河南省正阳县第二高级中学2018届高三数学下学期周练(七)文

河南省正阳县第二高级中学
2017-2018学年下期高三文科数学周练（七）
一.选择题：
1. 若复数z 满足2
2
(1)1z i i =-=-,则z = ( )
A ．1
B ．-11
C ．i
D ．i - 2. 若函数()sin cos f x a x =-,则()f a '= ( )
A ．sin a
B ．cos a
C ．sin cos a a +
D ．2sin a
3. 若双曲线2
218
x y -=的左焦点在抛物线22y px =(0)p >的准线上,则p 的值为( ) A
．3 C
．． 6 4. 已知p ：
11
22
a ≥-成立, q ：函数()(1)x f x a =-- (1a >且2a ≠)是减函数,则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A ．使用了归纳推理
B ．使用了类比推理
C.使用了“三段论”，但大前提使用错误 D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误
6. 如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为
ˆ0.70.35y
x =+，则小烈结论错误的是( )
A ．线性回归方程一定过点（4.5,3.5
） B ．产品的生产耗能与产量呈正相关
C. t 的取值必定是3.5 D ．
A 产品每多生产1吨，则相应的生产耗能约增加0.7吨
7. 复数z
满足34zi i =+，若复数z ，在平面直角坐标系中对应的点为M ，则点M 到直线
310x y -+=的距离为( )
A B D
8.若1x ，2x ，3(0,)x ∈+∞，则3个数
12x x ,23x x ,3
1
x x 的值( )
A ．至多有一个不大于1
B ．至少有一个不大于1 C.都大于1 D ．都小于1
9. 如果把一个多边形的所有边中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65 B ．96 C.104 D ．112 10. 函数2
()sin ()f x x x x R π
=
-∈的部分图象是( )
A B C D
11.已知双曲线:C 22
22(0)x y a b a b
->>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ,F
为其右焦点,若0AF BF ∙=,设BAF θ∠=,且5(,)412
ππ
θ∈,则双曲线C 离心率的取值范围是 ( )
A ．
B ．)+∞ C. )+∞ D ．(2,)+∞ 12. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数'()f x 1()2
x x '<，则下列不等式中，一定成立的是( )
A ．(9)1(4)(1)1f f f -<<+
B ．(1)1(4)(9)1f f f +<<- C. (5)2(4)(1)1f f f +<<- D ．(1)1(4)(5)2f f f -<<+
13.如图是“平面向量的数量积”的知识结构图，若要加入“投影”，则应该是在 的下位．
14. 若直线y kx =与曲线x
y x e -=+相切,则k = ．
15. 五一假期间,小明参加由某电视台推出的大型户外竞技类活动,该活动共有四关,若四关都闯过,则闯关成功,否则落水失败.小明闯关一至四关的概率一次是78,57,23,3
10
,则小明闯关失败的概率为 ．
16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，若方程()0f x '=无解，
[()2017]2017x f f x -=，
当()s i n c o s g x x x k x =--在[,]22
ππ
-
上与()f x 在R 上的单调性
相同时，则实数k 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知命题p ：方程
22
167x y m m +=+-表示双曲线，命题q ：x R ∃∈，22210mx mx m ++-≤.
（Ⅰ）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若p q ∨为真，q ⌝为真，求实数m 的取值范围.
18. 设非等腰ABC ∆的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，用分析法证明：
113a b c b a b c
+=---+
19. “共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：
（Ⅰ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求寄孙储具体指，给出结论即可）；
（Ⅱ）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认同”，请根据此样本完成此列联表，并局此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
（Ⅲ）若此样本中的A 城市和B 城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此B
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20. 已知椭圆C ：22
213
x y a +
=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113e
OF OA AF
+=
，其中O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点（0,1）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求OMN ∆面积的最大值.
21. 已知函数()()(ln 1)f x x e x =--（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间和极值；
（Ⅱ）若不同的两点(.())A m f m ，(,())B n f n 满足：ln ln ln()20m n m n ∙-∙+=，试判定点(,())P e f e 是否在以线段AB 为直径的圈上？请说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为
4
tan sin ρθθ
=
∙.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P 的直角坐标为(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且28PA PB ∙=，求tan α的值.
23.选修4-5：不等式选讲 已知()f x x a =-，a R ∈.
（Ⅰ）当2a =时，求不等式()276f x x +-≥的解集；
（Ⅱ）若函数()()5g x f x x =--的值域为A ，且[1,2]A -⊆，求a 的取值范围.
一、选择题
1-5: CADAC 6-10:CBBCD 11、12：BA 二、填空题
13. 几何意义 14. 1e - 15. 7
8
16. (,1]-∞- 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵命题q 为真，
当0m >时，2
(2)4(21)0m m m ∆=--≥，∴01m ≤≤，故01m <≤； 当0m =时，10-≤，符合题意；
当0m <时，22210mx mx m ++-≤恒成立. 综上，1m ≤.
（Ⅱ）若p 为真，则(7)(6)0m m +-<，即76m -<<. ∵若p q ∨为真，q ⌝为真，∴p 真q 假，
∴167
m m >⎧⎨-<<⎩，解得17m <<. 18.（Ⅰ）证明：要证明：
113a b c b a b c
+=---+， 只要证明
23
()()a c b a b c b a b c
+-=---+，
只要证明(2)()a c b a b c +--+=3()()a b c b --，
只要证明2()()a c b b a c b +--+-=23()()ac b bc ab c b +---，
只要证明2221
cos 22
a c
b B a
c +-=
=， 只要证明60B =︒，
只要证明A 、B 、C 成等差数列，故结论成立. 19. 解：（Ⅰ）A 城市评分的平均值小于B 城市评分的平均值； A 城市评分的方差大于B 城市评分的方差； （Ⅱ）
2
2
40(5101015) 2.667 3.84120201525
K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
（Ⅲ）设事件M ：恰有一人认可；事件N ：来自B 城市的人认可； 事件M 包含的基本事件数为5101510200⨯+⨯=， 事件M N 包含的基本事件数为1510150⨯=， 则所求的条件概率()1503
()()2004
P N M P N M P M =
==.
20. 解：（（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c ，则OF c =，OA a =，AF a c =-. 所以
113e c a a c +=-，其中c e a
=，又222
3b a c ==-，联立解得2a =，1c =.
所以椭圆C 的方程是22
143
x y +=. （Ⅱ）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形. 当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+. 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得22(43)880k x kx ++-=.
于是直线与椭圆由两个交点的充要条件是22(8)32(43)0k k ∆=++>，这显然成立. 设点11(,)M x y ，22(,)N x y . 由根与系数的关系得122843k x x k +=-
+，12
28
43
x x k =-+.
所以
12MN x =-243k =+，又O 到l 的距离d =
.
所以OMN ∆的面12S d MN ===
令2
433t k =+≥，那么S ==≤，当且仅当3t =时取等号.
所以OMN ∆. 21. 解：（Ⅰ）定义域为0+∞（，），对于()ln 0()ln 0e e
f x x f x x x x
''=-
==-=， 当0x e <<时，ln 1x <，1e x
-<-，∴()ln 0e
f x x x '=-<；
当x e >时，ln 1x >，1e x ->-，∴()ln 0e
f x x x
'=->；
所以()f x 的减区间为(0,)e ，增区间为(,)e +∞，∴()f x 有极小值()0f e =，无极大值. （Ⅱ）若m e =，则(1ln )(1ln )0m n --=，与条件(1ln )(1ln )1m n --=-不符， 从而得m e ≠，同理可得n e ≠.
从而得m n ≠，由上可得点A ，B ，P 两两不重合.
(,())(,())PA PB m e f m n e f n ∙=-∙-
()()()()(ln 1)(ln 1)m e n e m e n e m n =--+---- ()()(ln ln ln 2)0m e n e m n mn =---+=
从而PA PB ⊥，点A ，B ，P 可构成直角三角形.
22. 解：（Ⅰ）当0ρ>时，2sin 4cos ρθθ=可化为22sin 4cos ρθρθ=， 由sin cos x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，得24y x =.经检验，极点的直角坐标（0,0）也满足此式.
所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =. （Ⅱ）将2cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨=+⎩代入24y x =，得22sin 92sin 4cos )70t t ααα+--=，
所以1227
28sin t t α
=
=，
所以2
3sin 4α=
，6πα=或56πα=，即tan α=或tan α=. 23. 解：（Ⅰ）当2a =时，不等式可化为2276x x -+-≥. 当1x ≤时，不等式可化为(2)(27)6x x ----≥，∴1x ≤； 当7
12
x <<时，不等式可化为(2)(27)6x x ---≥，∴x ∈∅； 当7
2
x ≥
时，不等式可化为(1)(25)6x x -+-≥，∴5x ≥； 综上所述，原不等式的解集为{
1x x ≤或}5x ≥. （Ⅱ）∵5x a x ---≤(5)5x a x a ---=-， ∴()5f x x --=55x a x a ---=-[5,5]a a ∈---.
∵[1,2]A -⊆，5152a a ⎧--≤-⎪
⎨
-≥⎪⎩
.
解得1a ≤或7a ≥.
∴a 的取值范围是(,3][7,)-∞+∞.。