第9节 二项分布、超几何分布与正态分布
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[解析] (1)因为X的可能取值为0,1,2,3,所以P(X=k)=,k=0,1,2,3,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
A
[解析]由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.
5. (2022年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .
0.14
考点一 二项分布
【例 1】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .
D
(2)科研人员在另一个实验中发现,疫苗可多次连续注射,白兔多次注射疫苗后,每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响,相互独立,试问:如果将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当作疫苗的有效率,那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%?若能,请说明理由;若不能,请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求.
[解析]每一位乘客是在第20层下电梯为一次试验,且每一位乘客在第20层下电梯的概率都是,因此这是5次独立重复试验,故ξ~B(5,) ,所以P(ξ=4)=() 4×=.
二项分布满足的条件1.每次试验中,同一事件发生的概率是相同的;2.各次试验中的事件是相互独立的;3.每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生;4.随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
一批产品的一等品率为0.9,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,Χ表示抽到的一等品件数,则D(X)= .
9
[解析]由题意可知,该事件满足独立重复试验,是二项分布模型,其中p=0.9,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.9×0.1=9.
考点二 超几何分布
【例2】研发新冠疫苗之初,为了测试疫苗的效果,科研人员以白兔为实验对象,进行了一些实验.(1)实验一:选取10只健康白兔,编号1至10号,注射一次新冠疫苗后,再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中,实验结果发现,除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒,其他白兔未被感染.现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究,将仍被感染的白兔只数记作X,求X的分布列和数学期望.
2.正态曲线的特点
（1）曲线是单峰的,它关于直线 对称;
（2）曲线在 处达到峰值 ；
（3）当 无限增大时,曲线无限接近 轴.
3.假设 ,可以证明:对给定的 , 是一个只与 有关的定值.特别地,
（1） _________;
（2） _________;
（3） _________.在实际应用中,通常认为服从于正态分布 的随机变量 只取 中的值,这在统计学中称为 原则.
2.超几何分布的期望设随机变量 服从超几何分布,则 _ ____.
三、正态分布
1.正态分布函数 _ ___________________,其中 , 为参数,称 为正态密度函数, 的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.若随机变量 的概率分布密度函数为 ,则称随机变量 服从正态分布,记作 .特别地,当 , 时,称随机变量 服从标准正态分布.
3.二项分布的期望、方差 如果 ,那么 ______, ____________.
二、超几何分布
1.超几何分布一般地,假设一批产品共有 件,其中有 件次品.从 件产品中随机抽取 件（不放回）,用 表示抽取的 件产品中的次品数,则 的分布列为 _ ________, , , , , .其中 , , , , , , .如果随机变量 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量 服从超几何分布.
×
（2）超几何分布的模型是不放回抽样.( )
√
×
2. (教材改编)已知X是一个随机变量,若X~B,则P(X=2)=( ). A. B. C. D.
D
[解析]由题意知n=6,p=,故P(X=2)=×=××=.
第9节 二项分布、超几何分布与正态分布
理清 知识结构
突破 考点题型
1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.了解正态分布的概念,并能借助正态分布曲线进行简单应用.
考试要求
一、二项分布
1. 重伯努利试验的特征（1）同一个伯努利试验重复做 次;（2）各次试验的结果相互独立.2.二项分布一般地,在 重伯努利试验中,设每次试验中事件 发生的概率为 ,用 表示事件 发生的次数,则 的分布列为 _________________, , , , , .如果随机变量 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量 服从二项分布,记作_____________.
0.6827
0.9545
0.9973
（3）二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=”）
（1）正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差.( )
3. (教材改编)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(X<c+3),则c= .
[解析] ∵X~N(3,1),∴正态曲线关于直线x=3对称,且P(X>2c-1)=P(X<c+3),∴2c-1+c+3=3×2,∴c=.
[解析]由题意知,解得
4. (2023·辽宁沈阳模拟)已知随机变量X服从二项分布X~B(n,p),若E(X)=,D(X)=,则p=( ).A. B. C. D.
A
[解析]由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.
5. (2022年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .
0.14
考点一 二项分布
【例 1】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .
D
(2)科研人员在另一个实验中发现,疫苗可多次连续注射,白兔多次注射疫苗后,每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响,相互独立,试问:如果将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当作疫苗的有效率,那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%?若能,请说明理由;若不能,请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求.
[解析]每一位乘客是在第20层下电梯为一次试验,且每一位乘客在第20层下电梯的概率都是,因此这是5次独立重复试验,故ξ~B(5,) ,所以P(ξ=4)=() 4×=.
二项分布满足的条件1.每次试验中,同一事件发生的概率是相同的;2.各次试验中的事件是相互独立的;3.每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生;4.随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
一批产品的一等品率为0.9,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,Χ表示抽到的一等品件数,则D(X)= .
9
[解析]由题意可知,该事件满足独立重复试验,是二项分布模型,其中p=0.9,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.9×0.1=9.
考点二 超几何分布
【例2】研发新冠疫苗之初,为了测试疫苗的效果,科研人员以白兔为实验对象,进行了一些实验.(1)实验一:选取10只健康白兔,编号1至10号,注射一次新冠疫苗后,再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中,实验结果发现,除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒,其他白兔未被感染.现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究,将仍被感染的白兔只数记作X,求X的分布列和数学期望.
2.正态曲线的特点
（1）曲线是单峰的,它关于直线 对称;
（2）曲线在 处达到峰值 ；
（3）当 无限增大时,曲线无限接近 轴.
3.假设 ,可以证明:对给定的 , 是一个只与 有关的定值.特别地,
（1） _________;
（2） _________;
（3） _________.在实际应用中,通常认为服从于正态分布 的随机变量 只取 中的值,这在统计学中称为 原则.
2.超几何分布的期望设随机变量 服从超几何分布,则 _ ____.
三、正态分布
1.正态分布函数 _ ___________________,其中 , 为参数,称 为正态密度函数, 的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.若随机变量 的概率分布密度函数为 ,则称随机变量 服从正态分布,记作 .特别地,当 , 时,称随机变量 服从标准正态分布.
3.二项分布的期望、方差 如果 ,那么 ______, ____________.
二、超几何分布
1.超几何分布一般地,假设一批产品共有 件,其中有 件次品.从 件产品中随机抽取 件（不放回）,用 表示抽取的 件产品中的次品数,则 的分布列为 _ ________, , , , , .其中 , , , , , , .如果随机变量 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量 服从超几何分布.
×
（2）超几何分布的模型是不放回抽样.( )
√
×
2. (教材改编)已知X是一个随机变量,若X~B,则P(X=2)=( ). A. B. C. D.
D
[解析]由题意知n=6,p=,故P(X=2)=×=××=.
第9节 二项分布、超几何分布与正态分布
理清 知识结构
突破 考点题型
1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.了解正态分布的概念,并能借助正态分布曲线进行简单应用.
考试要求
一、二项分布
1. 重伯努利试验的特征（1）同一个伯努利试验重复做 次;（2）各次试验的结果相互独立.2.二项分布一般地,在 重伯努利试验中,设每次试验中事件 发生的概率为 ,用 表示事件 发生的次数,则 的分布列为 _________________, , , , , .如果随机变量 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量 服从二项分布,记作_____________.
0.6827
0.9545
0.9973
（3）二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=”）
（1）正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差.( )
3. (教材改编)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(X<c+3),则c= .
[解析] ∵X~N(3,1),∴正态曲线关于直线x=3对称,且P(X>2c-1)=P(X<c+3),∴2c-1+c+3=3×2,∴c=.
[解析]由题意知,解得
4. (2023·辽宁沈阳模拟)已知随机变量X服从二项分布X~B(n,p),若E(X)=,D(X)=,则p=( ).A. B. C. D.