控制工程技术基础 第4章控制系统的频域分析

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4.3典型环节的频率特性
4.3.3惯性环节的频率特性
惯性环节的传递函数为 惯性环节的频率特性为 其幅频特性为 其相频特性为
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4.3典型环节的频率特性
4.3.4振荡环节的频率特性
振荡环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为 相频特性为 对数幅频特性为
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4.3典型环节的频率特性
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4.3典型环节的频率特性
4.3.1比例环节的频率特性
图4-8（a）所示为比例环节的奈魁斯特图，图4-8（b）为其对应 的伯德图。从伯德图可知，比例环节的对数幅频特性为一条幅值等于 20lgK（dB）的水平线。当K＞1时，其分贝数为正；0＜K＜1时，其 分贝数为负。改变传递函数中的比例系数，将导致伯德图的幅值曲线 升高或降低20lgK（dB）；比例环节的相频特性始终为0°，与频率 无关，因而对伯德图的相角曲线没有影响。
这就是说，只要求出系统的幅频特性和相频特性，根据频率响 应的特性，就可以直接求得系统在正弦输入下的稳态响应。
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4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和 伯德图
4.2.1奈魁斯特图
奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在数学上，频率特性可 以用直角坐标式表示，如式（4-16）；也可以用幅相式（指数式）表 示，即
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4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和 伯德图
4.2.2伯德图
伯德（Bode）图，亦称对数坐标图。对数坐标图由对数幅频特性 和对数相频特性两幅图组成。对数幅频特性是幅频特性A(ω)的对数值 L (ω)=20lgA(ω)和频率ω的关系曲线。为了作图方便，通常将它画在 半对数坐标纸上。图4-6所示为半对数坐标纸的坐标系。 在对数幅频特性图中，纵坐标标记为L(ω)，称为增益，单位为 dB（分贝），采用线性刻度。幅频特性A(ω)每增大10倍，对数幅频 特性L(ω)就增加20 dB；横坐标为角频率ω，单位为rad/s，采用对数 刻度。也就是说，横坐标频率ω轴上标明的是ω值，但坐标轴上的实 际距离却是按对数lgω的大小刻度的。
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4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和 伯德图
必须指出，纵坐标L(ω)轴与横坐标频率ω轴不相交，没有坐标 原点。两轴是交错的，手工绘制时，通常将0 dB线与横坐标频率轴重 合。 对数坐标图的横坐标，即频率ω轴由于采用了对数刻度，将低频 段相对展宽了（低频段的频率特性对研究系统性能是比较重要的）， 而将高频段相对压缩了，因此对数坐标图既可以展宽视野（频率范 围），又便于研究低频段的特性。 对数相频特性图的横坐标与对数幅频特性的横坐标相同，也是对 数刻度。纵坐标为相位φ(ω)，单位为度（°），采用线性刻度。 必须指出，对数坐标图现在已经广泛应用于许多领域，并非局限 于控制工程领域。
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4.3典型环节的频率特性
设两个环节的传递函数为G1(s),G2(s) 且有
两个环节的频率特性为
显然，有
所以，只要把积分环节、惯性环节、振荡环节的对数频率特性 曲线上、下倒过来，就得到相应纯微分环节、一阶微分环节、二阶微 分环节的对数频率特性，如图4-15所示。
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4.3典型环节的频率特性
4.3.6延迟环节的频率特性
延迟环节的传递函数为 它的频率特性为 幅频特性为 对数幅频特性为 相频特性为
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4.3典型环节的频率特性
延迟环节的对数相频特性如图4-17所示。 延迟环节的极坐标图是一个单位图，如图4-18所示。
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4.4控制系统的开环频率特性
4.4.1控制系统的开环极坐标图
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4.1频率响应与频率特性
4.1.5频率特性的物理意义
仍以图4-2所示的RC网络为例，说明频率特性的物理意义。RC网 络的幅频特性和相频特性的计算值如表4-1所示。 图4-3是根据表4-1数据绘制的幅频和相频特性曲线。随着频率的 增加，幅值下降、相位滞后越来越大。由此可知，系统频率特性的物 理意义是： （1）系统的频率特性表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频 率低时，系统能正确响应、跟踪、复现输入信号；当频率高时，系统 输出幅值衰减近似为0，相位严重滞后，系统不能跟踪、复现输入。 （2）系统的频率特性随频率而变化的根本原因是系统有储能元件、有 惯性，对频率高的输入信号，系统来不及响应。
4.1.6求取频率特性的解析方法
当已知系统的传递函数时，可按式（4-15）求取，即
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4.1频率响应与频率特性
当从系统原理图开始求取系统的频率特性时，应该先求出系统的 传递函数。频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此有
必须指出，根据式（4-12）可知，一般地，系统对正弦输入信号 的稳态响应为
4.1.1周期函数（信号）的谐波分析
周期函数定义为
如果函数f (t)满足狄里赫利条件： （1）在一个周期内只有有限个第一类间断点（左右极限存在，但不相 等）； （2）在一个周期内只有有限个极值点。 则周期函数可分解为傅里叶（Fourier）级数，即
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4.1频率响应与频率特性
周期函数的傅里叶也可以写成
4.3.5微分环节的频率特性
理想微分环节、一阶微分环节（导前环节）、二阶微分环节都属 于微分环节，它们的传递函数分别与积分环节、惯性环节、振荡环节 互为倒数： 理想微分环节G (s )=s 积分环节G (s )=1/s 二阶微分环节G (s )=T 2 s 2+2ζ Ts+1（T>0，0 ≤ζ<1） 振荡环节
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4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和 伯德图
如图4-4（a）所示，某一频率ωi下的G (jωi)可用向量表示，向量 的长度就是G (jωi)的模Aωi，即频率特性G(jω)在频率ωi时的幅频特性 值；向量与极坐标轴的夹角就是G(jω)的相角φ(ωi)，即频率特性G(jω) 在频率ωi时的相频特性值。 通常将极坐标重合在直角坐标中，如图4-4（b）所示。极点取直 角坐标原点，极坐标轴取直角坐标系的正实轴。这样，向量G (jωi)在 实轴上的投影P(ωi)为G (jωi)的实部，在虚轴上的投影Q(ωi)为G (jωi) 的虚部。 当频率ω从0变化到∞时，向量G(jω)的矢端将绘出一条曲线，这 条曲线称为频率特性G(jω)的奈魁斯特曲线或幅相频率特性曲线，如 图4-4（c）的虚线所示。这种图也称为极坐标图或奈魁斯特图（简称 奈氏图）。图中，ω的箭头表示频率ω增大的方向。奈氏图的特点是 把频率ω看成参变量，将频率特性的幅频和相频特性同时表示在[G] 复数平面上。
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4.1频率响应与频率特性
4.1.3频率响应
稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。或者说， 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系统输出响应的稳态分量是与 输入同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。 如图4-1所示，对线性系统输入某一频率的正弦波信号，系统的 响应经过一定时间进入稳态，系统的稳态响应也是同一频率的正弦波， 但稳态输出的幅值和相位与输入信号的幅值和相位相比发生了变化。 并且，随着输入信号频率的变化，输出、输入信号的幅值比和相位差 将会相应地随频率而发生变化。因此，可以利用这一特性，保持输入 信号的幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究系统响应信号的幅 值和相位随频率的变化规律，即可达到研究系统性能的目的。
系统的开环奈魁斯特图的画法，其原理与环节的奈魁斯特图的画 法是一样的。当系统由若干典型环节组成时，系统的频率特性为典型 环节频率特性的乘积，即
系统奈魁斯特图的A(ω)值应是组成系统的各环节的幅值的连乘积， 即
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4.4控制系统的开环频率特性
系统的相频特性为组成系统各环节相频特性的代数和，即
对应不同类型的系统，其奈魁斯特图在形状上将具有以下特点。 1. 0型系统 0型系统由于其开环传递函数没有积分环节，其奈魁斯特图的起 点（ω＝0）是正实轴上的一个有限值［A( 0)=K］。对应于ω→∞的终 点是在原点处，并按顺时针方向越过若干个象限与坐标轴相切而趋于 原点。越过象限的个数应当是不包括零值极点的极点数与零点数之差。 如图4-21所示。
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4.1频率响应与频率特性
（3）系统的频率特性是系统的固有特性，取决于系统结构和参数。时 间常数一旦确定，频率特性随之而定，幅频特性、相频特性也就确定， 时间常数越大，系统能跟踪、能复现的信号的频率越低，即系统的惯 性越大，系统能响应的输入信号的频率就越低。系统的这种特性也称 为“滤波”，一般地，控制系统具有“低通滤波器”特性。
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4.1频率响应与频率特性
4.1.4频率特性
频率特性的定义是：线性稳定系统在正弦信号作用下，当频率 从0变化到∞时，稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特 性，称为频率特性，它由幅频特性和相频特性两部分组成。 系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的幅值之比随输 入频率的变化而变化的特性称为幅频特性A( ω)=G(jω)，它描述了系 统对输入信号幅值的放大或衰减特性；系统稳态正弦输出信号与相应 的正弦输入信号的相位之差随输入频率的变化而变化的特性称为相频 特性φ(ω)=∠G(jω)，它描述了系统输出信号相位对输入信号相位的滞 后（负值）或超前（正值）特性。 显然，以正弦信号作为典型试验信号，以频率作为变量，弄清 了系统对频率ω从0变化到∞时的正弦信号的响应特性，由叠加原理， 实质上也就掌握了任意周期或非周期函数输入时，系统的响应特性。
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4.3典型环节的频率特性
4.3.2积分环节的频率特性
积分环节的传递函数为 积分环节的频率特性为 积分环节的幅频特性为 积分环节的相频特性为
积分环节的对数幅频特性为
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4.3典型环节的频率特性
积分环节的对数幅频特性如图4-9（a）所示，是一条通过（ω=1， 0 dB）点，斜率为-20 dB/dec的直线，即频率每增大10倍，幅频特性 下降20 dB。相频特性如图4-9（b）所示，为一条与频率无关的-90° 的水平线。 综合幅频和相频特性，积分环节的幅相频率特性为一与负虚轴 重合的直线，如图4-10所示。
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4.4控制系统的开环频率特性
2.Ⅰ型系统 Ⅰ型系统由于有一个积分环节，因此包含一个相角恒等于-90°的 积分因子，所以其奈魁斯特曲线低频时以和负虚轴平行的直线为渐近 线。在ω→∞时，曲线收敛于原点，并按顺时针方向越过若干个象限 与坐标轴相切而趋于原点。越过象限的多少与0型系统的计算方法相 同。 3.Ⅱ型系统 Ⅱ型系统由于包含两个积分环节，其奈魁斯特曲线在低频时是渐 近于负实轴的平行线。在ω→∞时，曲线同样收敛于原点。顺时针旋 转越过的象限仍按前述方法决定。 可以看出，它们的共同特点是低频段幅值很大，随着频率的升高， 幅值逐渐变小。因此，控制系统总是具有低通滤波的性质。 图4-22给出了除零极点以外，极点数与零点数之差为2的0、Ⅰ、 Ⅱ型系统奈魁斯特图的一般形状。
4.1.2非周期函数（信号）的谐波分析
非周期函数可以看成是周期为无穷大的周期函数。因此，当周 期T→∞时，有△ω=2π/T →0 相邻的两个谐波频率无限接近，谐波的 次数n→∞，再用n来表示谐波次数已无意义，因此改用ω来表示各次 谐波的角频率，于是有
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4.1频率响应与频率特性
由上述分析可知，非周期函数含有一切频率的谐波分量。由于 非周期函数的周期无穷大，这些谐波分量是在-∞≤t≤∞时刻存在的， 因此这些谐波分量是稳态的正弦波。换言之，一个任意的信号是由不 同频率、不同幅值的正弦信号叠加组成的。例如，常用的单位阶跃函 数，它是由下式表示的含有一切频率的谐波分量叠加组成的
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4.4控制系统的开环频率特性
4.4.2控制系统的开环对数坐标图
如式（4-51），系统的开环幅频特性为各典型环节幅频特性的连 乘积，即
第4章控制系统的频域分析
4.1频率响应与频率特性 4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和伯德图 4.3典型环节的频率特性 4.4控制系统的开环频率特性 4.5闭环的频率特性 4.6频域稳定性判据与稳定性分析 4.7频域指标与时域指标的关系 4.8开环频率特性与时域响应的关系
4.1频率响应与频率特性