长丰县第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

长丰县第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知集合
，则
A0或
B0或3 C1
或
D1或3
2． “a ≠1”是“a 2≠1”的（
）
A ．充分不必条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 已知、、
的球面上，且，，球心到平面的距离为A B C AC BC ⊥30ABC ∠=o
O ABC 1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
M BC M
O A B ．
C
D ．34
π3π
4． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）
A ．k360°+463°
B ．k360°+103°
C ．k360°
257°
5． 函数（， f （0）的值为（ ）
()2cos()f x x ωϕ=+0ω>0ϕ-π<<A. B. C. 3
2
-
1
-【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.6． 已知向量
，
，其中
．则“
”是“
”成立的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件7． 若直线y=kx ﹣k 交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则|AB|=（ ）A ．12B ．10
C ．8
D ．6
8． 在二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ）
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
9． 已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，
）平行，则λ=（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A
A
．B ．C ．﹣D ．
﹣
10．若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（ ）
y x ,⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x 31++x y y x +A ． B ． C ． D ．1-3-3
11．函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ）
A ．C ．D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（
）
A ．a+3
B ．6
C ．2
D ．3﹣a
12．已知定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （1）=3，且f （x ）的导数f ′（x ）在R 上恒有f ′（x ）＜2（x ∈R ），则不等式f （x ）＜2x+1的解集为（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）
C ．（﹣1，1）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题
13．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k
A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数3
2
1y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，其中为自然对数()1
e e
x x f x =-e 的底数，则不等式的解集为________．
()()
2240f x f x -+-<15．函数（）满足且在上的导数满足，则不等式
)(x f R x ∈2)1(=f )(x f R )('x f 03)('>-x f 的解集为
.
1log 3)(log 33-<x x f 【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.
16．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．
17．已知平面上两点M （﹣5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1是“单曲型直线”的是 ．
18．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为__________
三、解答题
19．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm 之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．　
20．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方
程为（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋2x ＝0.
{x ＝
cos t y ＝1＋sin t
)
3（1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．
21．己知函数f （x ）=lnx ﹣ax+1（a ＞0）．
（1）试探究函数f（x）的零点个数；
（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．
22．已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）求点P（2，2）到直线l的距离．
23．已知函数且f（1）=2．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
24．已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，且不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．
长丰县第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
，
，故
或
，解得
或
或
，又根据集合元素的互异性
，所以
或。

2． 【答案】B
【解析】解：由a 2≠1，解得a ≠±1．
∴“a ≠1”推不出“a 2≠1”，反之由a 2≠1，解得a ≠1．∴“a ≠1”是“a 2≠1”的必要不充分条件．故选：B ．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　
3． 【答案】B
【解析】∵，∴，
AC BC ⊥90ACB ∠=o
∴圆心在平面的射影为D 的中点，
O AB
∴
，∴．1
12
AB ==2AB =
∴，
cos30BC AC ==o
当线段为截面圆的直径时，面积最小，BC
∴截面面积的最小值为．234
ππ⨯=4． 【答案】C
【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k ∈Z ）即：k360°+257°，（k ∈Z ）故选C
【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．　
5． 【答案】D
【解析】易知周期，∴.由（），得112()1212T π5π=-=π22T ωπ==52212k ϕπ⨯+=πk ∈Z 526k ϕπ
=-+π
（），可得，所以，则，故选D.
k Z ∈56ϕπ=-5()2cos(26f x x π=-5(0)2cos()6
f π
=-=6． 【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若
，则
或
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A
7．【答案】C
【解析】解：直线y=kx﹣k恒过（1，0），恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标，
设A（x1，y1）B（x2，y2）
抛物y2=4x的线准线x=﹣1，线段AB中点到y轴的距离为3，x1+x2=6，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8，
故选：C．
【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
8．【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x3n﹣4r，
则∵二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
9．【答案】C
【解析】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，
∴==，
∴λ=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量平行（共线）的问题，解题时根据两向量平行，对应坐标成比例，即可得出答案．　
10．【答案】D
【解析】
考
点：简单线性规划．11．【答案】A
【解析】A ．C ．D ．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，
求得10≤ω＜12，故选：A ．12．【答案】A
【解析】解：令F （x ）=f （x ）﹣2x ﹣1，则F ′（x ）=f ′（x ）﹣2，
又∵f （x ）的导数f ′（x ）在R 上恒有f ′（x ）＜2，∴F ′（x ）=f ′（x ）﹣2＜0恒成立，∴F （x ）=f （x ）﹣2x ﹣1是R 上的减函数，又∵F （1）=f （1）﹣2﹣1=0，
∴当x ＞1时，F （x ）＜F （1）=0，即f （x ）﹣2x ﹣1＜0，即不等式f （x ）＜2x+1的解集为（1，+∞）；故选A ．
【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．　
二、填空题
13．【答案】②③【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k =-=(,)
A B ϕ∴=
<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；(,)A B ϕ=
=
11,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111]
考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
14．【答案】()32-，
【解析】∵，∴，即函数为奇函数，()1e ,e x x f x x R =-∈()()11x
x x
x f x e e f x e e --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝
⎭()f x 又∵恒成立，故函数在上单调递增，不等式可转化为
()0x
x
f x e e
-=+>'()f x R ()()2240f x f x -+-<，即，解得：，即不等式的解集为
()(
)
224f x f x -<-224x x -<-32x -<<()()
2240f x f x -+-<，故答案为.()32-，
()32-，15．【答案】)
3,0(【解析】构造函数，则，说明在上是增函数，且
x x f x F 3)()(-=03)(')('>-=x f x F )(x F R .又不等式可化为，即，
13)1()1(-=-=f F 1log 3)(log 33-<x x f 1log 3)(log 33-<-x x f )1()(log 3F x F <∴，解得.∴不等式的解集为.1log 3<x 30<<x 1log 3)(log 33-<x x f )3,0(16．【答案】　﹣2　．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．　
17．【答案】　①②　．
【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P 在以M 、N 为焦点的双曲线的右支上，即，（x ＞0）．
对于①，联立
，消y 得7x 2﹣18x ﹣153=0，
∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立，消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．
对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，
∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
故符合题意的有①②．
故答案为：①②．
【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．　
18．【答案】
【解析】【知识点】抛物线双曲线
【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;
双曲线的两条渐近线方程为：
所以
故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，
由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；
（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，
样本容量为70，
∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，
故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；
（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
∴从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，
求至少有1人身高在185～190cm 之间的可能结果数为9，
∴所求概率p 2=．
【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．
20．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（t 为参数）得{x ＝cos t y ＝1＋sin t
)
x 2＋（y －1）2＝1，
即x 2＋y 2－2y ＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程，
由圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0得
3ρ2＋2ρcos θ＝0，即ρ＝－2cos θ为C 2的极坐标方程．
33（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为
A （2sin α，α），
B （－2cos α，α）．
3∴|AB |＝|2sin α＋2cos α|
3＝4|sin （α＋）|，α∈[0，π），π3由|AB |＝2得|sin （α＋）|＝，π312
∴α＝或α＝.π25π6
当α＝时，B 点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，π2π25π6
此时l 的方程为y ＝x ·tan （x ＜0），5π6即x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－，0），
333∴C 2到l 的距离d ＝＝，|3×（－3）|（3）2＋3232
∴△ABC 2的面积为S ＝|AB |·d 12＝×2×＝.12
3232即△ABC 2的面积为.32
21．【答案】
【解析】解：（1），
令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．
∴f（x）在x=a时取得最大值，即
①当，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→﹣∞
∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）
即f（x）有2个零点；
②当，即a=1时，f（x）有1个零点；
③当，即a＞1时f（x）没有零点；
（2）由得（0＜x1＜x2），
=，令，设，t∈（0，1）且h（1）=0
则，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0
即，又，
∴f'（x0）=＜0．
【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算
比较复杂，特别是计算过程中，令的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）联立，解得其交点坐标为（4，2）．…
因为直线l与直线2x﹣2y﹣5=0平行，所以直线l的斜率为1．…
所以直线l的方程为y﹣2=1×（x﹣4），即x﹣y﹣2=0．…
（Ⅱ）点P（2，2）到直线l的距离为．…
【点评】本题考查直线方程的求法，点到直线距离公式的应用，考查计算能力．　
23．【答案】
【解析】解：（1）f（1）=1+k=2；
∴k=1，，定义域为{x∈R|x≠0}；
（2）为增函数；
证明：设x1＞x2＞1，则：
=
=；
∵x1＞x2＞1；
∴x1﹣x2＞0，，；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2可转化为ax2﹣3x+2＞0，
所给条件表明：ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1orx＞b}，根据不等式解集的意义可知：方程ax2﹣3x+2=0的两根为x1=1、x2=b．
利用韦达定理不难得出a=1，b=2．
由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，s n=n2…（6分）
（Ⅱ）令
则
=…（12分）
【点评】本小题主要考查数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．。