方程的根与函数零点(公开课教案)

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方程的根与函数的零点
一、教学内容分析
本节课为普通高中课程标准实验教科书(人教A版)《数学必修1》第三章《函数的应用》的第一节“函数与方程”的第一课时——方程的根与函数的零点。

本节对“方程的根与函数零点”的认识,是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习,过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究。

对本节课的研究,不仅为“用二分法求方程的近似解”这一“函数的应用”做好准备,而且揭示了方程与函数之间的本质联系,这种联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础,起到了承前起后的作用。

二、学习者特征分析
1.学生是诏安一中高一平行班的学生;
2.学生对多媒体大屏幕环境下的课堂环境非常熟悉,学生具备一定的自学能力,思维活跃;
3.学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识,具备一定的逻辑推理能力,这为本节探究活动顺利进行提供了保证。

掌握方程的根与函数的零点的关系,并应用它们展开一定的探究活动,这对学生的逻辑推理能力和数形结合能力提出较高要求。

三、教学目标
(一)知识与技能:
1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点
与方程的根的联系;
2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法.
(二)过程与方法:
自主发现、探究实践,体会函数的零点与方程的根之间的联系.
(三)情感、态度、价值观:
在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.
四、教学重点
体会函数的零点与方程的根之间的联系,掌握零点存在的判定条件.
五、教学难点
探究发现函数零点的存在性.
六、教学过程:
(一)引入
1 一次函数y=ax+b(a≠0)函数图像是 .
2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图象开口;当a<0时图象开口;
其顶点坐标为 ; 对称轴为直线 .
3.作出一次函数y =2x -7的图象 . 图像可以知道:
当x =3.5时,y 0,即2x -7 0; 当x <3.5时,y 0,即2x -7 0; 当x >3.5时,y 0,即2x -7 0;
不等式2x -7>0的解即为 ,不等式2x -7<0的解即为 . 方程2x -7=0解可以借助 函数y =2x -7的图象,引入课题
问题1 观察下表(一),求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图象的简图,
问题 2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系,上述结论是否仍然成立?(学生填写)
结论: 二次函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程f(x)=0的实数根。

推广:函数y=f(x)的图象与x 轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢?
结论:函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根。

练习:课后练习1利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根:
(1)-x 2+3x +5=0 (2)2x(x -2)=-3 (3) x 2 =4x -4
(二)总结归纳,形成概念
1、函数的零点:对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x 叫做y=f(x)的零点。

2、等价关系:函数)(x f y =
)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标
(三)初步运用,示例练习
例1 求函数)1lg()(-=x x f 的零点.
小结:求函数零点的步骤: (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0;(3)写出零点
变式练习: 求函数12)(-=x x f 的零点.
(四)学生讨论,探究结论(零点是否存在)
问题4:函数y =f (x )在某个区间上是否一定有零点?
怎样的条件下,函数y =f (x )一定有零点?
(1)观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象:
○1在区间]1,2[-上有零点______;=-)2(f _______, =)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0(<或>).
○2在区间]4,2[上有零点______;)2(f ·)4(f ____0(<或>).
(2)观察下面函数)(x f y =的图象
○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点;)(a f ·)(b f _____0(<或>).
○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点;)(b f ·)(c f _____0(<或>).
○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点;)(c f ·)(d f _____0(<或>).
(3)观察上面的函数图象:
函数在这些区间上的图象是 (间断/连续);含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量,它们各自所对应的函数值的符号是 (相同/互异)
由以上探索,你可以得出什么样的结论?
如果函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么,函数)(x f y =在区间(a ,b )内有零点。

讨论:(1)从这一结论中可看出,函数具备了哪些条件,就可断定它有零点存在呢?
(2)如果函数具备上述两个条件时,函数有多少零点呢?
(3)如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要,又会怎样呢?
(4)如果把结论中的条件“0)()(<⋅b f a f ”去掉呢?
(5)若函数)(x f y =在区间(a , b )内有零点,一定能得出0)()(<⋅b f a f 的结论吗?
(6)在什么样的条件下,就可确定零点的个数是惟一的呢?
小结:如果函数 y=f(x) 在[a ,b]上的图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a )f(b)﹤0,且是单调函数,那么,这个函数在(a ,b)内必有唯一的一个零点。

(五)观察感知,例题学习
例2.求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数.
解:(解法一)用计算器或计算机作出x 、f(x)的对应值表(表3-1)和图象(图3.1—3)
由表3-1和图3.1-3可知f(2)<0,f(3)>0,即f(2)f(3)<0说明函数在区间(2,3)内有零点。

由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点。

试一试:你能判断出函数㏑x + 2x – 6=0的零点的个数吗?(讲评解法二链接数形结合
)
(六)反思小结,提升能力
1.函数零点的定义
2.等价关系
函数)(x f y =的零点 函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标 方程
f (x )=0实数根
3.确定函数的零点的方法
4. 作业:
练习2(1)(2) 习题3.1A 组 2。

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