(完整版)概率论与数理统计答案(3)

hing at a time and All things in their being are good for somethin
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.
【解】X 和 Y 的联合分布律如表：
X0
1
Y
2
3
1
0
3
1
8
C13
A1 2
1 2
1 2
3 8
0
C32
A1 2
1 2
1 2
3
/
8
0
0
111 1 222 8
2.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只
数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律.
【解】X 和 Y 的联合分布律如表：
X0
1
2
3
Y
0
0
0
C32 AC22 3
C74
35
C33 AC12 2 C74 35
1
0
C13 AC12 AC22 6
C74
35
C32 AC12 AC12 12
C74
35
C33 AC12 2 C74 35
2
P(0 黑,2 红,2 白)=
C22 AC22
/
C74
1 35
C13 AC22 AC12 6
C74
35
C32 AC22 3
C74
35
0
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）= sin x sin y, 0,
0 x π ,0 y π
2
2
他他 .
求二维随机变量（X，Y）在长方形域
0
x
π 4
,
π 6
y
π
3
内的概率.
【解】如图 P{0 X π , π Y π}公式(3.2)
46
3
F ( π , π) F ( π , π) F (0, π) F (0, π)
43 46
3
6
1
hing at a time and All things in their being are good for somethin
sin πAsin π sin πAsin π sin 0Asin π sin 0Asin π
43 46
3
6
2 (
3 1).
4
题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
Ae(3x4 y) , x 0, y 0,
f（x，y）=
0,
他他 .
求：（1） 常数 A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由
f (x, y)dxdy
Ae-(3x4 y)dxdy A 1
00
12
得 A=12
（2） 由定义，有
y x
F(x, y)
f (u, v)dudv
y 0
y 12e (3u 4 v ) dudv
0
(1
e3x
)(1
e4 y
)
0,
0,
y 0, x 0, 其他
(3) P{0 X 1, 0 Y 2}
P{0 X 1, 0 Y 2}
1 212e(3x4 y)dxdy (1 e3 )(1 e8 ) 0.9499. 00
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
k(6 x y), 0 x 2, 2 y 4,
f（x，y）=
0,
他他 .
（1） 确定常数 k； （2） 求 P{X＜1，Y＜3}； （3） 求 P{X<1.5}； （4） 求 P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
2
hing at a time and All things in their being are good for somethin
24
f (x, y)dxdy k(6 x y)dydx 8k 1,
02
故
R1
8
13
（2） P{X 1,Y 3}
f (x, y)dydx
1 3 1 k(6 x y)dydx 3
0 28
8
(3) P{X 1.5} f (x, y)dxdy如图a f (x, y)dxdy
x1.5
D1
1.5
dx
4 1(6 x y)dy 27 .
0
28
32
(4) P{X Y 4} f (x, y)dxdy如图b f (x, y)dxdy
X Y 4
D2
2
dx
4x 1(6 x y)dy 2 .
0 28
3
题5图 6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
5e5y , y 0,
fY（y）= 0,
他他 .
求：（1） X 与 Y 的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图 【解】（1） 因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为
f
X
(
x)
1 0.2
,
0 x 0.2,
0, 其他.
而
3
hing at a time and All things in their being are good for somethin
fY
(
y
)
5e5 0,
y
,
y 0, 其他.
所以
f (x, y) X ,Y独立 fX (x)AfY ( y)
1 5e5y 0.2
25e5 y ,
0 x 0.2且y 0,
0,
0,
其他.
(2) P(Y X ) f (x, y)dxdy如图 25e5ydxdy
yx
D
0.2
dx
x 25e-5ydy
0.2 (5e5x 5)dx
0
0
0
=e-1 0.3679.
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
(1 e4x )(1 e2 y ), x 0, y 0,
F（x，y）=
0,
他他 .
求（X，Y）的联合分布密度.
【解】
f
(x,
y)
2F (x, xy
y)
8e(4x2 y) , 0,
x 0, y 0, 其他.
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
4.8y(2 x), 0 x 1, 0 y x,
f（x，y）=
0,
其他.
求边缘概率密度.
【解】 fX (x) f (x, y)dy
=
x
4.8y(2 x)dy
0
2.4x2 (2
x),
0,
0,
fY ( y) f (x, y)dx
0 x 1, 其他.
=
1
y
4.8
y(2
x)dx
2.4
y(3
4
y
y2 ),
0 y 1,
0,
0,
其他.
4
hing at a time and All things in their being are good for somethin
题8图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
题9图
ey, 0 x y,
f（x，y）=
0,
他他 .
求边缘概率密度.
【解】 fX (x) f (x, y)dy
=
x
e ydy
e x
,
x 0,
0,
0, 其他.
fY ( y) f (x, y)dx
=
y 0
e
ydx
ye
x
,
y 0,
0,
0, 其他.
题 10 图 10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
cx2 y, x2 y 1,
f（x，y）=
0,
他他 .
（1） 试确定常数 c； （2） 求边缘概率密度.
【解】（1）
f (x, y)dxdy如图 f (x, y)dxdy
D
=
1
dx
1
cx2 ydy
4
c 1.
-1
x2
21
得 c 21 . 4
(2) fX (x) f (x, y)dy
5
hing at a time and All things in their being are good for somethin
1 x2
21 4
x2
ydy
21 8
x2
(1
x4
),
1 x 1,
0,
0,
其他.
fY ( y) f (x, y)dx
y y
21 4
x
2
ydx
7 2
5
y2,
0,
0,
0 y 1, 其他.
11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
1, y x, 0 x 1,
f（x，y）=
0,
他他 .
求条件概率密度 fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
【解】 fX (x) f (x, y)dy
x
1dy
x
2x,
0,
0 x 1, 其他.
题 11 图
1
1dx
y
1
y,
fY ( y)
f
(x,
y)dx
1
1dx 1 y,
y
0,
1 y 0, 0 y 1, 其他.
所以
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
1 2x
,
0,
| y | x 1, 其他.
6
hing at a time and All things in their being are good for somethin
1 1
y
,
f X |Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
1 1
y
,
0,
y x 1, y x 1, 其他.
12.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最 大的号码为 Y.
（1） 求 X 与 Y 的联合概率分布； （2） X 与 Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与 Y 的联合分布律如下表
Y X
1
2
3
1 1 C35 10
0
3
0
P{Y yi}
1 10
4
22 C35 10 1 1 C35 10
0
3 10
5
33 C35 10 22 C35 10 1 1 C52 10 6 10
P{X xi} 6 10
3 10
1 10
(2) 因 P{X 1}AP{Y 3} 6 1 6 1 P{X 1,Y 3}, 10 10 100 10
故 X 与 Y 不独立
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
X2
5
8
Y
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；
（2） X 与 Y 是否相互独立？
【解】（1）X 和 Y 的边缘分布如下表
X
2
5
8
Y
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
P{X xi}
0.2
0.42
0.38
7
hing at a time and All things in their being are good for somethin
(2) 因 P{X 2}AP{Y 0.4} 0.2 0.8 0.16 0.15 P( X 2,Y 0.4),
故 X 与 Y 不独立.
14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为
fY（y）=
1 2
e
y
/
2
,
0,
y 0, 他他 .
（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；
（2） 设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率.
【解】（1）
因
f
X
(
x)
1, 0,
0 x 1, 其他;
fY
(
y)
1 2
e
y 2
,
0,
y 1, 其他.
故
f
(x,
y) X ,Y独立 fX
(x)AfY
( y)
1 2
e y/2
0,
0 x 1, y 0, 其他.
题 14 图
(2) 方程 a2 2 Xa Y 0 有实根的条件是
(2X )2 4Y 0
故 从而方程有实根的概率为：
X2≥Y，
P{X 2 Y} f (x, y)dxdy x2 y
1
dx
x2 1 e y / 2dy
0 02
1 2 [(1) (0)]
0.1445.
15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为
f（x）=
1000 x2
,
x 1000,
0,
他他 .
8
hing at a time and All things in their being are good for somethin
求 Z=X/Y 的概率密度.
【解】如图,Z 的分布函数 FZ (z)
P{Z
z} P{ X Y
z}
(1) 当 z≤0 时， FZ (z) 0
1000
（2） 当 0<z<1 时，（这时当 x=1000 时,y=
）(如图 a)
z
FZ
(z)
y x
106 x2 y2
dxdy
yz 106
103 z
dy
103
x2 y2
dx
z
=
103
103 z
y2
106 zy3
dy
z 2
题 15 图
(3) 当 z≥1 时，（这时当 y=103 时，x=103z）（如图 b）
FZ
(z)
y x
106 x2 y2
dxdy
zy 106
dy
dx
103
103 x2 y2
z
=
103
103
y2
106 zy3
dy
1
1 2z
1
1 2z
,
z 1,
即
f
Z
(
z
)
z 2
,
0 z 1,
0,
其他.
1 2z2
,
z 1,
故
f
Z
(
z)
1 2
,
0 z 1,
0, 其他.
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从 N（160，202）分布.随机地选取 4 只，求其中没有一只寿命小于 180 的概率.