3.3条件分布

Y
y1
P{Y y j | X xi }
pi 1 pi•
y2 pi 2 pi•
yj pij pi•
注意：
P{X
xi | Y
yj} 0； P{X
i 1
xi |Y
yj}
i 1
pij p• j
p• j p• j
1.
条件分布
例 1 设袋中装有 4 个白球、5 个红球，现从袋中随机地无放回地抽取两次，定义随机变量
X | Y FX|Y ( x | y)
条件分布函数
条件分布
二、二维离散型随机变量的条件分布
设 ( X ,Y ) 是 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ， 对 于 固 定 的 j ， 若
P{Y yj } 0，称
P{ X
xi
|Y
yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
pij p• j
概率论与数理统计
Probability and Statistics
— 概率论与数理统计教学组—
第3章 多维随机变量及其分布
3.3 条件分布
学习 要点
条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
条件分布
一、 条件分布引言
X ,Y F(x, y)
Y |X FY|X ( y | x)
0
X ,Y 如下：X 1
第一次取出白球
0
，Y
第一次取出红球
1
第二次取出白球
第二次取出红球 ，求随机变量 X ,Y
的条件分布.
解 由题意可知
Y
01
3 5， P{Y y j | X 0} 8 8
Y
01
4 4 ，其它同理. P{Y y j | X 1} 8 8
条件分布
三、二维连续型随机变量的条件分布
xe x(1 y) ex 0y
y 0
0
xe xy 0
y
y
0
0.
（2）当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
3e3 ydy e3.
1
小结 条件分布
条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
Harbin Engineering University
率密度函数为 f ( x, y)且连续，则
FX |Y
x
|
y
lim
0
P{X x, P{ y
y
Y
Y y
y
}
}
lim
0
x
y y
y y
f ( x, y)dxdy fY ( y)dy
lim
2
x
f
(x,
)dx
0 2 fY ( )
中值定理
x
f (x, y) dx
fY ( y)
条件分布
因此在给定条件Y y下随机变量 X 的条件概率密度为
同理
f (x, y) f X|Y ( x | y) fY ( y)
FY|X ( y |
x)
y
f (x,u) du
fX (x)
f (x, y) fY|X ( y | x) f X ( x)
条件分布
例 2 设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为
xe x(1 y) , x 0, y 0
,
i 1,2,L
为Y y j条件下 yj }
p1 j p• j
x2 p2 j p• j
xi pij p• j
条件分布
同理
P{Y
yj
|X
xi }
P{X xi ,Y P{X xi }
yj}
pij pi•
, j 1,2,L
为 X xi 条件下Y 的条件分布律.
f (x, y) 0,
其他
求(1) fY|X ( y | x)；(2) P(Y 1 X 3).
解 由题意可知
fX ( x)
f
(
x,
y)dy
xe x(1 y)dy,
0
0, x 0
x 0 ex, 0,
x0
.
x0
条件分布
因此当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
设( X ,Y )为二维连续型随机变量，对于给定的 x R 及
0，有 P{ y Y y } 0，若极限
lim
0
PX
x
|
y
Y
y
lim
0
PX x, y Py
Y y Y y
存在，则称此极限为在条件Y y下 X 的条件分布函数.
FX|Y ( x, y)
条件分布
设( X ,Y )为二维连续型随机变量，分布函数F ( x, y)，其概