专题16 矩形的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(解析版)

专题16矩形的判定与性质
★知识归纳
●矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点梳理：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
●矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点梳理：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形
的对角线互相平分且相等.
●矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点梳理：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
★实操夯实
一．选择题（共11小题）
1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（）
A．4B．5C．6D．8
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
2．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC
【解答】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：B．
3．下列说法正确的是（）
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
【解答】解：∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形，
∴选项A不正确；∵有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形，
∴选项B不正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不正确；
∵对角互补的平行四边形一定是矩形，
∴选项D正确；
故选：D．
4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）
A．3B．C．D．4【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）
A．B．C．D．【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．
∴tan∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，
∴BE＝，
∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，
∴BF＝，
∴EF＝＝，
∴CF＝3﹣＝，
在Rt△CFE中，CE＝＝．
故选：D．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）
A．10B．9.6C．4.8D．2.4
【解答】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝＝4.8．
故选：C．
7．如图，ABCD是矩形，AC、BD相交于O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（）
A．2B．3C．4D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝2OE，
∵AE＝2，
∴，即4OE2﹣OE2＝12，
∴OE＝2，
∴OD＝OB＝2OE＝4；
故选：C．
8．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（）
（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE＝S矩形ABCD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝＝＝a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BC＝AC＝×2a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故（1）正确；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE＝a•a＝a2，
S ABCD＝3a•a＝3a2，
∴S△AOE＝S ABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个．
故选：C．
9．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（）
A．2B．4C．8D．16
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，
∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，
∴BD＝2BO，即2BO＝16．
∴BO＝8．
又∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△CBO的中位线，
∴MN＝BO＝4．
故选：B．
10．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）
A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E 作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
二．填空题（共3小题）
12．为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是（24﹣4π）m2．
【解答】解：连接BP，如图，由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线，
∵EF＝4m，
∴BP＝2m，
∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，
∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A，B，C，D，半径为2m的四分之一圆，以及BC和AD上的一段线段．长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4＝24（m2）．
∴种植年花的区域的面积是：24﹣π×22＝（24﹣4π）（m2）．
故答案为：（24﹣4π）．
13．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是30°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝20°，
∴∠GAF＝∠F＝20°，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
14．如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是②③．
【解答】解：∵点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF∥CD，HG∥CD，EF＝CD，HG＝CD，HE＝AB，AB∥HE，∴EF＝HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB不一定等于CD，
∴EH不一定等于EF，故①错误，
∵AB＝CD，
∴EH＝EF，
∴平行四边形HEFG是菱形，
∴EG平分∠HGF，故②正确，
③∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝90°，
∵四边形HEFG是平行四边形，
∴GF∥HE∥AB，
∴∠GFC＝∠ABC，
∵EF∥CD，
∴∠BFE＝∠BCD，
∴∠GFC+∠EFB＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形HEFG是矩形，故③正确，
故答案为：②③．
三．解答题（共12小题）
15．如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，
∠B＝∠C＝90°，
∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF．
16．在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，点P为四边形外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：四边形ABCD为矩形．
【解答】证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
连接OP，
∵∠APC＝∠BPD＝90°，
∴BD＝2OP，AC＝2OP，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形．
17．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分对角线BD，
∴∠DOE＝∠BOF＝90°，OB＝OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO＝∠BFO，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴DE＝BF，
∵EF垂直平分对角线BD，
∴DE＝BE，BF＝DF，
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形BFDE是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，
∵∠BOF＝90°，
∴∠A＝∠BOF＝90°，
在Rt△BAE和Rt△BOF中，
，
∴Rt△BAE≌Rt△BOF（HL），
∴AB＝OB，
∵AB＝CD，OB＝OD，
∴CD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°．
18．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝6，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BF＝BE，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝OA，
∴∠BAC＝∠OBA，
又∠BEF＝2∠BAC，
∴∠BEF＝2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝3，
∴AB＝＝9．
19．如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD．
∵在▱DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
20．如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．求证：▱ABCD是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵O是AB的中点，
∴AO＝BO，
在△DAO和△CBO中，，
∴△DAO≌△CBO（SSS），
∴∠A＝∠B，
∵∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
21．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
又∵∠GEF＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴BC＝AB，∠ABC＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴BC∥DA，
∵点E是线段AB的中点，
∴CE＝AB＝BE＝AE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°＝∠ABD，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD为平行四边形；
（2）证明：如图所示：
∵BD∥CF，BE＝AE，
∴AF＝DF＝AD，
∴BC＝AF，
又∵BC∥DA，
∴四边形BCAF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形BCAF是矩形．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．
24．如图，已知平行四边形ABCD．
（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC•AB＝44＝16．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【解答】解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，
故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，
则周长为：4AQ＝4×＝15cm
面积为：．
26．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，又∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6﹣x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得：x＝
∴AQ的长是．。