2006年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分..共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（B ）涂黑。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1
、函数2()lg(31)f x x ++的定义域是
A.1(,)3-+∞
B. 1(,1)3-
C. 11(,)33-
D. 1(,)3
-∞- 2、若复数z 满足方程220z +=，则3z =
A.±
B. -
C. -
D. ± 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.3 ,y x x R =-∈
B. sin ,y x x R =∈
C. ,y x x R =∈
D. x 1() ,2
y x R =∈
4、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =
A.12BC BA -+
B. 12BC BA --
C. 12BC BA -
D. 12
BC BA +
5、给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B. 3 C. 2 D. 1 6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则
其公差为
A.5
B.4
C. 3
D. 2 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点
(0,2)P
（如图
A
C
B 图
1
2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A.4 B.3 C. 2 D.1
8、已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于
B.
C. 2
D. 4 9、在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数
32z x y =+的最大值的变化范围是
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8] 10、对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，
当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：
(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若
(1,2)(,)(p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=
A.(4,0)
B. (2,0)
C. (0,2)
D. (0,4)-
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 11、2
2
41
lim(
)42x x x →--=-+________. 12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 13、在112()x x
-的展开式中，5x 的系数为________.
14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆的乒
n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 案用n
乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答表示）.
三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、(本题14分)已知函数()sin sin(),2
f x x x x R π
=++∈.
(I)求()f x 的最小正周期；
(II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)若3
()4
f α=
，求sin 2α的值.
16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：
图4
…
x +y
X 06
7 8 9 10 P
0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.
(I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求ξ的分布列
(III) 求ξ的数学期望E ξ.
1O 的直径，AD
17、(本题14分)如图5所示，AF 、DE 分别世O 、直径，
与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是O 的6AB AC ==,//OE AD .
(I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.
18、(本题14分)设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极11()x f x （,）
、
小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为
22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =
,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求
(I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.
19、(本题14分)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}
2
n a 各项的和为
815
. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；
(II)对给定的(1,2,3,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和； (III)设i b 为数列()k T 的第i 项，12n n S b b b =+++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得lim
n
m
n S n →∞存在且不等
于零.
（注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限）
20、(本题12分)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有
(2)(1,2)x ϕ∈；②存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|(2)(2)|||x x L x x ϕϕ-≤-.
(I)
设(2)[2,4]x x ϕ∈ ，证明：()x A ϕ∈
(II)设()x A ϕ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的；
(III) 设()x A ϕ∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n
x x ϕ-=，1,2,n = ，证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，图
5
A F
D
成立不等式1
21||||1k k p k L x x x x L
-+-≤--
2006年高考广东卷(B) 第一部分 选择题（50分）
1、函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是
A.),3
1(+∞- B. )1,3
1(- C. )3
1,31(- D. )3
1,(--∞
1、解：由131
1301<<-⇒⎩⎨
⎧>+>-x x x ，故选B.
2、若复数z 满足方程022=+z ，则=3
z
A.22±
B. 22-
C. i 22-
D. i 22± 2、由i z i z z 222023
2
±=⇒±=⇒=+，故选D. 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. R x x y ∈-=,3
B. R x x y ∈=,sin
C. R x x y ∈=,
D. R x x y ∈=,)2
1( 3、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
4、如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=
A. 21+
- B. 21
-- C. BA BC 21- D. BA BC 2
1
+
4、BA BC BD CB CD 2
1
+-=+=，故选A.
5、给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是
A.4
B.3
C.2
D.1 5、①②④正确，故选B.
6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是
A.5
B.4
C. 3
D.2 6、330
25515
20511=⇒⎩⎨
⎧=+=+d d a d a ，故选C.
7、函数)(x f y =的反函数)(1
x f y -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)，
则方程0)(=x f 的根是=x
A. 4
B. 3
C. 2
D.1 7、0)(=x f 的根是=x 2，故选C
8、已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于
A.
2 B.
3
3
2 C. 2 D.4
8、依题意可知 3293,322=+=+=
=b a c a ，23
32===
a c e ，故选C. 9、在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
200
x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，
目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是
A. ]15,6[
B. ]15,7[
C. ]8,6[
D. ]8,7[
9、由⎩⎨
⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+4
2442s y s
x x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--， （1） 当43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z （2） 当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时，8max =z
故选D.
10、对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：
),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若 )0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p
A. )0,4(
B. )0,2(
C.)2,0(
D.)4,0(-
10、由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩
⎨
⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-21
0252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.
第二部分 非选择题（100分）
二、填空题 11、=+---→)21
44(
lim 2
2
x x
x 11、4121lim )2144(
lim 222
=-=+---→-→x x x
x x 12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 12、ππ2742
3
3332==⇒=
⇒=R S R d
13、在11
2⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 的展开式中，5
x 的系数为
13、85112)2()
2
(11
21111111111111=⇒=-⇒-=-=-----+r r x C x
x C T r r r r
r
r
r
所以5
x 的系数为1320)2()2(3
113111111-=-=---C C r r
14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n
堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则
=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .
14、=)3(f 10，6
)
2)(1()(++=
n n n n f
三、解答题
15、（本小题满分14分） 已知函数R x x x x f ∈++=),2
sin(sin )(π
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅲ）若4
3
)(=
αf ，求α2sin 的值. 15解：)4
sin(2cos sin )2
sin(sin )(π
π
+=+=+
+=x x x x x x f
（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ
21
2==
T ; （Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；
（Ⅲ）因为43)(=
αf ，即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 16
72sin -=α
16、（本小题满分12分）
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率； (Ⅱ)求ξ分布列；
(Ⅲ) 求ξ的数学希望.
16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； (Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、10
04.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP
39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP
36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP
ξ分布列为
(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .
17、（本小题满分14分）
如图5所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.
17、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,
∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；
(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）
所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=
10
8282
10064180|
|||,cos =
⨯++=
>=
<FE BD 设异面直线BD
与
EF
所成角为
α，则
10
82|,cos |cos =
><=EF BD α 直线BD 与EF 所成的角为10
82arccos
18、（本小题满分14分）
设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为
))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,该平面上动点P 满足4=∙,点Q 是点P 关于直线)4(2-=x y 的对称点.
求(Ⅰ)点A 、B 的坐标 ； (Ⅱ)动点Q 的轨迹方程
18解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f
所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.
(Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m
21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=+4222n x m y
消去n m ,得()()9282
2
=++-y x
19、（本小题满分14分）
已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为5
81
. (Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ； (Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)
(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)
(k T
的前10项之
和；
(Ⅲ)设i b 为数列)
(i T
的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得
m S n
n ∞→lim
存在且不等于零.
(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限)
19解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪
⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119
112121
q a q
a q a
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1
323-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)
2(T
的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,
15539102
1
21010=⨯⨯⨯+
⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231
--⎪
⎭
⎫
⎝⎛--i i i ，
()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S n
n ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m n
m m n n n n n n 2132271845--⎪⎭
⎫ ⎝⎛+- 当m=2时，m n n n S ∞→lim
=－21
，当m>2时，m n n n
S ∞→lim =0，所以m=2
20、（本小题满分12分）
A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有
)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ
（Ⅰ）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ
(Ⅱ)设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的;
(Ⅲ)设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||1||121
x x L
L x x k k l
k --≤-++
解：对任意]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ,≤33)2(x ϕ35≤,253133<<<,所以)2,1()2(∈x ϕ 对任意的]2,1[,21∈x x ，()
()()()
2
323213
2
121211121212
|
||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-ϕϕ，
<
3()()()()323213
21112121x x x x ++++++，所以0<
()()()()
2
323213
2
11121212
x x x x ++++++
----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319
32<,令()()()()
2323213211121212x x x x ++++++=L ，10<<L ，|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ 所以A x ∈)(ϕ
反证法:设存在两个000
0),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=,)2(00x x '='ϕ则 由|||)2()2(|/00/00x x L x x -≤-ϕϕ，得||||/00/00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立。

121223)2()2(x x L x x x x -≤-=-ϕϕ，所以1211x x L x x n n n -≤--+
()()()||1||121
1211x x L L x x x x x x x x k k k p k p k p k p k k p k --≤-+-+-=--+-+-+-+++ k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211 ≤123122x x L x x L p k p k -+--+-++… 121x x L
k --1211x x L L K --≤-。