学案8：1.2.1 函数的概念

1.2.1函数的概念
学习目标核心素养
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)
2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)
3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)1．通过学习函数的概念，提升数学抽象素养．
2．借助函数定义域的求解，提升数学运算素养．
3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
【新知初探】1．函数的概念
定义设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素对应关系y＝f(x)，x∈A
定义域的取值范围
值域与x的值相对应的y的值的集合
思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a<b，规定如下：
定义名称符号数轴表示
{x|a≤x≤b}闭区间
{x|a<x<b}开区间
{x|a≤x<b}
半开半闭
区间
[a，b)
{x|a<x≤b}
半开半闭
区间
(a，b]
(2)特殊区间的表示
定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
【初试身手】
1．函数y＝
1
x＋1
的定义域是()
A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞)D．(－1,0)
2．若f(x)＝1
1－x2，则f(3)＝________.
3．用区间表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；
(2){x|x>1}用区间表示为________．
【合作探究】
类型一函数的概念
【例1】(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．
①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
(2)下列各组函数是同一函数的是()
①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；
②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1
x
0；
④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④
D ．①④
[规律方法]
1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空数集．
(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． [跟进训练]
1.下列四个图象中，不是函数图象的是( )
A B C D 2．下列各组函数中是相等函数的是( ) A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1
x －1
B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1
C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)
D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2
【例2】(教材改编题)设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝
1
x＋2，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
思路点拨：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；
(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．
[规律方法]
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
[跟进训练]
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
[探究问题]
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？
2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？
【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝x2＋2x－1；
(2)f(x)＝2＋3
x－2；
(3)f(x)＝(x－1)0＋
2
x＋1；
(4)f(x)＝3－x·x－1.
思路点拨：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．
[母题探究]
(变结论)在本例(4)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
[规律方法]
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是整式型函数，则定义域为R.
(2)若f(x)是分式型函数，则应考虑使分母不为零．
(3)若f(x)是偶次根式型函数，则被开方数大于或等于零．
(4)函数y＝x0的x≠0.
(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(6)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
提醒：函数的定义域必须用集合或区间表示．若用区间表示数集，不能用“或”连接，应用
并集符号“∪”连接．
【课堂小结】
1．核心要点：(1)函数定义的理解．
(2)函数的三要素：定义域、对应法则、值域．判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算同一函数．
2．数学方法：给出函数解析式，求函数定义域的方法就是使函数表达式有意义的自变量的取值集合．
【学以致用】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． ( )
(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了． ( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应． ( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( )
2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2 C ．y ＝|x | D ．y ＝3
x 3 3．将函数y ＝3
1－1－x 的定义域用区间表示为________．
4．已知函数f (x )＝x ＋1
x ，
(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；
(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．
【参考答案】
【新知初探】
1．函数的概念 数集
任意一个数x 唯一确定
自变量x {f (x )|x ∈A }
思考1：
提示：(1)这种看法不对．
符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．
(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数． 2．区间及有关概念 (1) [a ，b ]
(a ，b )
(2) (－∞，＋∞) 思考2：
提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
【初试身手】
1．C [由x ＋1>0得x >－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．] 2．－18 [f (3)＝11－9
＝－18.]
3．(1)[10,100] (2)(1，＋∞) [结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]
【合作探究】
【例1】
(1)[解] ①对于A 中的元素0，在f 的作用下得0，但0不属于B ，即A 中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．
②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
④集合A不是数集，故不是函数．
(2)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f(x)＝x0与g(x)＝1
x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．
由上可知是同一函数的是③④.故选C.]
[跟进训练]
1.B[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]
2．B[A、C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A、C、D 错误，选B.]
【例2】
[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝1
x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1
a＋2＋
1
0＋2＝
1
a＋2＋
1
2(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝1
10＋2＝1
12.
(2)g(f(x))＝
1
f(x)＋2＝
1
2x2＋2＋2＝
1
2x2＋4
.
[跟进训练]
3．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；
f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f (f (－1))＝f ((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f (0)＝3.
[探究问题]
1．提示：不可以．如f (x )＝
x ＋1x 2
－1.倘若先化简，则f (x )＝1
x －1
，从而定义域与原函数不等价． 2．提示：[1,2]是自变量x 的取值范围．函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]． 【例3】
[解] (1)f (x )是整式型函数，定义域为R . (2)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3
x －2
有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．
(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≠0，
2
x ＋1≥0，
x ＋1≠0，
解得x >－1且x ≠1，
所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．
(4)函数有意义，当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧
3－x ≥0，
x －1≥0，解得1≤x ≤3，
所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}． [母题探究]
[解] 由1≤x ＋1≤3得0≤x ≤2. 所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]．
【学以致用】
1．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3
x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]
3．(－∞，0)∪(0,1] [由⎩⎨⎧
1－x ≥0，
1－1－x ≠0，
解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]
4．[解] (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝5
2.
(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0，∴f (a ＋1)＝a ＋1＋
1
a ＋1
.。