高三数学不等式的性质试题

高三数学不等式的性质试题
1.若为非零实数，且，则下列命题成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，，，∴由于a，b的正负不确定，
所以A，B，C都错，所以D正确.
【考点】作差法比较大小.
2.已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选D.
【考点】指数函数的性质，不等式的性质.
3.已知关于x的不等式(ax－5)(x2－a)<0的解集为M.
(1)当a＝4时，求集合M；
(2)当3∈M，且5∉M时，求实数a的取值范围．
【答案】（1）M＝{x|x<－2，或<x<2}
（2）[1，)∪(9,25]
【解析】解：(1)当a＝4时，(ax－5)(x2－a)<0⇔(x－)(x－2)(x＋2)<0，由数轴标根法得
x<－2，或<x<2.
故M＝{x|x<－2，或<x<2}．
(2)3∈M，且5∉M
⇔⇔
⇔⇔1≤a<，或9<a≤25.
故实数a的取值范围是[1，)∪(9,25]．
4. [2014·绵阳周测]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是() A．t>s B．t≥s C．t<s D．t≤s
【答案】D
【解析】s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，
∴s≥t，选D项．
5. [2013·淮南模拟]已知a>0，b>0，给出下列四个不等式：
①a＋b＋≥2；
②(a＋b)(＋)≥4；
③≥a＋b；
④a＋≥－2.
其中正确的不等式有________(只填序号)．
【答案】①②③
【解析】∵a>0，b>0，
∴①a＋b＋≥2＋≥2＝2.当且仅当a＝b＝时取等号．
②(a＋b)(＋)≥4·＝4.当且仅当a＝b时取等号．
③∵≥，∴a2＋b2≥＝(a＋b)·≥(a＋b)，∴≥a＋b.当且仅当a＝b 时取等号．
④a＋＝(a＋4)＋－4≥2－4＝－2，当且仅当a＋4＝，即(a＋4)2＝1时等号成立，而a>0，∴(a＋4)2≠1.∴等号不能取得．综上①②③正确．
6.已知且，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】或,所以是的必要非充分条件.故选B.
【考点】充分必要条件
7.设，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.
【考点】充要条件.
8.已知a>b>1，c<0，给出下列四个结论：
①>；②a c<b c；③log
b (a－c)>log
a
(b－c)；④b a－c>a b－c．
其中所有正确结论的序号是()
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【解析】a>b>1⇒，
又c<0，故>，故①正确；
由c<0知，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，故a c<b c．故②正确．由已知得a－c>b－c>1．
故log
b (a－c)>log
b
(b－c)．
由a>b>1得0<log
a (b－c)<log
b
(b－c)，
故log
b (a－c)>log
a
(b－c)．故③正确．
9.设a，b，c∈R，且a＞b，则（）
A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3
【答案】D
【解析】A.3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；
B．1＞﹣2，但是，故B不正确；
C．．﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；
D．∵a＞b，∴a3＞b3，成立．
故选D．
10.不等式恒成立,则实数a的取范围是()
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于函，又
显然函数有最大值，，选C.
11.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式<0的解集是()
A．(-,3)
B．(-∞,0∪(3,+∞)
C．(-∞,-3)∪(,+∞)
D．(-3,)
【答案】A
【解析】由题意可知x=1,x=2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,∴-=3,=2,即b=-3a,c=2a, 则不等式<0可化为<0,
解得-<x<3.故选A.
12.若m,n∈N*,则“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】a m+n+b m+n>a n b m+a m b n(a m-b m)(a n-b n)>0.当a>b时,由于a,b可能为负值,m,n奇偶不定,因此不能得出(a m-b m)(a n-b n)>0;当(a m-b m)·(a n-b n)>0时,即使在a,b均为正数时也有a<b的可能,因此也得不出a>b.所以“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的既不充分也不必要条件.
【误区警示】不等式性质的使用前提
13.设a，b，c∈R，且a>b，则()
A．ac>bc B．<
C．a2>b2D．a3>b3
【答案】D
【解析】当c＝0时，选项A不成立；当a>0，b<0时，选项B不成立；当a＝1，b＝－5时，选项C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b) >0，故选D.
14.观察下列不等式：
①<1；②＋<；③＋＋<；…；
则第5个不等式为________．
【答案】＋＋＋＋<
【解析】不等式左边为＋＋…＋，不等式右边为，故第5个不等式为＋＋＋＋<
15.设0<a<b，则下列不等式中正确的是()．
A．a<b<<B．a<<<b
C．a<<b<D．<a<<b
【答案】B
【解析】(特值法)：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，∴a<<<b.
16.如果函数的图像恒在轴上方，则的取值集合为___________.
【答案】
【解析】因为函数的图像恒在轴上方，也就是求满足的x的取值范围.即或.所以解得或.故填.本小题的关键是
绝对值的不等式的解法.
【考点】1.转化的思想.2.不等式组的解法.3.绝对值不等式的解法.
17.已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.
(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．
【答案】（1）(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)；（2）(－∞，5).
【解析】(1)本题是一个含参不等式的求解，需要按a＝1，a>1，a<1进行讨论；（2）f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，分离参数为|x－2|＋|x ＋3|>m恒成立．
所以对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5.
试题解析：(1)不等式f(x)＋a－1>0，
即|x－2|＋a－1>0，
当a＝1时，解集为x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；
当a>1时，解集为全体实数R；
当a<1时，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－2<a－1，∴x>3－a或x<a＋1，
故解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．
(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．
又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，
即m的取值范围是(－∞，5)．
【考点】1.含参不等式的求解；2.不等式恒成立问题.
18.已知，.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.
【解析】本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个
式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.
试题解析：（Ⅰ）因为，，
所以，即，
当且仅当时，取最小值3． 5分
（Ⅱ）
．
又，
所以．
【考点】1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.
19.若不等式，对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围
是
【答案】或
【解析】设，则，由于x，y满足，所以，即，解
得，因为不等式，对满足的一切实数恒成立,所以，解得或.
【考点】不等式恒成立问题.
20.设，，，则（）
A．B．C．D．
【解析】，，，故．
【考点】比较大小．
21.若椭圆和是焦点相同且的两个椭圆，有以下几个命题：①一定没有公共点；②；③；④，其中，
所有真命题的序号为。

【答案】①③④
【解析】由题意得：.因为，所以，一定没有公共点；因为，，所以不一定成立；由得；由得：
，因为，所以.
【考点】1、椭圆及其方程；2、不等关系.
22.若a,b,c均为正数，且a+b+c=6，对任意x∈R恒成立，求m的取值范围.
【答案】m≤2-或m≥2+
【解析】由题意可得要使对任意x∈R恒成立.及要求出
的最大值.由柯西不等式可得
=48.
有最大值所以得到|x-2|+|x-m|≥对任意的x∈R恒成立.即对任意的x恒成立所以应该使|x-2|+|x-m|的最小值大于或等于再通过绝对值不等式即可得m的取值范围.本题综合性较强，应用了两个重要不等式.同时应用两次不等式恒成立的问题.
试题解析：
所以
∴
当且仅当即2a=2b+1=2c+3时等号成立， 4分
又a+b+c=6，∴时，有最大值
∴|x-2|+|x-m|≥对任意的x∈R恒成立.
∵|x-2|+|x-m|≥|(x-2)-(x-m)| =|m-2|,
∴|m-2|≥
解得m≤2-或m≥2+ 7分
【考点】1.柯西不等式.2.绝对值不等式.3.不等式的恒成立问题.
23.已知且，则下列不等式中成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】D．
【解析】只有当时，选项A，B正确；要使，必须，所以选项C错误；当时，，所以D正确，故选D．
【考点】不等式的性质．
24.已知函数，若存在正实数，使得方程有两个根，，其中
，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【解析】当x＞4时，f(x)=k可化为：x²-4x-k=0，可得：b=2+，当x＜4时，f(x)=k可化为：x²-4x+k=0可得：a=2+，且0＜k＜4，由ab-2(a+b)= -4+，0＜k＜4，故： -4＜ab-
2(a+b)＜0；或由f(x)=k可化为(x²-4x)²-k²=0，可得（x²-4x-k)(x²-4x+k)=0从而a=2+，b=2+，且0＜k＜4，由ab-2(a+b)= -4+，0＜k＜4故： -4＜ab-2(a+b)＜0.选B.
【考点】1.方程的根；2.不等式
25.已知，则下列不等式正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
【考点】不等式基本性质.
26.已知函数．则的最大值与最小值的乘积为．
【答案】
【解析】，而，所以，当时，
；当时，，因此.【考点】不等式的应用.
27.设若不等式≥对任意实数恒成立，则的取值集合是
________________.
【答案】或
【解析】，所以最大值为3，从而，解出.
【考点】1.恒成立问题；2.基本不等式.
28.已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为满足，且，所以，由此知A中正确.由于知B选项不正确，又可能为0，知C不正确，因为所以，
故D不正确.
【考点】不等关系与不等式
点评：本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练
掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．
29.已知为R上的可导函数，且均有′（x），则有（）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为均有，即，构造函数，则
，所以为R上的单调递减函数，所以
，即，所以。

【考点】利用导数研究函数的单调性。

点评：做本题的关键是构造函数。

属于中档题。

30.已知，，，则
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
【答案】D
【解析】，，，，所以，选D.
31.若，，，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，,，故选D。

32.定义在上的函数,当若
,则P，Q，R的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
33. .如果，则下列各式正确的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】不等式两端同乘正数，不等号的方向不变，而只有，所以应选D。

34.已知．下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
35.若不等式对任意非零实数恒成立，则实数的最小值
为▲．
【答案】1
【解析】因为是非零实数，故原不等式可化为恒成立．又，
所以的最小值为1．
36.若是任意实数,且，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，A不正确；令，则，，B，C不正确；因为函数在定义域上单调递减，而，所以，D正确，故选D
37.若，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A错误；B错误；
C正确；如
，D错误；故选C
38.若则下列不等式不成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
39.若，则下列各式正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
40.设不等式组表示的平面区域的面积为，若，则与满足A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
41.已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题考查不等式的性质及推理能力.
因为，当时，所以A错误；
当时，所以B错误；
所以C正确；
当时，所以D错误.故选C
42.函数则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】略
43.已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于
()
A．{x|x＜－2}B．{x|x＞3}
C．{x|－1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
【答案】C
【解析】先化简两个集合，再由交集的定义求交集，然后比对四个选项，选出正确选项来解：由题意集合M={x|x2＜4}═{x|-2＜x＜2}，N={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，
∴M∩N={x|-1＜x＜2}
故选C
44.设a＝log
0.70.8，b＝log
1.1
0.9，c＝1.10.9，那么
()
A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b
【答案】C
【解析】略
45.若不等式对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为▲
【答案】3
【解析】略
46.已知实数，满足．则下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
47.定义在上的函数满足：；当时，有；若
,
,；则的大小关系为( )
A．B．C．D．不能确定【答案】C
【解析】
48.设,则
(A)都不大于 (B)都不小于-2
(C)至少有一个不大于-2 (D) 至少有一个不小于-2
【答案】C
【解析】略
49.已知,且，则在下列四个不等式中，不恒成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于有重要不等式，得，对于，，正确，对于，有，正确，对于，符合确定，故答案为B.
【考点】比较大小
50.设是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，，，
，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意．∵，，，∴
．又∵f（x）在（-∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减
函数．∴c＜b＜a．故选：B．
【考点】1．奇偶性与单调性的综合；2．对数的运算性质．
51.已知，，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，，，，
，故答案为D．
【考点】指数函数和对数函数的图象和性质．
52.设，，，则下列关系中正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知，，故，
选．
【考点】对数运算
53.已知是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，设，
，，则的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】∵已知是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，∴在
上单调递减，∴，，
又∵，，∴，
∴．
【考点】1．偶函数的性质；2．指对数的运算性质．
54.若为实数，则下列命题正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【解析】对于A，当时，不等式不成立，故A错；对于C，因为，两边同时除以，所以，故C错；对于D，因为，，所以，故D错，所以
选B．
【考点】不等式性质.
55.已知克糖水中含有克糖（），若再添加克糖（），则糖水就变得更甜了．试根据这一事实归纳推理得一个不等式．
【答案】（且）；
【解析】因为，，所以.
【考点】两实数比较大小.
56.已知函数，有下列四个命题：
：,,；
：,,；
：,，；
：,，．
其中的真命题是（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，可知时，，单调递增；时，，单调递减；所以当时，，故正确；对于与
，做出它们的几何意义，如下图：
可知，由直线的斜率，和全称命题和特称命题可知正确.
【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.导数的几何意义.
57.设,,,则的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】A。

【解析】∵log
．50．4＞log0．50．5=1，0＜log0．40．5＜log0．40．4=1，∴a=
=，1＞b=，又c=3ln2＞30=1，∴c＞b＞a．
【考点】指数函数单调性的应用
点评：本题考查了指数函数和对数函数的单调性。

58.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若
,则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∵，∴a>0,b<0,c<0，
又∵，∴，
∴，即c<b<a
【考点】本题考查函数的单调性，奇偶性
点评：解决本题的关键是根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合三角函数的性质
59.下列命题中，正确的是（）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】C.
【解析】A：取，，，，从而可知A错误；B：当时，，∴B错误；C：∵，∴，，∴，C正确；D：，，从而可知D错误，故正确的结论应选C．
【考点】不等式的性质.
60.设，则a，b，c的大小关系是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在上为减函数，且，；在为增函数，且，
；所以．
【考点】1．幂函数的单调性；2．指数函数的单调性．。