中考复习之——平行四边形经典练习题(3套)附带详细解答过程

练习1
一、选择题（3′×10=30′）
1．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）．
A．内角和为360° B．外角和为360° C．不确定性 D．对角相等
2．Y ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）．
A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°3．下列正确结论的个数是（）．
①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；
③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．
A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
5．在Y ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S Y ABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）． A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm
6．在下列定理中，没有逆定理的是（）．
A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;
B．直角三角形两个锐角互余;
C．全等三角形对应角相等;
D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
7．下列说法中正确的是（）．
A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题
8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）．
A．1：2：1 B．12：1 C．1：4：1 D．12：1：2
9．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN
⊥AN．若AB=•14，•AC=19，则MN的长为（）．
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
二、填空题（3′×10=30′）
11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，短边的比为________，长边的比为________．
12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，•周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm．
13．在Y ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，•若Y ABCD•的周长为38cm，△ABD的周长比Y ABCD的周长少10cm，则Y ABCD的一组邻边长分别为______．14．在Y ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F=65°，则Y ABCD的各内角度数分别为_________．
15．平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，•则两条短边的距离是_____cm．
16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______，•那么这两个命题是互为逆命题．
17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________．
18．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．
19．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为________，斜边被高分成两部分的长分别是__________．
20．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，且a+b+•c•是3•的倍数，•则c•应为________，此三角形为________三角形．
三、解答题（6′×10=60′）
21．如右图所示，在Y ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求Y ABCD的周长．
22．如图所示，在Y ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.
求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．
F
C
D
A
E
B
23．如图所示，Y ABCD的周长是103+62，AB的长是53，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB•的延长线于点F，DE的长是3，求（1）∠C的大小；（2）DF的长．
24．如图所示，Y ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、•∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：•推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．
25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）.
求证：∠C=90°．
26．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△ABE=60，•求∠C的度数．
27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，•求三条中位线的长．
28．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．
29．如图所示，△ABC的顶点A在直线MN上，△ABC绕点A旋转，BE⊥MN于E，•CD•⊥MN 于D，F为BC中点，当MN经过△ABC的内部时，求证：（1）FE=FD；（2）当△ABC继续旋转，•使MN不经过△ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？
30．如图所示，E是Y ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于F，求证：S△ABF =S△EFC．
答案:
一、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C
二、11．3cm 4cm 12．8 13．9cm和10cm 14．50°，130°，50°，130° • •
15．10 16．结论 题设 17．同旁内角互补，两直线平行 18．5
19
．13 直角 三、21．
Y ABCD 的周长为20cm 22．略
23．（1）∠C=45° （2）
DF=
2
24．略 25．•略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm ；20cm ；24cm 28．提示：连结BD ，取BD•的中点G ，连结MG ，NG
29．（1）略 （2）结论仍成立．提示：过F 作FG ⊥MN 于G 30．略
练习2
一、填空题(每空2分,共28分)
1.已知在
中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .
2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形,再说明
(只需填写一种方法)
3.如图,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O . 那么图中共有 个等腰直角三角形.
4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入 下列相应的空格上.
(1)正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (第3题) (2)菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成;
A
B
C
D
O
(3)矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成. 5.矩形的两条对角线的夹角为ο60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm . 6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其
余两个内角的度数分别为 ο和 ο.
7.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为 cm .
8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .
(第8题) (第10题)
9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm 和6cm ,那么这个平行四边形
的面积为 2cm .
10.如图,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: (1)AB ∥CD ;(2)AB=CD ;(3)AB ⊥BC ;(4)AO=OC .其中正确的结论是 . (把你认为正确的结论的序号都填上) 二、选择题(每题3分,共24分)
11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（ ）
A 、三角形
B 、四边形
C 、五边形
D 、六边形
12.下列说法中,错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 平行四边形的对角相等 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形
A
B
C
D
O
l
但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14. 四边形ABCD 中，AD//BC ，那么
的值可能是（ ）
A 、3：5：6：4
B 、3：4：5：6
C 、4：5：6：3
D 、6：5：3：4
15.如图,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积 ( )
A.变大
B.变小
C.不变
D.无法确定
(第15题) (第16题) (第17题)
16.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果ο60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 ( )
A.ο15
B.ο30
C.ο45
D.ο60
17.如图,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F , 那么四边形AFDE 的周长是 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20
18.已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:
(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是( )
A
B
C
D
E
F
A
B
C
a b
A.(1)(2)
B.(1)(3)(4)
C.(2)(3)
D.(2)(3)(4) 三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分) 19.如图,
中,DB=CD ,ο70=∠C ,AE
⊥BD 于E .
试求DAE ∠的度数.
(第19题)
20.如图中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,ο100=∠DGE . (1)试说明DF=BG ; (2)试求AFD ∠的度数.
(第20题)
21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
A
B C
D E
A
B
C
D
F
E
G
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH ;
(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是
形,根据的数学道理是: ;
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: .
(图①) (图②) (图③) (图④) (第21题)
22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.
(第22题)
A
B
C D
答案
1.60.
2.平行四边形;有一组邻边相等.
3.8. 提示:它们是.,,,,,,,ACD BCD ABC ABD AOD COD BOC AOB ∆∆∆∆∆∆∆∆
4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形.
5.24.
6. 135; 45.
7.3.
8.4. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边
进行平移后可得到一个边长为1m 的正方 形,所以它的周长为4m .
(第8题) 9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半. 10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD 是菱形. 11.B. 12.D. 13.C. 14.C.
15.C. 提示:因为ABC ∆的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ∆的面积不变.
16.A. 提示:由于()
BAF DAE FAE DAE FAE ∠-=∠=∠∠∠ο902
1
,所以通过折叠后得到的是由 . 17.B.
提示:先说明
DF=BF,DE=CE,所以四边形
AFDE 的周长
=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. 18.C.
19.因为BD=CD ,所以,C DBC ∠=∠又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC ,所以
,DBC D ∠=∠因为οοοο20709090,,=-=∠-=∠∆⊥D DAE AED BD AE 中所以在直角.
20.(1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=DC ,又AF=CG ,所以AB －AF=DC －CG,即GD=BF,
又 DG ∥BF,所以四边形DFBG 是平行四边形,所以DF=BG ;
(2)因为四边形DFBG 是平行四边形,所以DF ∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得
DGE GBF ∠=∠,所以ο100=∠=∠DGE AFD .
21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.
22.如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些 平行线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.
练习3
1、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
A
B C D E
F
G
H D C
A B G
H F
E
2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．
3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．
（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你
的结论．
挑战自我：
A B C
D
E
F
D ′
1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠
ABC 的度数为（ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形
3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）
A ．9
B ．8
C ．6
D ．4
4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为 。

5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．
6题
F
E
D
C B A
6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为
7、 (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ．
已知：在四边形ABCD 中， ， ；求证：四边形ABCD 是平行四边形．
第5题图
F
A E B
C
D
8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8=AC ，6=BD 。

（1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四
边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。

（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形。

（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
周长为__________ 周长为__________
9、（2007天津市）在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5=，BD=12c m ，求梯形中位线的长。

10、（2007·山东）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD
（图2）
（图1）
（图3）
（图4）
交AD于E，则△ABE的周长为（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
10题
11、（2006·山东）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45o，
且AE+AF=
22，则平行四边形ABCD的周长是．
直击中考：
1.（2011安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分
别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）【答案】D
A．7 B．9 C．10 D．11
2. （2011山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF ＝（）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】A
A
B C
D
O
E
11题
3. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第
①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C
……
图① 图② 图③ 图④
A．55 B．42 C．41 D．29
4. （2011宁波市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）【答案】C
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
5. （2011广东汕头）正八边形的每个内角为（）【答案】Ｂ
A．120°B．135°C．140°D．144°
6、（2011山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长
为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（ ）【答案】C
（A ）2n （B ）4n （C ）12n + （D ）22n +
7. （2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）【答案】B
A.17
B.17
C.18
D.19
8. （2011山东泰安）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为（ ）【答案】A A.2 3
B. 33
2 C.
3 D.6
图1
图2
图3
……
…
A 1
A A 2
A 3
B B 1 B 2 B 3
C 2 C 1 C 3
D D 2 D 1 D 3
9. （2011四川重庆）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) 【答案】C
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10. （2011浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）【答案】A
（A ）48cm （B ）36cm （C ）24cm （D ）18cm
11. （ 2011重庆江津）如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( ) 【答案】C
①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形;
③四边形A 5B 5C 5D 5的周长4b a +; ④四边形A n B n C n D n 的面积是12
+n ab A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④
（第10题） F A B
C
D H E
G ① ②
③ ④ ⑤
12. （2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：（ ） 【答案】D
①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG = 4
3 CG 2；③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中正确的结论 A ．只有①②． B ．只有①③．C ．只有②③． D ．①②③．
B
D
E
F
G
H 第12题图
13. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2
O 2
O 1
14. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】3:2
15. （2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。

【答案】1
14n
16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，……，如此下去，得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 b a 、的代数式表示为 ．【答案】ab 20102
1）（．
第20题图3
17、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使 ︒=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使 ︒=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 ．【答案】()13-n
……
18．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个
动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM
= 时，四边形ABCN 的面积最大． 【答案】2;
19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，AF=CE ，BH=DG ．
求证：GF ∥HE ．
【答案】证明：∵平行四边形ABCD 中，OA=OC ，
由已知：AF=CE AF －OA=CE －OC ∴OF=OE 同理得：OG=OH
H A
C B D
O E
G
F
C 2
D C 1D 1
C
D
A B
∴四边形EGFH是平行四边形∴GF∥HE
20、（2011四川成都10分）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD 上一动点.
(1)若BK=5
2
KC，求
AB
CD
的值；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=1
2
AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样
的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=1
n
AD(2
n)，而其余条件不变
时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
G
【答案】解：（1）∵AB∥CD，BK=5
2
KC，∴
AB
CD
=
BK
CK
=
5
2
.
（2）如图所示，分别过C 、D 作BE ∥CF ∥DG 分别交于AB 的延长线于F 、G 三点，
∵BE ∥DG ，点E 是AD 的点，∴AB=BG ；∵CD ∥FG ，CD ∥AG ，∴四边形CDGF 是平行四边形，∴CD=FG ；
∵∠ABE =∠EBC ，BE ∥CF ，∴∠EBC =∠BCF ，∠ABE =∠BFC ，∴BC =B F ，
∴AB-CD=BG-FG=BF=BC ，∴AB=BC+CD .
当AE =1
n AD (2>n )时，（1-n ）AB=BC+CD . 21、（2011贵州安顺10分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF =CE =AE ．
⑴说明四边形ACEF 是平行四边形；
⑵当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．
【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF ∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA
∴△AEC ≌△EAF ，∴EF = CA ，∴四边形ACEF 是平行四边形 ．
（2）当∠B =30°时，四边形ACEF 是菱形 ．
理由是：∵∠B =30°，∠ACB =90°，∴AC =AB 2
1，∵DE 垂直平分BC ，∴ BE =CE 又∵AE =CE ，∴CE =AB 2
1，∴AC =CE ，∴四边形ACEF 是菱形． 22、（2011山东滨州10分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF 。

那么当点O 运动到何下时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

第25题图
【答案】当点O 运动到AC 的中点（或OA=OC ）时，
四边形AECF 是矩形………………2分
证明：∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分
又∵MN ∥BC, ∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分
同理，FO=CO ………………6分
∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF 是平行四边形………………7分
又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分
∴四边形AECF 是矩形………………10分
23、（2011湖北襄阳10分)如图9，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF .
（1）求证：∠ADP ＝∠EPB ；
（2）求∠CBE 的度数；
（3）当AB
AP 的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由.
（第24题图） F E N M
O C
B A
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形
∴∠A ＝∠PBC ＝90°，AB ＝AD ，∴∠ADP ＋∠APD ＝90° ···················· 1分
∵∠DPE ＝90° ∴∠APD ＋∠EPB ＝90°
∴∠ADP ＝∠EPB . ···················································································· 2分
（2）过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP ＝∠A ＝90° ········· 3分 G
P F
E D C
B A
又∵∠ADP ＝∠EPB ，PD ＝PE ，∴△PAD ≌△EGP
∴EG ＝AP ，AD ＝AB ＝PG ，∴AP ＝EG ＝BG ············································· 4分
∴∠CBE ＝∠EBG ＝45°. ········································································· 5分
（3）方法一： 当2
1=AB AP 时，△PFE ∽△BFP . ································································· 6分 ∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF ································ 7分
设AD ＝AB ＝a ，则AP ＝PB ＝a 21
，∴BF ＝BP ·a AD AP 4
1= ····················· 8分 ∴a AP AD PD 2522=+=，a BF PB PF 4
522=+= P F
E
D C
B A 图9
∴5
5==PF BF PD PB ···················································································· 9分 又∵∠DPF ＝∠PBF ＝90°，∴△ADP ∽△BFP ········································ 10分
方法二：
假设△ADP ∽△BFP ，则PF
BF PD PB =. ······················································· 6分 ∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF ······························ 7分 ∴BF
AP PF PD =， ······················································································· 8分 ∴BF
AP BF PB =， ······················································································· 9分 ∴PB ＝AP ， ∴当
21=AB AP 时，△PFE ∽△BFP. 10分 24. （2011湖南永州10分）探究问题：
⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE ，AF=AF
∴△GAF ≌_______．
∴_________=EF ，故DE+BF=EF ．
⑵方法迁移：
如图②，将ABC Rt ∆沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=
2
1
∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．
⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足DAB EAF ∠=
∠2
1
,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
【答案】⑴EAF 、△EAF 、GF ． ⑵DE+BF=EF ，理由如下：
假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转︒m 得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：
E
F
D C
B
A
（第25题）③
3
2
1G
E F
D
C
B A （第25题）②解得图
E
F
D
C
B
A
（第25题）②
3
2
1G
E
F
D C
B
A （第25题）①
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=
︒m 21 ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=︒=︒-︒m m m 2
121 ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=
︒m 2
1
． 即∠GAF=∠EAF 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌△EAF ．∴GF=EF ，
又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF ． ⑶当∠B 与∠D 互补时，可使得DE+BF=EF ．
25、（2007南充）如图， 等腰梯形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝20，∠C ＝30º．点M 、N 同时以相同速度分别从点A 、点D 开始在AB 、AD （包括端点）上运动．
（1）设ND 的长为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离，并写出x 的取值范围． （2）当五边形BCDNM 面积最小时，请判断△AMN 的形状．
解：（1）过点N 作BA 的垂线NP ，交BA 的延长线于点P ． ………………（1分）
由已知，AM ＝x ，AN ＝20－x ．
∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠D ＝∠C ＝30º， ∴ ∠PAN ＝∠D ＝30º．
在Rt △APN 中，PN ＝AN sin ∠PAN ＝1
2
（20－x ）， 即点N 到AB 的距离为
1
2
（20－x ）．
………………………………（3分）
∵ 点N 在AD 上，0≤x ≤20，点M 在AB 上，0≤x ≤15，
C
B
M N
A P A
D
C
B
M
N
∴ x 的取值范围是 0≤x ≤15． ………………………………（4分）
（2）根据（1），S △AMN ＝12AM •NP ＝14x （20－x ）＝21
54
x x -+． ……（5分）
∵ 1
4
-
＜0，∴ 当x ＝10时，S △AMN 有最大值． …………………………（6分）
又∵ S 五边形BCDNM ＝S 梯形－S △AMN ，且S 梯形为定值， ∴ 当x ＝10时，S 五边形BCDNM 有最小值．
…………………………（7分）
当x ＝10时，即ND ＝AM ＝10，AN ＝AD －ND ＝10，即AM ＝AN ． 则当五边形BCDNM 面积最小时，△AMN 为等腰三角形．
…………（8分）
26、（2007福建晋江）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝4，AD ＝3，动点M 、N 分别从D 、B 同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M 沿DA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动。

过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连结MP 。

已知动点运动了x 秒。

⑴请直接写出PN 的长；（用含x 的代数式表示）⑵若0秒≤x ≤1秒，试求△MPA 的面积S 与时间x 秒的函数关系式，利用函数图象，求S 的最大值。

⑶若0秒≤x ≤3秒，△MPA 能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x 的对应值；若不能，试说明理由。

解：⑴
3412x -；⑵延长NP 交AD 于点Q ，则PQ ⊥AD ，由⑴得：PN ＝3
412x
-， 则x x PN QN PQ 3
4
34124=--
=-=。

依题意，可得：x AM -=3 M A B C
N
D P
2
3)23(32)3(3232234)3(2121222+--=--=-=⋅-⋅=⋅⋅=
x x x x x x x PQ AM S ∵0≤x ≤1.5
即函数图象在对称轴的左侧，函数值S 随着x
∴当1=x 时，S 有最大值 ，S 最大值＝3
4。

⑶△MPA 能成为等腰三角形， 共有三种情况，以下分类说明： ①若PM ＝PA ，
∵PQ ⊥MA ∴MQ ＝QA ＝x
又DM ＋MQ ＋QA ＝AD ∴33=x ，即1=x ②若MP ＝MA ，则MQ ＝x 23-，PQ ＝
x 3
4
，MP ＝MA ＝x -3 在Rt △PMQ 中，由勾股定理得：2
2
2
PQ MQ MP +=
∴222)34()23()3(x x x +-=-，解得：43
54
=
x （0=x 不合题意，舍去） ③若AP ＝AM ，由题意可得：x AP 3
5=
，AM ＝x -3∴x x -=335，解得：89=x
综上所述，当1=x ，或4354=
x ，或8
9
=x 时，△MPA 是等腰三角形。