信号流图与梅森公式

6
四、梅逊 (Mason)公式
❖ 梅森公式的一般式为：
n
PK K
G(s) K 1
7
梅森公式参数解释：
G(s)：待求的总传递函数；
Δ称为特征式， 且Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLk+… Pk：从输入端到输出端第k条前向通路的总 增益； Δk：在Δ中，将与第k条前向通路相接触的 回路所在项除去后所余下的部分，称余子式；
反馈回路4： L4 = - G3G4H4
R(s) G1
-
H4
4
-
G2
-
G3
G4
G5
-
2
H2
H3
3
H1
C(s) G6
1
18
利用梅森公式求传递函数(1)
1.求
4
1Li LiLj LiLjLk i1 4
Li L1L2L3L4
i1
G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 H 1 G 2 G 3 H 2 G 4 G 5 H 3 G 3 G 4 H 4
该系统的前向通道有三个：
P1= G1G2G3G4G5 P2= G1L6G4G5 P3= G1G2G7
Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1-L1
25
因此，系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为
C R((ssG ))Δ 1(1 p Δ1p2Δ2p3Δ3)
G 1G 2G 3G 4G 5G 1G 6G 4G 3G 1G 2G 7( 1G 4H 1)
1G 4H 1G 2G 7H 2G 6G 4G 5H 2G 2G 3G 4G 5H 2G 4H 1G 2G 7H 2
26
例3：画出信流图，并利用梅逊公式求取它 的传递函数C(s) / R(s)。
R(s) +
A1
+ -B 1 C + D 1
E1
C(s)
_ R1
C1s
_ R2
C2s
信流图：
1
R(s) 1 A R1
+ + C 2 (s)
G 12 (s) R 2 (s)
G 21(s) C 2 (s)
G 22 (s)
5
2、根据线性代数方程组绘制。 设一组线性方程式如下：
x1 x1
x2 x3
ax1
dx2 bx2
ex3
x4
cx3
x5
fx5 x5
x5
信流图的表示形式
x1 a x 2
b
d
e
f
c
x4
x3
G4
G5
-
-
2
H2
H3
3
H1
将第一条前向通道从图上除掉后的图
R(s)
-
H4 4
-
-
-
2
H2
H3
3
H1
C(s) G6
1
C(s)
1
图中不再有回路，故1=1
23
例2 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s）
G7
R(s)
+
G1
G2
-
G6
G3 + + G4 H1
H2
解：画出该系统的信号流程图
G5 + + C(s)
前向通路数：n＝1 ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和；
❖ Δ=1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2
题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有L1L2，即 ：
一、信号流图的几个定义
回路增益：回路中，所有支路增益的乘积。
PG G G G G G Δ=1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2
H (s)
N (s)
R (s) +
E (s)
G (s)
+
+ C (s)
4
_
H (s)
R (s) 1 E (s)
G (s)
H (s)
N (s) 1
1 C (s) C (s)
R1(s)
+ G 11(s)
C 1(s) +
R1(s)
G 11(s) C 1(s)
5
G 21(s)
R 2 (s)
G 12 (s) G 22 (s)
8
ΣLi:所有各回路的“回路传递函数”之和； ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
❖ “回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
R(s) G1
G6
G2
G3
G7
G4
G5
H1
H2
1 C(s) 24
该系统中有四个独立的回路：
L1 = -G4H1 L3 = -G6G4G5H2
L2 = -G2G7H2 L4 = -G2G3G4G5H2
互不接触的回路有一个L1 L2。所以，特征式
Δ=1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2
3
二、信流图的性质
1、每一个节点表示一个变量。 2、支路表示了一个信号对另一个信号的函数关 系。支路上的箭头方向表示信号的流向。 3、混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变 成为输出节点,且两节点的变量相同。
三、信号流图的绘制 1、根据方框图绘制
4
序号
方块图
1
R (s)
G (s)
C (s)
信号流程 图
10
举例说明（梅森公式）
❖ 例1：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
C(s) G6
11
求解步骤之一（例1）
❖ 找出前向通路数n
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
C(s) G6
12
该系统的前向通道有三个：
ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和；
1
1
C1s C 1 D
B
1
1
R2
C2s
E
1
1
1 C(s)
27
注意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信 号要用一个传输为1的支路把C、D的信号分开。
题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有L1L2， 即：
L1
1 R1C1s
1 L2 R2C2s
L3
1 R 2C1s
L1L2
1 R1C1sR2C2s
28
练习
e
g
1
a
b
c
d
R(s) f
C(s) h
四个单独回路，两个回路互不接触
前向通路两条
C(s)
abcd + ed (1–bg)
R(s) = 1 – af – bg – ch– ehgf+afch 29
作业：
2-11 求C(s)/R(s) 2-12 (a) (d)
30
1(L 1L2L3)L1L2 1 1 1 1 1 R1C1s R2C2s R2C 1s R1C1R2C2s
前向通路只有一条，即 P 1R 1R 2 C 1 1C 2s2
11
所以
C R ( (G s s P ) ) 1 Δ Δ 1 R 1 R 2 C 1 C 2 s2 R 1 1 C 1 s R 1 C 2 s 1
R (s)
G (s) C (s)
R (s) +
E (s) G (s)
C (s)
2
_
H (s)
N (s)
R (s) + E (s)
+
+
C (s)
3
_
G1(s)
G 2(s)
H (s)
R (s) 1 E (s)
G (s) C (s)
H (s)
N (s)
1
R (s) 1 E ( s ) G1(s)
G 2(s) C ( s )
G3
混1将2）、合第根 根节 一据据点条系线：前统性既向的代有通结数输道-构方出从框程支图图组路上可绘除,又画制掉有出。后输信的入号图支流路图-的节点,如：x2、H2x3。
G4
-
G5
H3
将第一条前向通道从图上除掉后的图
1）根据系统的结构框图可画出信号流图 一、信号流图的几个定义
H1
1）根据系统的结构框图可画出信号流图
x1→x2→x3→x4总增益abc。
d
e
f
c x4
x3
回 路：通路的起点就是通路的终点，并且与其它节 点 相交不多于一次的闭合通路叫回路。
回路增益：回路中，所有支路增益的乘积。图中有两 个回路，一个是x2→x3→x2，其回路增益为be， 另一个回 路是x2→x2，又叫自回路，其增益为d。
不接触回路：指相互间没有公共节点的回路。图中无。
互不接触的回路有一个L1 L2。
1 前向通路只有一条，即
123456
C(s) G6
13
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求解步骤之二（例1）
❖ 确定系统中的反馈回路数
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
C(s) G6
14
1.寻找反馈回路之一
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
反馈回路1： L1 = －G1G2G3G4G5G6H1
ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和；
求解步骤之一（例1） 注意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信号要用一个传输为1的支路把C、D的信号分开。
例2 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s） 例1：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)
互不接触的回路有一个L1 L2。
2－5 信号流图及梅森公式
❖ 是表示复杂系统的又一种图示方法。
❖ 重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x 2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
L iL j L 2 L 3 ( G 2 G 3 H 2 ) G ( 4 G 5 H 3 )
G 2G 3G 4G 5H 2H 3
LiLjLk不 存 在
19
利用梅森公式求传递函数(1)
4
1Li LiLj LiLjLk i1
1G1G2G3G4G5G6H1G2G3H2 G4G5H3 G3G4H4 G2G3G4G5H2H3
20
利用梅森公式求传递函数(2)
2.求Pk,k
P 1G 1G 2G 3G 4G 5G 6
1 ?
21
求余子式1
R(s) G1
-
H4
4
-
G2
-
H2
G3
G4
-
G5
2
3
H3
H1
C(s) G6
1
将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特
征式 的求法，计算 1
22
求余式1
R(s) G1
-
H4 4
-
G2
G3
Δ称为特征式，
且Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLk+…
P3= G1G2G7
Δ3=1-L1
利用梅森公式求传递函数(1) 因此，系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为
H4
L题ΣL3目i=L中jR-:G两单(6s两G独)4互G回不5路H接2有触L1的、回L路2G和，1L其3，“L4互回=不路-G接传2触G递3回G函路4数G有G5”H2L乘21L积2，之即和；：-
混x合3。节点：既有输出支路,又有输入支路的节点,如：x2、
传之间的输增：益两为个a节，点则之传间输的也增为益a。叫传输。如：x1→x2
前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个
节点只通过一次的通路称为前向通路。如
x1→x2→x3→x4 。
2
x5
前向通路总增益：前向通路 x1 a x 2 b
上各支路增益的乘积 ，如：
C(s) G6
1
15
1.寻找反馈回路之二
反馈回路2：
L2 = - G2G3H2
H4
R(s) G1
-
-
G2
G3
-
2
H2
G4
G5
-
H3
H1
C(s) G6
1
16
1.寻找反馈回路之三
R(s) G1
-
反馈回路3：
H4
L3 = - G4G5H3
-
G2
G3
-
2
H2
H1
G4
G5
-
3
H3
C(s) G6
1
17
1.寻找反馈回路之四