空间向量的坐标运算 人教课标版精品课件
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D(10,14,17) 共面
练习3 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分
别是BB1, D1B1的中点,求证EF DA1.
证明: 建立空间直角坐标系O-xyz
z
D1
F
C1
则D (0,0,0),A 1(1,0,1)
E1,1, 1 , 2
F 1 , 1 ,1 2 2
DB1 CD1 (1,1,1) (0, 1,1) 0, AD1 DB1, AC DB1 又AD1
DB1 平面ACD1
AC A,
练习39.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分
别是BB1, D1B1的中点,求证EF DA1.
证明: EF EB1 B1F
z
D1
C1
证明: 建立如图空间直角坐标系 A1
则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)
AD
y B1
C
A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0), x
B
DB1 (1,1,1), AD (1,01), CD (0,1,1)
DB1 AD1 (1,1,1) (1,0,1) 0,
dA,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
;
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。
练习２、P42 1～3
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； （2）到 A 、B两点距离相等的点 P(x , y , z)
的坐标 x , y , z 满足的条件
练习3、P42 4(1) 习题 ８
二、空间向量的应用 （1） a a12 a22 a32 (求线段的长)
z
D1 A1
C1 B1
D
E
F
C
y
A
B
x
例3、如图，在正方体
中，B1E1 D1F1
成的角的余弦值
1 4
A1B1
ABCD A1B1C1D1
，求 DF1与 BE1 所
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
练习4、P39 10
D
P42 5
xA
Cy
B
例4．已知点P是平行四边形ABCD所在平
面外一点，AB (2, 1, 4) AD (4, 2, 0) 如果 AP (1, 2, 1) ， (1)求平面 ABCD 的一个法向量； （2）求证：AP 是平面ABCD的法向量；
(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1) 、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
AB AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
G(1,3,5),求顶点C坐标 (6) ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5)求D
一、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3),则
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
z
18的z
4,2,4
2A1,2,1, B1,3,4, AP 2PB,则OP 1 , 8 ,3 3三点A1,5,2, B2,4,1,C p,3, q共线， 则3 3
p 3 q 4
(4)已知P(2,-1,3)为AB中点且A(0,4,7)求B (5)已知△ABC中,A(2,0,1),B(3,5,-2),重心
（3）求平行四边形ABCD的面积．
课堂小结
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。
2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题
(1) 建立直角坐标系，
(2)把点、向量坐标化，
(3)对向量计算或证明。
作业
１在、棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E,F分别是
AB x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2
（2）a b a b 0 (证明线线垂直)
（3） cos a,b a b (求线线夹角)
ab
例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中,E, F分别是
BB1,CD的中点.求证: D1F 平面ADE.
1
1
D1 A1
F
C1
B1
2 (BB1 B1D1) 2 ( AA1 BD)
EF 1
DA1
1 2
( AA1
BD)
DA1 EF
D A
DA1,
E B
C
2 ( AA1 DA1 BD DA1) 即EF DA1.
1 2
(|
AA1
|
|
DA1
|
cos
450
|
BD
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
DD1, DB中点，G在棱CD上，CG= 1 CD ，H是C1G的中点，
4
（1）求证：EF B1C ；
z
（2）求EF与C1G所成的角的余弦； D1
C1
（3）求FH的长
A1 E
Leabharlann Baidu
B1 H
（4）求平面EFH的一个法向量
（用空间向量法解决以上问题）
A
2、《名师》 P71
变式探究 x
D F
G
C y
B
例１.证明四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),
DB1 AD1 (DA DC DD1)(DD1 DA)0
AD1 DB1, AC DB1. 又AD1 AC A, DB1 平面ACD1.
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
A1
D A
x
B1
Ey
C B
DA1 (1, 0,1).
EF 1 , 1 , 1 2 2 2
EF
DA1
1 2
,
1 2
,
1 2
1,01
0
EF DA1, 即EF DA1.
练习140.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,
求证DB1 平面ACD1.
|
|
DA1
|
cos1200 )
0
练习410.已知正方体ABCD
D1
C1
-A1B1C1D1,求证DB1 平面ACD1. A1
B1
证明: DB1 DA DC DD1，AC DC DA D
C
AD1 DD1 DA
A
B
DB1 AC (DA DC DD1)(DCDA)0
z
——空间直角坐标系. a
向量的直角坐标运算. k
i Oj
A(x,y,z) y
x
复习提问：
1、设Ax1, y1, z1, Bx2, y2, z2
B
a
A
AB x2 x1, y2 y1, z2 z1 OB OA
2、设a x1, y1, z1,b x2, y2, z2
风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。
当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人……或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。
回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。
a b, a, a b, a // b, a b
３、① P为AB的中点
OP 1 OA OB 2
②Ｇ为△ABC的重心
OG 1 OA OB OC 3
③ P分 AB所成的比为 即AP PB
OP OA OB 1
练习1、
1与a 2,1,2共线,且满足a
人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。
也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。
练习3 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分
别是BB1, D1B1的中点,求证EF DA1.
证明: 建立空间直角坐标系O-xyz
z
D1
F
C1
则D (0,0,0),A 1(1,0,1)
E1,1, 1 , 2
F 1 , 1 ,1 2 2
DB1 CD1 (1,1,1) (0, 1,1) 0, AD1 DB1, AC DB1 又AD1
DB1 平面ACD1
AC A,
练习39.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分
别是BB1, D1B1的中点,求证EF DA1.
证明: EF EB1 B1F
z
D1
C1
证明: 建立如图空间直角坐标系 A1
则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)
AD
y B1
C
A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0), x
B
DB1 (1,1,1), AD (1,01), CD (0,1,1)
DB1 AD1 (1,1,1) (1,0,1) 0,
dA,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
;
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。
练习２、P42 1～3
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； （2）到 A 、B两点距离相等的点 P(x , y , z)
的坐标 x , y , z 满足的条件
练习3、P42 4(1) 习题 ８
二、空间向量的应用 （1） a a12 a22 a32 (求线段的长)
z
D1 A1
C1 B1
D
E
F
C
y
A
B
x
例3、如图，在正方体
中，B1E1 D1F1
成的角的余弦值
1 4
A1B1
ABCD A1B1C1D1
，求 DF1与 BE1 所
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
练习4、P39 10
D
P42 5
xA
Cy
B
例4．已知点P是平行四边形ABCD所在平
面外一点，AB (2, 1, 4) AD (4, 2, 0) 如果 AP (1, 2, 1) ， (1)求平面 ABCD 的一个法向量； （2）求证：AP 是平面ABCD的法向量；
(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1) 、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
AB AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
G(1,3,5),求顶点C坐标 (6) ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5)求D
一、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3),则
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
z
18的z
4,2,4
2A1,2,1, B1,3,4, AP 2PB,则OP 1 , 8 ,3 3三点A1,5,2, B2,4,1,C p,3, q共线， 则3 3
p 3 q 4
(4)已知P(2,-1,3)为AB中点且A(0,4,7)求B (5)已知△ABC中,A(2,0,1),B(3,5,-2),重心
（3）求平行四边形ABCD的面积．
课堂小结
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。
2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题
(1) 建立直角坐标系，
(2)把点、向量坐标化，
(3)对向量计算或证明。
作业
１在、棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E,F分别是
AB x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2
（2）a b a b 0 (证明线线垂直)
（3） cos a,b a b (求线线夹角)
ab
例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中,E, F分别是
BB1,CD的中点.求证: D1F 平面ADE.
1
1
D1 A1
F
C1
B1
2 (BB1 B1D1) 2 ( AA1 BD)
EF 1
DA1
1 2
( AA1
BD)
DA1 EF
D A
DA1,
E B
C
2 ( AA1 DA1 BD DA1) 即EF DA1.
1 2
(|
AA1
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DA1
|
cos
450
|
BD
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
DD1, DB中点，G在棱CD上，CG= 1 CD ，H是C1G的中点，
4
（1）求证：EF B1C ；
z
（2）求EF与C1G所成的角的余弦； D1
C1
（3）求FH的长
A1 E
Leabharlann Baidu
B1 H
（4）求平面EFH的一个法向量
（用空间向量法解决以上问题）
A
2、《名师》 P71
变式探究 x
D F
G
C y
B
例１.证明四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),
DB1 AD1 (DA DC DD1)(DD1 DA)0
AD1 DB1, AC DB1. 又AD1 AC A, DB1 平面ACD1.
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
A1
D A
x
B1
Ey
C B
DA1 (1, 0,1).
EF 1 , 1 , 1 2 2 2
EF
DA1
1 2
,
1 2
,
1 2
1,01
0
EF DA1, 即EF DA1.
练习140.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,
求证DB1 平面ACD1.
|
|
DA1
|
cos1200 )
0
练习410.已知正方体ABCD
D1
C1
-A1B1C1D1,求证DB1 平面ACD1. A1
B1
证明: DB1 DA DC DD1，AC DC DA D
C
AD1 DD1 DA
A
B
DB1 AC (DA DC DD1)(DCDA)0
z
——空间直角坐标系. a
向量的直角坐标运算. k
i Oj
A(x,y,z) y
x
复习提问：
1、设Ax1, y1, z1, Bx2, y2, z2
B
a
A
AB x2 x1, y2 y1, z2 z1 OB OA
2、设a x1, y1, z1,b x2, y2, z2
风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。
当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人……或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。
回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。
a b, a, a b, a // b, a b
３、① P为AB的中点
OP 1 OA OB 2
②Ｇ为△ABC的重心
OG 1 OA OB OC 3
③ P分 AB所成的比为 即AP PB
OP OA OB 1
练习1、
1与a 2,1,2共线,且满足a
人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。
也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。