苏教版高二数学选修2-2 1.3.3 最大值与最小值 学案 (3)

1.3.3最大值与最小值

1．会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点)

2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点)

3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点)

[基础·初探]

教材整理函数的最大(小)值与导数

阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题．

1．函数的最大值与最小值．

(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．

(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．

函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一．

2．利用导数求函数的最值

求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；

(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．

1．判断正误：

(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()

(2)开区间上的单调连续函数无最值．()

(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()

【答案】(1)×(2)√(3)×

2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上________．(填序号)

①无最值；②有极值；

③有最大值；④有最小值．

【解析】f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．

【答案】①

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_______________________________________________

解惑：_______________________________________________

疑问2：_______________________________________________

解惑：_______________________________________________

疑问3：_______________________________________________

解惑：_______________________________________________

[小组合作型]

(1)f(x)＝x3－1

2x

2－2x＋5，x∈[－2,2]；

(2)f(x)＝e－x－e x，x∈[0,1]．

【精彩点拨】首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值．

【自主解答】 (1)f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2

3，x 2＝1.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：

(2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

1e x ′－(e x )′＝－1e x －e x ＝－1＋e 2x

e x .

当x ∈[0,1]时，f ′(x )<0恒成立， 即f (x )在[0,1]上是减函数．

故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝1

e －e ； 当x ＝0时，

f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.

求函数最值的四个步骤 (1)求函数的定义域；

(2)求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表； (4)求极值、端点值，确定最值．

[再练一题]

1．(2016·盐城质检)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤0，π2上的最大值是________.

【导学号：01580015】

【解析】 ∵y ′＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2，

令y ′＝0，得x ＝π

6.

由于f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π

2，

∴函数的最大值为π

6＋ 3. 【答案】 π

6＋ 3

已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为

－29，求a ，b 的值．

【精彩点拨】 首先求出f ′(x )．然后讨论a 的正负，根据函数f (x )的单调性得出用a ，b 表示的函数的最值，从而列出关于a ，b 的方程组，求a ，b .

【自主解答】 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．

(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

单调递增

单调递减

∴f (0)＝b ＝3.

又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.

(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.

又f (－1)＝－7a －29， f (2)＝－16a －29>f (－1)，

∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.