2016-2017学年高二数学下学期第二次月考试题理(1)

阳高一中2016—2017学年第二学期月考考试
高二年级数学试卷（理）
（时间：120分 满分：150分）
一、选择题：（本答题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.下面是关于复数i z 2
3
21+-
=的四个命题，其中真命题为（） A. z 的虚部为
i 2
3
B. z 为纯虚数
C. 2||=z
D.z z =2 2.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A.假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角
C ．假设没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 3.曲线3
4y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是 ( ) A . 74y x =+ B. 72y x =+
C. 4y x =-
D. 2y x =-
4.在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )
A ．36个
B ．24个
C ．18个
D ．6个
5.函数()f x =512322
3
+--x x x 在[0,3]上的最大值和最小值分别是（ ） A.5，15- B.5， C. ，15- D.5，16-
6.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为()
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正
方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B. 1225 C. 1024 D.1378
8.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则该函数的图象是( )
9.dx x ⎰=2
123a ，函数()a x e x f x -+=32的零点所在的区间是( )
A ．（-2，-1）
B ．（-1,0）
C ．（0,1）
D ．（1,2）
10.若函数3
()f x ax x =+在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（ ） A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．]0,(-∞ D ．),0[+∞ 11.68
83
+被49除所得的余数是（ ）
A ．0
B ．14
C ．14-
D ．35
12.()f x 是定义在上的偶函数，当0x <时
/()()0f x x f x +⋅<，且(4)0f -=则不等式
()0xf x >的解集为（ ）
A.),4()0,4(+∞⋃-
B.)4,0()0,4(⋃-
C.),4()4,(+∞⋃--∞
D.)4,0()4,(⋃--∞
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13、两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有
一台雷达发现飞行目标的概率为________．
14、如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格
线从点A 到点B 的不同路径之中，最短路径有________条．
15、某地区气象台统计,该地区下雨的概率是4
15
,有三级以上风的概率为215,既有三级以上风又下雨的概率为1
10
，则该地区在有三级以上风的条件下下雨的概
率为.
16、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511
；
③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件； ⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男女相间；（4）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
18.（12分）已知7
72
2107
)21(x a x a x a a x ++++=- ， 求（1）各项二项式系数和的值；（2）6420a a a a +++。

19.（12分）设n
3
3312⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+的展开式的第7项与倒数第7项的比是1：6，求展开式中的第7项．
20.（12分）设函数21()2
x
f x x e =
. （1）求()f x 的单调区间；
（2）若当[]2,2-∈x 时，不等式()f x m >恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．
(1)求甲坑不需要补种的概率；
(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； (3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．
22.（12分）坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率． 附加题：
1.（本题满分10分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对
B 、丙对
C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛
结果相互独立.
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.
2.（本题满分10分）已知函数y ＝f(x)＝
x ln x 2
12
， (1)求函数y ＝f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值；
(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)的图象在函数g(x)＝3
x 3
2的图象的下方．
3.（本题满分10分）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从道备选题中一次性抽取道题独立作答，然后由乙回答剩余题，每人答对其中题就停止答题，即闯关成功.已知在道备选题中，甲能答对其中的道题，乙答对每道题的概率都是23
. (Ⅰ)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (Ⅱ)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列.
阳高一中2016—2017学年第二学期月考考试
高二年级数学（理）答案
一、选择题：
13.0.22. 14 .35. 15. 0.75 . 16. 2.4.
三、解答题(本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.解：（1）241920种排法．（2）10080种排法．（3）2880种4）36
9660480C A ⋅=种
18.解：解：令1=x ，则1710-=++a a a
令1-=x ，则2187763210=-++-+-a a a a a a 令0=x ，则10=a
于是27321-=+++a a a a 10947531-=+++a a a a ；10936420=+++a a a a
各项二项式系数和12827771707==+++C C C
19.解：[解析] T 7＝C 6n (3
2)n －6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1336，T n －7＋2＝T n －5＝C 6n (32)6⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫133n －6.
由C 6n (3
2)n －6⎝ ⎛⎭⎪
⎪
⎫
1336C 6n (32)6⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
13
3n －6＝16，化简得6n 3－4＝6－1，所以n 3－4＝－1，所以n ＝9.所以T 7＝C 6
9×(32)
9－6
×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1336＝C 3
9×2×19＝563. 20.解：解：（1）ƒ′(x)=xe x
+12x 2e x =e
x
2
x(x+2),
令e
x
2x （x+2）>0,则x>0或x<-2, ∴(-∞,-2),(0,+ ∞)为ƒ（x ）的增区间. 令e
x 2x （x+2）<0,则-2<x<0, ∴（-2，0）为ƒ（x ）减区间. (2)令ƒ′(x)= xe x
+12x 2e=e
x
2
x(x+2)=0.∴x=0和x=-2为极值点.
∵ƒ（-2）=2e
2,ƒ(2)=2e 2, ƒ(0)=0, ∴ƒ（x ）∈[0, 2e 2
]. ∴m<0
21.解：[解析] (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3
＝18
，
所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝7
8
＝0.875.
(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为C 1
3×78×⎝ ⎛⎭
⎪⎫182≈0.041.
(3)因为3个坑都不需要补种的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫783，所以有坑需要补种的概率为1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫783
≈0.330.
22.解：[解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A 2
5＝20. 又μ(A )＝A 13×A 1
4＝12.于是P (A )＝μ(A )μ(Ω)＝1220＝35.
(2)因为μ(AB )＝A 2
3＝6，所以P (AB )＝μ(AB )μ(Ω)＝620＝310
.
(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3
1035
＝1
2
.
解法二：因为μ(AB)＝6，μ(A)＝12，所以P(B|A)
＝μ(AB)
μ(A)
＝
6
12
＝
1
2
.
附加题答案：
1.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立.
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
(1)设甲胜A为事件D，乙胜B为事件E，丙胜C为事件F，
则D，E，F分别表示事件甲不胜A、事件乙不胜B、事件丙不胜C.
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为：
P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5
＝0.55.
(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立.
因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)
＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5
＝0.35.
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为：
因此E ξ＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.
2.已知函数y ＝f (x )＝12
x 2
＋ln x ，
(1)求函数y ＝f (x )在区间[1，e]上的最大、最小值；
(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3
的图象的下方．
解：(1)由已知f ′(x )＝x ＋1
x
，当x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，
所以函数y ＝f (x )在区间[1，e]上单调递增，
所以函数y ＝f (x )在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f (e)＝e 2
2＋1，f (1)＝1
2，
所以函数y ＝f (x )在区间[1，e]上的最大值为e 2
2＋1，最小值为1
2.
(2)证明：设y ＝F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3
，
则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2
＝(1－x )(1＋x ＋2x 2
)x
.
因为x ＞1，所以F ′(x )＜0.
所以函数y ＝F (x )在区间(1，＋∞)上单调递减． 又F (1)＝－1
6
＜0，
所以在区间(1，＋∞)上，F (x )＜0，即12x 2＋ln x ＜23
x 3
，
所以在区间(1，＋∞)上函数y ＝f (x )的图象在函数y ＝g (x )＝23x 3
图象的下方．
3.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从道备选题中一次性抽取道题独立作答，然后由乙回答剩余题，每人答对其中题就停止答题，即闯关成功.已知在道备选题中，甲能答对其中的道题，乙答对每道题的概率都是23
. (Ⅰ)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (Ⅱ)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列.
(Ⅰ)设甲、乙闯关成功分别为事件A B 、，则51
204)(3
6
2214==⋅=C C C A P ， 3223222127
()(1)(1)33327927
P B C =-+-=+=，
所以，甲、乙至少有一人闯关成功的概率是：
.135
128
277511)()(1)(1=⨯-=⋅-=⋅-B P A P B A P
(Ⅱ)由题意，知X 的可能取值是、.
所以12423
6
1
(1)5C C P X C ===， 4
(2)1(1)5P X P X ==-==(或213
4243
6
4(2)5C C C P X C +===)， 则的分布列为。