222exp Re Re 1K K j j j j j j z z z z D y u y u D εεσσσσ==≥⎧⎫--+⎨⎬<⎩⎭∑∑ 化简可得最后的判决表达式：
()
{
}
1*
1,0,101
Re K
j j j j D y u u D εε=≥
--<∑ ……..（2分） （3）在假设0H 下，j y 是均值为0,j u 、方差为2
z σ的复高斯随机变量，因此，统计决策量
(){}
*
1,0,1
Re K
j j j j y u u μ==-∑ 为高斯分布随机变量，其均值和方差分别为：
{
}002r E H με=- （1分）
{
}(
)()
2
201
01222
z r z r Var H σμεεσεε=
+-=+- （1分）
其中，*
0,1,K
j j
r i u
u
J ρρρ=+=
∑ 定义为两信号的相关系数。

因此，虚警概率为：
()0f P p H d τ
μμ∞
=⎰ ……（1分）
其中，
(
)()2
202p H μμμσμ⎧⎫-=⎪⎪
-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
（1分）
式子中，02r με=-
，()
2
201z r μ
σσεε=+-。

经化简，最终可得：
1
2f P erfc μ⎛⎫
= （1分） 其中，(
)2
u x
erfc x e du ∞
-=
为误差补函数。

四、（18分）若观测方程为：
21,2,,j j
y a n j K ==
其中b a ,是非随机参量，j n 是独立同分布的随机变量，其概率密度函数为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2exp 21)(2j
j n n p π 请问答以下问题：
（1）试计算参量a 和b 的最大似然估计ˆML a 和ˆML b ；（10分） （2）最大似然估计ˆML a 和ˆML b 是无偏估计吗？为什么？（4分） （3）ˆML a 和ML
b ˆ是均方一致估计吗？为什么？（4分） 解：
（1）因j n 是高斯分布的随机变量，则j y 也是高斯分布，其对应的均值和方差为
{}2j E y a =
{}j
V a r
y b =
由均值和方差写出以参量a 和b 为条件的j y 的似然函数为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
b a y b b a y p j j 2)(exp 21),/(2π ----------------1分 由题设知j y 是相互独立的。

因此，K y y y ,,,21 的联合似然函数为
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=∑=b a y b b a y y y p K j j K K 2)(e x p )2(1),/,,,(122
/21π ----------2分
两边取自然对数，并分别对a 和b 求偏导，并令其偏导等零
0ˆˆ2)
(2)
,/,,,(ln 1
21===-=
∂∂∑=ML ML K
j j K b
b a a b
a y a
b a y y y p ----------------2分
0ˆˆ2)
(2),/,,,(ln 2
2
1
21===-+
-=∂∂∑=ML
ML K
j j
K b
b a
a b
a y
b
K
b b a y y y p 解以上的方程组可得：
∑==K
j j ML y K a
1
1ˆ------------------2分 ∑=-=K j j ML y y K b 12)(1ˆ，其中∑==K j j y K y 11为观测样本均值------------------2分 （2）因a y E K a
E K
j j ML ==∑=1
}{1}ˆ{，则ML a ˆ是无偏估计。

--------2分 因b b K
K y y E K b E K j j ML ≠-=-=∑=121}){(1}ˆ{，则ML b ˆ是有偏估计。

------------2分 （3）因对a 估计的均方误差的极限
0lim })ˆ{(lim 2==-∞→∞
→K
b
a a
E K ML K
因此，ML a
ˆ是均方一致估计。

------------------------2分 对b 估计的均方误差
2
22222
1)1(2)1ˆ(})ˆ{(b K
b K K K b b K K b E b b E ML
ML +-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
---=-------------2分 上式取极限得
0}1)1(2{lim })ˆ{(lim 2
2
222=+-=-∞
→∞
→b K b K K b b E K ML
K 因此，ML
b ˆ也是均方一致估计。

--------------1分。