中职教育数学《二次函数图像和性质复习》课件 (2)

(h,k)
(
b
4acb2
,
)
2a
4a
直线 x h 直线 x h
直线 x b
2a
x h时 x h时 y 最小 0 y 最小 k
x2ba时y， 最小 4a4cab2
x h时 y 最大 0
x h时 y 最大 k
xb时y， 最大 4acb2
2a
4a
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
增 减
二次函数复习
作自我介绍
1
知识整理
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
2.二次函数的表达式：
（1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系
• 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线 y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位, 在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得 到.
例5 当x取何值时，二次函数 y2x28x1有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
解法一（配方法）：
y2x28x12x24x 12x24x441
2x2277
所以当x＝2时，y最小值＝－7。
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线 y2x28x1有最低点， 所以y有最小值，
因为 － b 8 2 ,4 a c b 2 4 2 1 8 2 7
2 a 2 2 4 a
y
O
x
课堂测试
y ax2
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, yax2 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
（a≠0)
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0)
（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) （a≠0)
二次函数解析式
二次函数的解析式有两种形式： 1. 一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 2. 顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0)
当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为 一般式，列出三元一次方程组求出待定系 数。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x b ，故
2a
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
a>0 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
性 a<0 在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
y x
y x
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
-3 -2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。
y 1 x2 2
y 1
-1 0 1 -1 -2 -3 -4
2 3x
不同点: 开口大小不同;
y x2
|a| 越大，抛物线的开口越小．
-5
。
典型例题
例3.二次函数的图象经过A(1,0) B(3,0) C(2,-1)三点, (1)求这个函数的解析式.
解：（1）设这个函数的解析式为 y=ax2+bx+c, 依题意得:
0 a b c 0 9a 3b c 1 4a 2b c
解这个方程组得
a 1
b
4
c 3
∴这个函数的解析式是：y=x2-4x+3
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y x2 y 1 x2
2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
不同点: 开口大小不同;
|a|越大， 抛物线的开口越小。
(图函中数蓝y线=图－形21 x)的2,y图=－象2相x比2的,有图什象么与共函同数点y=和－不x2同点?
4 2
所以当x＝2时，y最小值＝－7。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
解法二：
a 1 0，∴抛物线开口向下，
2
b 3 3 2a 212
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
例 已知二次函数
y m 1 x 2 2 m x 3 m 2 m 1
的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐
标的值为0．所以应满足以下的条件组．
m10， ①
4m13m22m2
4m1
0
②
由②解方程得 m 11 2,m 22不 合 题 意 ， 舍 去
所求函数解析式为 y 1 21 x221 2x 31 22 ,
即y1x2 2
x1 2
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大。
(6)抛物线 yax2bxc与x轴的交点情况 可由对应的一元二次方程ax2bxc0 的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
二次函数的图象及性质
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝4ac4a-b2 ,
如果a＜0，当 x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝4ac4a-b2 ;
（5）增减性：
①若a＞0，当 x
b 2a
时，y随x的增大而增大；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
与函函数数yy==x212x(2图, y中=虚2x线2的图图形象)
的图象相比,有什么共同点
和不同点? 共同点: 开口都向上; 顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
y 2x2 y
y2x2
【考点链接】 二次函数的图象
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。
（2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最
高点）。
y
y
o
x
o
x
二次函数 yax2bxc的性质：
（1）顶点坐标
b 2a
,
4acb2 4a
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时， 通常设解析式为顶点式求出待定系数。
例题
例题:已知二次函数y=x2-2x,请在坐标系中画
出函数的大致图象，指出函数的顶点位置
并说明何时函数的值是正的。
注：图中的网格边长为1。
y
O
x
解：列表
x
y=x2-2x
… -1 0 1 2 3 … … 3 0 -1 0 3 …
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
y=2x2+2 y=2x2
y=2x2-2
• 二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到：
• 当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k
• 当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系
• 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图 象向左（或向右）平移得到：
• 当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
• 当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
抛物线 y ax2 yax2c ya(xh)2ya(xh)2k ya2xbxc
开口方向
当a>0时开口向上，当a<0时开口向下
顶点坐标 对称轴
(0,0)
y轴
(0,c)
y轴
a>0 x 0 时，
值
x 0时
a<0
y 最大 0
x 0时 y 最大 c
(h,0)