惠州市惠城区2020年新人教版九年级上期末数学试卷含答案解析

2020-2021学年广东省惠州市惠城区九年级(上)期末数学试卷
一.选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1．下列图案是几种名车标志，其中属于中心对称图形的是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．方程x(x﹣1)=0的根是()
A．0 B．1 C．0或1 D．无解
3．抛物线y=﹣(x+2)2﹣1顶点坐标是()
A．(2，﹣1) B．(2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(﹣2，1)
4．有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为偶数的概率是()
A．B．C．D．
5．某果园第1年水果产量为100吨，第3年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为() A．144(1﹣x)2=100 B．100(1﹣x)2=144 C．144(1+x)2=100 D．100(1+x)2=144
6．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论:
①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于﹣1的实数根．
其中正确的是()
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
7．已知如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点，使不等式ax+b ＞成立的自变量x的取值范围是()
A．x＜﹣1或x＞4 B．﹣1＜x＜4 C．x＜﹣1或0＜x＜4 D．﹣1＜x＜0或x＞4
8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是()
A．30°B．45°C．60°D．40°
9．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为()
A．0.5 B．1.5 C．D．1
10．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为()
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二.填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．已知反比例函数y=的图象经过点(2，﹣3)，则此函数的关系式是．
12．把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线
是．
13．一次聚会中每两人都握了一次手，所有人共握手15次，共有人参加聚会．
14．在拼图游戏中，从图(1)的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“房子”如图(2)的概率为．
15．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=．
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=．
三.解答题(一)(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)
17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0一个根为﹣2，求另一个根和k的值．
18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(﹣4，1)，点B的坐标为(﹣1，1)．
(1)将Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△A′B′C′，试在图中画出图形Rt△Rt△A′B′C′，并写出C′的坐标；
(2)求弧的长．
19．如图，一座抛物线型拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞顶部离水面1m是警戒水位．求警戒水位时的水面宽度．
三.解答题(二)(本大题共3个小题，每小题7分，共21分)
2020大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．
(1)试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；
(2)若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
(1)求证:CF=BF；
(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径．
22．景泰特产专卖店销售杏脯，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加2020．若该专卖店销售这种杏脯要想平均每天获利2240元，请回答:
(1)每千克杏脯应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
三.解答题(三)(本大题共3个小题，每小题9分，共27分)
23．已知反比例函数y=的图象的一支位于第二象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
(2)如图，O为坐标原点，点M在该反比例函数位于第二象限的图象上，点N与点M关于x 轴对称，若△OMN的面积为6，求m的值；
(3)在(2)的条件下，当2＜MN＜4时，求线段OA的取值范围(直接写出结果)
24．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=12020
(1)求证:CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
25．如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点，顶点为D，设点E(x，y)是抛
物线上一动点，且在x轴下方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点E(x，y)运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值？
(3)在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d=MD+MB最小，求点M的坐标．
2020-2021学年广东省惠州市惠城区九年级(上)期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1．下列图案是几种名车标志，其中属于中心对称图形的是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解:第二、三个图形是中心对称图形的图案，
故选B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
2．方程x(x﹣1)=0的根是()
A．0 B．1 C．0或1 D．无解
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】解一元二次方程时，需要把二次方程化为两个一元一次方程，此题可化为:x=0或x ﹣1=0，解此两个一次方程即可．
【解答】解:∵x(x﹣1)=0
∴x=0或x﹣1=0
∴x1=0，x2=1．
故选C．
【点评】此题虽不难，但是告诉了学生求解的一个方法，高次的要化为低次的，多元得要化为一元的．
3．抛物线y=﹣(x+2)2﹣1顶点坐标是()
A．(2，﹣1) B．(2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(﹣2，1)
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的性质，即可得出结论．
【解答】解:∵抛物线的解析式为y=﹣(x+2)2﹣1，
∴抛物线的顶点为(﹣2，﹣1)．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质中的抛物线的顶点式，解题的关键是牢记抛物线的性质．本题属于基础题型，解决此类题型最好的办法是熟悉二次函数的性质．
4．有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为偶数的概率是()
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【专题】压轴题．
【分析】投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数中有2，4，6三个偶数，则有3种可能．
【解答】解:根据概率公式:P(出现向上一面的数字为偶数)=．故选C．
【点评】用到的知识点为:概率等于所求情况数与总情况数之比．
5．某果园第1年水果产量为100吨，第3年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为()
A．144(1﹣x)2=100 B．100(1﹣x)2=144 C．144(1+x)2=100 D．100(1+x)2=144
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】第3年的产量=第1年的产量×(1+年平均增长率)2，把相关数值代入即可．
【解答】解:第2年的产量为100(1+x)，
第3年的产量为100(1+x)(1+x)=100(1+x)2，
即所列的方程为100(1+x)2=144，
故选:D．
【点评】考查列一元二次方程；得到第3年产量的等量关系是解决本题的关键．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论:
①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于﹣1的实数根．
其中正确的是()
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口方向知道a＜0，与y轴交点知道c＞0，由此即可确定ac的符号；
②由于当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，由此即可判定a﹣b+c 的符号；
③根据图象知道当x＜0时，y＜c，由此即可判定此结论是否正确；
④根据图象与x轴交点的情况即可判定是否正确．
【解答】解:∵图象开口向下，∴a＜0，
∵图象与y轴交于正半轴，则c＞0，
∴ac＜0，故选项①正确；
∵当x=﹣1时，对应y值小于0，即a﹣b+c＜0，故选项②正确；
③当x＜0时，y＜c，故选项③错误；
④利用图象与x轴交点都大于﹣1，故方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于﹣1的实数根，故选项④正确；
故选；D．
【点评】此题主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，如:当x=1时，y＞0，a+b+c＞0；x=﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0．
7．已知如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点，使不等式ax+b ＞成立的自变量x的取值范围是()
A．x＜﹣1或x＞4 B．﹣1＜x＜4 C．x＜﹣1或0＜x＜4 D．﹣1＜x＜0或x＞4 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】当一次函数的值＞反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，由此直接根据图象可以写出一次函数的值＞反比例函数的值x的取值范围．
【解答】解:由图象得出，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象的交点A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，
∵等式ax+b＞的解集为一次函数的值＞反比例函数的值x的取值范围，
∴不等式ax+b＞kx的解集为x＜﹣1或0＜x＜4，
故选C．
【点评】本题考查一次函数的解析式y=kx+b和反比例函数y=中图象问题，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要找到关键的点A、B．
8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是()
A．30°B．45°C．60°D．40°
【考点】切线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以
∠C=AOB=30°．
【解答】解:连结OB，如图，
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，
而∠C=∠OBC，
∴∠C=AOB=30°．
故选:A．
【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径．
9．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为()
A．0.5 B．1.5 C．D．1
【考点】旋转的性质．
【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC ﹣BD计算即可得解．
【解答】解:∵∠B=60°，
∴∠C=90°﹣60°=30°，
∵AC=，
∴AB=AC•tan30°=×=1，
∴BC=2AB=2，
由旋转的性质得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．
故选:D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．
10．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为()
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】半径为6的半圆的弧长是6π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是6π，然后利用弧长公式计算．
【解答】解:设圆锥的底面半径是r，半径为6的半圆的弧长是6π，
则得到2πr=6π，
解得:r=3，
这个圆锥的底面半径是3．
故选:D．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．
正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
二.填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．已知反比例函数y=的图象经过点(2，﹣3)，则此函数的关系式是y=﹣．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】反比例函数的图象经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=(k≠0)即可求得k 的值．
【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(2，﹣3)，
∴﹣3=，解得k=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣．
故答案为:y=﹣．
【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
12．把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线是y=﹣(x+3)2+2．．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】抛物线y=﹣x2的顶点坐标为(0，0)，则把它向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为(﹣3，2)，然后写出顶点式即可．
【解答】解:把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线解析式为y=﹣(x+3)2+2．
故答案为y=﹣(x+3)2+2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13．一次聚会中每两人都握了一次手，所有人共握手15次，共有6人参加聚会．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手x﹣1次，且其
中任何两人的握手只有一次，因而共有x(x﹣1)次，设出未知数列方程解答即可．
【解答】解:设有x人参加聚会，根据题意列方程得，
x(x﹣1)=15，
解得x1=6，x2=﹣5(不合题意，舍去)；
故答案为:6；
【点评】此题主要考查列方程解应用题，理解:设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手x﹣1次是关键．
14．在拼图游戏中，从图(1)的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“房子”如图(2)的概率为．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出能拼成“房子”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解:画树状图为:
共有12种等可能的结果数，其中能拼成“房子”的结果数为8，
所以能拼成“房子”的概率==．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
15．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=55°．
【考点】旋转的性质．
【分析】根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A的度数．
【解答】解:∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC=90°，
∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，
则∠A=∠A′=55°．
故答案为:55°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题关键．
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=1．
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出．
【解答】解:如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=4﹣r，AF=AD=3﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
∴r=1．
∴△ABC的内切圆的半径为1．
故答案为；1．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．
三.解答题(一)(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)
17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0一个根为﹣2，求另一个根和k的值．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=﹣k，﹣2t=﹣1，然后求出t，再计算出k即可．
【解答】解:设方程的另一根为t，
根据题意得﹣2+t=﹣k，﹣2t=﹣1，
所以t=，k=，
即另一个根和k的值分别为，．
【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(﹣4，1)，点B的坐标为(﹣1，1)．
(1)将Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△A′B′C′，试在图中画出图形Rt△Rt△A′B′C′，并写出C′的坐标；
(2)求弧的长．
【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．
【分析】(1)根据旋转的定义分别作出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可，点C′的坐标由图象即可知道．
(2)根据弧长公式代入计算即可．
【解答】解:(1)如图所示，C′(3，1)．
(2)弧的长==π．
【点评】本题考查旋转的变换、弧长的计算，理解旋转的定义是解决问题的关键，记住弧长公式L=，本题属于中考常考题型．
19．如图，一座抛物线型拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞顶部离水面1m是警戒水位．求警戒水位时的水面宽度．
【考点】二次函数的应用．
【分析】以线段AB所在直线为x轴、AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系求出函数解析式，根据题意求出y=3时x的值即可的警戒水位时水面宽度．
【解答】解:如图，以线段AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，
抛物线顶点(0，4)且经过(6，0)，
设y=ax2+4，将点B(6，0)代入，得:36a+4=0，
∴，
∴
当y=3时，，解得:x=±3
故警戒水位时的水面宽度3﹣(﹣3)=6m．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，解决此问题首先建立合适的平面直角坐标系是解题的前提，熟练准确求出函数关系式是基本技能和关键．
三.解答题(二)(本大题共3个小题，每小题7分，共21分)
2020大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．
(1)试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；
(2)若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】(1)依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率；
(2)根据(1)中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案．
【解答】解:(1)画树状图得:
，
由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种．
∴P=．
(2)不公平；
理由:
由(1)可得出:取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为:．
∵＜，
∴这个游戏不公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
(1)求证:CF=BF；
(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径．
【考点】圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】(1)首先延长CE交⊙O于点P，由垂径定理可证得∠BCP=∠BDC，又由C是的中点，易证得∠BDC=∠CBD，继而可证得CF=BF；
(2)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得答案．
【解答】(1)证明:延长CE交⊙O于点P，
∵CE⊥AB，
∴=，
∴∠BCP=∠BDC，
∵C是的中点，
∴CD=CB，
∴∠BDC=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCP，
∴CF=BF；
(2)解:∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD=6，AC=8，
∴BC=6，
在Rt△ABC中，AB==10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
22．景泰特产专卖店销售杏脯，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加2020．若该专卖店销售这种杏脯要想平均每天获利2240元，请回答:
(1)每千克杏脯应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】(1)设每千克杏脯应降价x元，则每天销售可增加10x千克，根据每天获利2240元，列方程求解；
(2)根据题意，为尽可能让利于顾客，应该降价6元，求出此时的折扣．
【解答】解:(1)设每千克杏脯应降价x元，则每天销售可增加10x千克，
由题意得，(60﹣x﹣40)═2240，
解得:x1=4，x2=6．
答:每千克杏脯应降价4元或6元；
(2)每千克杏脯降价6元，此时每千克54元，
54÷60=0.9．
答:该店应按原售价的9折出售．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
三.解答题(三)(本大题共3个小题，每小题9分，共27分)
23．已知反比例函数y=的图象的一支位于第二象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
(2)如图，O为坐标原点，点M在该反比例函数位于第二象限的图象上，点N与点M关于x 轴对称，若△OMN的面积为6，求m的值；
(3)在(2)的条件下，当2＜MN＜4时，求线段OA的取值范围(直接写出结果)
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】(1)根据反比例函数的性质可得:双曲线的两支分别位于第一、第三象限时，m﹣5＜0，再解即可；
(2)设M，根据点N与点M关于x轴对称，可得N．然后表示出MN的长，再根据三角形的面积公式可得，再解即可；
(3)首先计算出当MN=2时AO的值，再计算出当MN=4时AO的值，然后可得答案．
【解答】解:(1)∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，
∴该函数图象的另一支位于第四象限．
∴m﹣5＜0，解得m＜5．
∴m的取值范围为m＜5．
(2)设M，
∵点N与点M关于x轴对称，
∴N．
∴MN=﹣(﹣)=，
OA=|a|=﹣a，
∴×(﹣a)×=6，
解得:m=﹣1；
(3)当MN=2时，×MN×AO=6，则AO=6，
当MN=4时，×MN×AO=6，则AO=3，
∴当2＜MN＜4时，则3＜OA＜6．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是
掌握(1)反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线；(2)当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第
三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；(3)当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．正确表示出M、N的坐标，MN的长．
24．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=12020
(1)求证:CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．
【专题】几何图形问题．
【分析】(1)连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
(2)阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【解答】(1)证明:连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=12020
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解:∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S
=．
扇形BOC
在Rt△OCD中，
∵，
∴．
∴．
∴图中阴影部分的面积为:．
【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．25．如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点，顶点为D，设点E(x，y)是抛
物线上一动点，且在x轴下方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点E(x，y)运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值？
(3)在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d=MD+MB最小，求点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】(1)设出解析式，由待定系数法可得出结论；
(2)点E在抛物线上，用x去表示y，结合三角形面积公式即可得出三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，再由E点在x轴下方，得出1≤x≤5，将三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式配方，即可得出最值；
(3)找出D点关于y轴对称的对称点D′，结合三角形内两边之和大于第三边，即可确定当MD+MB最小时M点的坐标．
【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则
，解得:．
故抛物线解析式为y=x2﹣4x+．
(2)过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，如图1所示．
E点坐标为(x，x2﹣4x+)，F点的坐标为(x，0)，
∴EF=0﹣(x2﹣4x+)=﹣x2+4x﹣．
∵点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴1≤x≤5．
三角形OEB的面积S=OB•EF=×5×(﹣x2+4x﹣)=﹣(x﹣3)2+(1≤x≤5)．
当x=3时，S有最大值．
(3)作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′，如图2所示．
∵抛物线解析式为y=x2﹣4x+=(x﹣3)2﹣，
∴D点的坐标为(3，﹣)，
∴D′点的坐标为(﹣3，﹣)．
由对称的特性可知，MD=MD′，
∴MB+MD=MB+MD′，
当B、M、D′三点共线时，MB+MD′最小．
设直线BD′的解析式为y=kx+b，则
，解得:，
∴直线BD′的解析式为y=x﹣．
当x=0时，y=﹣，
∴点M的坐标为(0，﹣)．
【点评】本题考查了二次函数的运用、待定系数法求二次函数解析式、点的对称以及三角形边的关系，解题的关键是:(1)能够熟练运用待定系数法求解析式；(2)利用三角形面积公式找出三角形面积的解析式，再去配方求最值；(3)先找对称点，再结合三角形内两边之和大于第三边确定点M的位置．本题属于中档题，难度不大，失分点在于(2)中部分同学会忘记求x的取值范围；(3)中不会用找对称点借助三角形边的关系确定M点的位置．
2020年4月4日。