中考数学真题分类汇编及解析(二十四)等腰三角形

（2022•桂林中考）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）
A．3+√2
2
B．1+√2C．2√2D．2+√2
【解析】选D．如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
因为∠C＝45°，所以△ADC是等腰直角三角形，
所以AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=√2AC＝2√2，
因为∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
所以∠DAB＝22.5°，所以∠B＝∠DAB，所以AD＝BD＝2，
因为AD＝AC，AE⊥CD，所以DE＝CE，所以AE=1
2
CD=√2，
所以△ABC的面积为1
2
•BC•AE=
1
2
×√2×（2+2√2）＝2+√2．
（2022·安徽中考）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA
（2022•泰安中考）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【解析】选A．如图，
因为AB＝BC，∠C＝25°，
所以∠C＝∠BAC＝25°，
因为l1∥l2，∠1＝60°，
所以∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
因为∠BEA＝∠C+∠2，
所以∠2＝95°﹣25°＝70°
（2022•宜宾中考）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，
则CF
AF =4
5
；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，
则CE＝2+√3．其中含所有正确结论的选项是（）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【解析】选B．如图1中，
因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAD＝∠CAE，
因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△DAE（SAS），
所以BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，
因为∠ADB+∠ADC＝180°，所以∠AEC+∠ADC＝180°，
所以∠DAE+∠DCE＝180°，所以∠DAE＝∠DCE＝90°，
取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，
所以A，D，C，E四点共圆，所以∠DAC＝∠CED，故②正确，
设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE=√5m，OA=√5
2
m，
过点C作CJ⊥DF于点J，
因为tan∠CDF=CJ
DJ =CE
CD
=2，所以CJ=2√5
5
m，
因为AO⊥DE，CJ⊥DE，所以AO∥CJ，
所以CF
AF =CJ
AO
=
2√5
5
m
√5
2
m
=4
5
，故③正确．
如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，
所以BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，所以△BPN是等边三角形，
所以BP＝PN，所以PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
所以当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，
所以∠BPD＝∠CPD＝60°，
设PD＝t，则BD＝AD=√3t，
所以2+t=√3t，所以t=√3+1，所以CE＝BD=√3t＝3+√3，故④错误，
故正确的结论是①②③.
（2022•福建中考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）
（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【解析】选B．因为AB＝AC，BC＝44cm，所以BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，
因为∠ABC＝27°，所以tan∠ABC=AD
BD
≈0.51，所以AD≈0.51×22＝11.22cm．
（2022•永州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC 的长为（）
A．√3B．2√3C．2D．4
【解析】选C．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，所以AC＝2BD＝4，
因为∠C＝60°，所以∠A＝30°，所以BC=1
2AC＝2.
（2022•鄂州中考）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【解析】选B．由题意可得AC＝BC，
所以∠CAB＝∠CBA，
因为∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，
所以∠CAB＝∠CBA＝15°，
因为l1∥l2，
所以∠1＝∠CBA＝15°．
（2022•梧州中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误的是（ ）
A ．∠ADC ＝90°
B ．DE ＝DF
C ．A
D ＝BC D ．BD ＝CD
【解析】选C ．因为AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∠B ＝∠C ，
所以∠ADC ＝90°，
在△BDE 和△CDF 中，
{∠B =∠C ∠BED =∠CFD BD =CD
，所以△BDE ≌△CDF （AAS ），所以DE ＝DF .
（2022•龙东中考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F
是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若△ABC 的面积是24，PD ＝1.5，则PE 的长是（ ）
A ．2.5
B ．2
C ．3.5
D ．3
【解析】选A ．如图，过点E 作EG ⊥AD 于G ，
因为AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，所以∠PDF ＝∠EGP ＝90°，EG ∥BC ， 因为点E 是AB 的中点，所以G 是AD 的中点，所以EG =12
BD ，
因为F 是CD 的中点，所以DF =12CD ，所以EG ＝DF ，
因为∠EPG ＝∠DPF ，所以△EGP ≌△FDP （AAS ），所以PG ＝PD ＝1.5，所以AD ＝2DG ＝6，
因为△ABC 的面积是24，所以12•BC •AD ＝24，所以BC ＝48÷6＝8， 所以DF =14BC ＝2，所以EG ＝DF ＝2，由勾股定理得：PE =√22+1．52=2.5．
A ．36°
B ．54°
C ．72°
D ．108°
【解析】选A ．由题意可得BP 为∠ABC 的角平分线，
所以∠ABD ＝∠CBD ，
因为AD ＝BD ，
所以∠A ＝∠ABD ，
所以∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ，
所以∠ABC ＝2∠A ，
因为AB ＝AC ，
所以∠ABC ＝∠C ＝2∠A ，
所以∠A +∠ABC +∠C ＝∠A +2∠A +2∠A ＝180°，
解得∠A ＝36°．
（2022•滨州中考）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB ＝AC ，立柱AD ⊥BC ，且顶角∠BAC ＝120°，则
∠C 的大小为 30° ．
【解析】因为AB ＝AC 且∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）=12×60°＝30°．
答案：30°．
（2022•绍兴中考）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠BAC ＝80°，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射
线BA 于点D ，连结CD ，则∠BCD 的度数是 10°或100° ．
【解析】如图，点D 即为所求；
在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，
所以∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
由作图可知：AC＝AD，
所以∠ACD＝∠ADC=1
2
（180°﹣80°）＝50°，
所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；
由作图可知：AC＝AD′，所以∠ACD′＝∠AD′C，
因为∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，所以∠AD′C＝40°，
所以∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．
答案：10°或100°．
（2022•娄底中考）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：
①△ACD≌△ABD′；
②△ACB∽△ADD′；
③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．
其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．
【解析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，
所以△ACD≌△ABD′，故①正确；
因为AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，
所以AC
AD =AB
AD′
，所以△ACB∽△ADD′，故②正确；
因为△ACB∽△ADD′，所以S
△ADD′
S△ACB
=（AD
AC
）2，
因为当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，所以BD＝CD，
所以当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；
（2022•岳阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3 ．
【解析】因为AB＝AC，AD⊥BC，所以CD＝BD，因为BC＝6，所以CD＝3.
答案：3
（2022•德阳中考）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝√3．
【解析】如图，设CE交AB于点O．
因为∠ACB＝90°，AD＝DB，
所以CD＝AD＝DB，
所以∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，
因为CE⊥AB，所以∠BCE+∠B＝90°，
因为∠A+∠B＝90°，所以∠BCE＝∠A，
所以∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，
，
所以CO＝CB•cos30°=√3
2
因为DA＝DE，DA＝DC，所以DC＝DE，
，所以CE=√3．
因为DO⊥CE，所以CO＝OE=√3
2
答案：√3．
（2022•嘉兴中考）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件∠B＝60°．
【解析】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
答案：∠B＝60°
（2022•无锡中考）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE 交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝80°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是4−√3．
【解析】因为△ACB，△DEC都是等边三角形，
所以AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，所以∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，{CB=CA
∠BCD=∠ACE CD=CE
，
所以△BCD≌△ACE（SAS），所以∠DBC＝∠EAC＝20°，因为∠BAC＝60°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BE交AC于点T．
同法可证△BCD ≌△ACE ，所以∠CBD ＝∠CAF ，
因为∠BTC ＝∠ATF ，所以∠BCT ＝∠AFT ＝60°，
所以点F 在△ABC 的外接圆上运动，当∠ABF 最小时，AF 的值最小，此时CD ⊥BD ，
所以BD =√BC 2−CD 2=√52−32=4，所以AE ＝BD ＝4，∠BDC ＝∠AEC ＝90°，
因为CD ＝CE ，CF ＝CF ，所以Rt △CFD ≌Rt △CFE （HL ），
所以∠DCF ＝∠ECF ＝30°，所以EF ＝CE •tan30°=√3，所以AF 的最小值为AE ﹣EF ＝4−√3.
答案：80，4−√3
（2022•鄂州中考）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，
若BD ＝CE ＝2，则△ABP 的周长为 42+18√7
7 ．
【解析】因为△ABC 是等边三角形，
所以AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝60°，
在△ABD 和△BCE 中，{AB =BC
∠ABD =∠C BD =CE
所以△ABD ≌△BCE （SAS ），
所以∠BAD ＝∠CBE ，
所以∠APE ＝∠ABP +∠BAD ＝∠ABP +∠CBE ＝∠ABD ＝60°，
所以∠APB ＝120°，
在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，
所以∠C ＝60°，
所以△CEF 是等边三角形，
所以∠BFE ＝120°，即∠APB ＝∠BFE ，
所以△APB ∽△BFE ，所以
AP BP =BF EF =42=2， 设BP ＝x ，则AP ＝2x ，
作BH ⊥AD 延长线于H ，
因为∠BPD ＝∠APE ＝60°，所以∠PBH ＝30°，
所以PH =x 2，BH =√32x ，所以AH ＝AP +PH ＝2x +x 2=5
2x ，
在Rt △ABH 中，AH 2+BH 2＝AB 2，即（52x ）2+（√32x ）2＝62， 解得x =6√77或−6√77（舍去），所以AP =12√77，BP =6√77
， 所以△ABP 的周长为AB +AP +BP ＝6+
12√77+6√77=6+18√77=42+18√77， 答案：
42+18√77． （2022•泰州中考）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB
边相交于点D 、E ．若DE ＝CD +BE ，则线段CD 的长为 2或1
2 ．
【解析】如图，过点O 的直线分别与AC 、AB 边相交于点D 、E ，连接BO ，CO ，
因为O 为△ABC 的内心，所以CO 平分∠ACB ，BO 平分∠ABC ，
所以∠BCO ＝∠ACO ，∠CBO ＝∠ABO ，
当CD ＝OD 时，则∠OCD ＝∠COD ，
所以∠BCO ＝∠COD ，所以BC ∥DE ，
所以∠CBO ＝∠BOE ，所以BE ＝OE ，
则DE ＝CD +BE ，
设CD ＝OD ＝x ，BE ＝OE ＝y ，
在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=10，
所以{AD AC =DE BC AE AB =DE BC ，即{8−x 8=x+y 610−y 10
=8−x 8，解得{x =2y =52，所以CD ＝2，
过点O 作D ′E ′⊥AB ，作DE ∥BC ，
因为点O 为△ABC 的内心，所以OD ＝OE ′，
在Rt △ODD ′和Rt △OE ′E 中，
{∠OE′E =∠ODD′OE′=OD ∠EOE′=∠D′OD
，所以△ODD ′≌△OE ′E （ASA ），所以OE ＝OD ′，
所以D ′E ′＝DE ＝CD +BE ＝CD ′+BE ′＝2+52=92，
在△AD ′E ′和△ABC 中，
{∠A =∠A ∠D′E′A =∠BCA
，所以△AD ′E ′∽△ABC ， 所以AD′
AB =D′E′
BC ，所以AD′
10=92
6，解得：AD ′=152，所以CD ′＝AC ﹣AD ′=12
. 答案：2或12
． （2022•包头中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为AB 边上一点，且BD ＝BC ，连接
CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE 的长为 3√2−3 ．
【解析】因为∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，所以AB =√2AC ＝3√2，∠A ＝∠B ＝45°，
因为BD ＝BC ＝3，AC ＝BC ，所以BD ＝AC ，AD ＝3√2−3．
因为DC ＝DE ，所以∠DCE ＝∠DEC ．
因为BD ＝BC ，所以∠DCE ＝∠CDB ，所以∠CED ＝∠CDB ，
因为∠CDB ＝∠CDE +∠EDB ，∠CED ＝∠B +∠EDB ，
所以∠CDE ＝∠B ＝45°．所以∠ADC +∠EDB ＝180°﹣∠CDE ＝135°．
因为∠ADC +∠ACD ＝180°﹣∠A ＝135°，所以∠ACD ＝∠EDB ．
在△ADC 和△BED 中，
{AC =BD ∠ACD =∠EDB CD =DE
，所以△ADC ≌△BED （SAS ）．所以BE ＝AD ＝3√2−3．
答案：3√2−3．
【解析】过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．
因为AB＝AC=√2，∠BAC＝90°，所以BC=√(√2)2+(√2)2=2，
因为AH⊥BC，所以BH＝AH＝1，所以AH＝BH＝CH＝1，
所以AM+BN=√12+(1−x)2+√(√2)2+x2，
欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，√2）的距离和的最小值，如图1中，
作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，
此时直线EF′的解析式为y＝（√2+1）x−√2，
当y＝0时，x＝2−√2，
所以AM+BN的值最小时，CM的值为2−√2.
答案：2−√2
（2022•自贡中考）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．
【证明】因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
所以∠ABD＝∠ACE＝120°，
在△ABD和△ACE中，{AB=AC
∠ABD=∠ACE BD=CE
，
所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠D＝∠E.
（2022•怀化中考）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【解析】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：
在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
因为MQ∥BC，
所以∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，
所以△AMQ是等边三角形，所以AM＝QM，
因为AM＝CN，所以QM＝CN，
在△QMP和△CNP中，{∠QPM=∠CPN ∠QMP=∠N QM=CN
，
所以△QMP≌△CNP（AAS），
所以MP＝NP；
（2）因为△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，所以AH＝HQ，
因为△QMP≌△CNP，
所以QP＝CP，所以PH＝HQ+QP=1
2 AC，
因为AB＝a，AB＝AC，所以PH=1 2 a
（2022•杭州中考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC 于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
（2022•绥化中考）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一
腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
（1）如图一，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC 边上有一点D ，过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ．利用面积证明：DE +DF ＝CG ．
（2）如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B '处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM ⊥FC 于M ，GN ⊥BC 于N ．若BC ＝8，BE ＝3，求GM +GN 的长．
（3）如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA ⊥AB ，ED ⊥CD ，连接BD ，且
AB CD =AE DE ，BC =√51，
CD ＝3，BD ＝6，求ED +EA 的长．
【解析】（1）连接AD ，
因为S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×CG =12×AB ×DE +1
2×AC ×DF ，
因为AB ＝AC ，所以DE +DF ＝CG ；
（2）因为将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，
所以∠AFE ＝∠EFC ，AE ＝CE ，
因为AD ∥BC ，所以∠AFE ＝∠CEF ，所以∠CEF ＝∠CFE ，所以CE ＝CF ，
因为BC ＝8，BE ＝3，所以CE ＝AE ＝5，
在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AB ＝4，所以等腰△CEF 中，CE 边上的高为4， 由（1）知，GM +GN ＝4；
（3）延长BA 、CD 交于G ，作BH ⊥CD 于H ，
因为AB
CD =AE
DE ，∠BAE ＝∠EDC ＝90°，所以△BAE ∽△CDE ，
所以∠ABE ＝∠C ，所以BG ＝CG ，所以ED +EA ＝BH ，
设DH ＝x ，
由勾股定理得，62﹣x 2＝（√51）2﹣（x +3）2，解得x ＝1，所以DH ＝1， 所以BH =√BD 2−DH 2=√62−12=√35，所以ED +EA =√35．。