一级倒立摆的建模及控制分析

直线一级倒立摆的建模及控制分析
摘要：本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。

此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。

一、问题描述
倒立摆控制系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的有机结合，其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中较为理想的实验对象。

它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制系统新理论、新思想的发展。

倒立摆系统可以采用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID，自适应、状态反馈、智能控制等方法都己经在倒立摆控制系统上得到实现。

由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。

二、方法简述
本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系
统的控制器。

此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。

三、模型的建立及分析
3.1 微分方程的推导
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。

图1 直线一级倒立摆系统
假设 M 为小车质量；m 为摆杆质量；b 为小车摩擦系数；l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 为摆杆惯量；F 为加在小车上的力；x 为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。

图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

值得注意的是: 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定, 因而矢量方向定义如图2所示, 图示方向为矢量正向。

(a) (b)
图2 小车和摆杆的受力分析图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
N x b F x M --= (1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
θθθθs i n c o s 2
ml ml x m N -+= (2) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2 (3)
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
θθθθc o s s i n 2 ml ml mg P --=- (4) 力矩平衡方程如下：
θθθ
I Nl Pl =--cos sin (5)
合并这(4)、(5)两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：
()
θθθ
c o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (6) 假设φ与1(单位是弧度)相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：
0d d s i n 1c o s 2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=t θφθθ
，， (7) 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：
()
()⎩
⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x
ml mgl ml I φφφ 2 (8) 3.2 状态空间方程
方程组(8)对φ
，x 解代数方程，整理后的系统状态空间方程为： ()
()()()()()()()u Mm l m M I m l Mm l m M I m l
I x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lb
Mm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2
222
2
2
2
2
2
20000
10
0000001
0φφφφ u x x x y ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 对于质量均匀分布的摆杆有：3/2ml I =，于是可得：
()
x ml mgl ml ml =-+φφ
223/ 化简得：x
l
l g 43
43+=φφ
设}
{x u x x X ==1
，，，，φφ ，则有：
1
430100430
0100
00000001
0u l x x l g x x
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ
10001000001u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ 3.3 实际系统模型
实际系统模型参数: M =1.096 Kg ；m =0.109 Kg ；b =0.1 N/m/s ； l =0.25 m ；I =0.0034 kg ·m ·m ；采样频率 T =0.005 s 。

以小车加速度作为输入的系统状态方程：
1301004
.2900
100000000010u x x x x
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ 10001000001u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ 3.4 状态空间极点的配置
对于直线一级倒立摆的极点配置转化来说: 要按上述系统设计控制器, 则要求具有较短，约3 s 的调整时间和合适的阻尼比ζ=0.5。

要使系统具备能控、能观且易验证。

步骤为：计算特征值。

根据要求，设调整时间为3 s, 并留有一定的余量, 选择期望的闭环极点:()4321，，，==i s i
μ，其中：，
，10-10
-21==μμ ，，j j 32232243--=+-=μμ其中43μμ，
是一对具有ζ=0.5，4=n w 的主导闭环极点。

21μμ，位于主导闭环极点的左边，其影响较小，因此期望的特征根方程
为： 0160072019624234=++++s s
s s 由此得到：1600,720,196,244321====a a a a 系统的特征方程为：
244.294.29001000
000
01s s s s s s A sI -=---=-，
因此：4.2902431-====b b b b ，。

系统的反馈增益矩阵为：[]1-112
2314
4T b a b a b a b a K ----=
确定使状态方程变为可空标准型的变换矩阵T =MW ，于是可得：
[
]
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==02.8803
2.88030000100103
2B A B
A A
B B
M ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000
101100104.2910
4
.29000
010********
123b b b b b b W 则有：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--=
=30
00
0300104.29001
04
.29MW T ，⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-333.00000333.000011.00034.000011.00034
.01T 则反馈增益矩阵为：[]1633.162739.934898.244218.54--=K
控制量为:φφμ 1633.162739.934898.244218.54--+=-=x x KX 3.5 MATLAB 仿真分析
利用MATLAB 软件对直线一级倒立摆进行了仿真，仿真绘制的曲线图，如图3,4所示。

图3 小车位置随时间变化图
图4 摆角随时间变化图
采用极点配置法设计的用于直线型一级倒立摆系统的控制器, 可使系统在很小的振动范围内保持平衡, 小车振动幅值约为3-
5 m, 摆杆振动幅值约0.05
10
rad,系统稳定时间约3 s。

四、参考文献
[1] 固高倒立摆系统与实验指导书，2004，固高科技有限公司
[2] 胡寿松，自动控制原理(第三版)，1994，国防工业出版社
[3] 崔怡，Matlab5.3实例详解，2000，航空工业出版社
[4] 李新，何传江，矩阵理论及其应用，2008，重庆大学出版社。