七级数学下册 13.1 三角形 三角形中的数学思想素材 (新版)青岛版

三角形中的数学思想

学习数学知识,掌握蕴含在其中的数学思想方法是重中之重，现举例说明本部分知识中的数学思想，以期对同学们有所帮助．

一、 整体思想

例1 如图1所示，在△ABC 中，∠B=40°，∠A、∠C 的外角平分线交于E 点，求∠AEC 的度数．

分析：由图形观察分析不难看出，欲求∠AEC 的度数，必须先求出∠1和∠2的度数，由于∠1和∠2的度数无法单独求出，此时，可设法将∠1+∠2看做一个整体，进行整体求值．

解：因为AE 、CE 分别是△ABC 中∠A、∠C 的外角平分线 所以∠1=

21∠DAC，∠2=2

1∠A CF 所以∠1+∠2=21（∠DAC+∠ACF） 又因为∠DAC=∠B+∠3，∠ACF=∠B+∠4

所以∠DAC+∠ACF=2∠B+∠3+∠4

而∠B+∠3+∠4=180° ∠B=40°

所以∠DAC+∠ACF=180°+40°=220° 所以∠1+∠2=2

1×220°=110° 所以∠AEC=180°-110°=70°

点评：整体思想在解题中经常用到，同学们务必掌握．

二、 方程思想

例2 如图2，在△ABC 中，∠B=70°，∠BAC：∠BCA=3：2，CD⊥AD 于D ，且∠ACD=35°，求∠BAE 的度数． A B D E F

（ ） 图1 （ ）

1 4

2 3

分析：因∠BAE 不是三角形的内角，但∠BAD 是其邻补角，为此欲求出∠BAE，可先求出∠BAD，即先求出∠BAC 和∠CAD，∠BAC 是△BAC 的内角，且∠B=70°，∠BAC：∠BCA=3：2，根据三角形的内角和为180°，可求出∠BAC，而∠CAD 是△ACD 的内角，根据CD⊥AD，∠ACD=35°，由直角三角形的两个锐角互余可求

∠CAD，则问题可解．

解：在△ABC 中，因为∠B=70°，∠BAC：∠BCA=3：2

所以可设∠BAC=3x°，则∠BCA=2x°

因为∠B+∠BAC+∠BCA=180°

所以70+3x+2x=180

所以x=22

所以∠BAC=3×22°=66°

又因为CD⊥AD，

所以∠D=90°

所以∠CAD+∠ACD=90°

所以∠CAD=90°-∠ACD=90°-35°=55°

因为∠DAE 是平角

所以∠BAE=180°-∠BAC -∠CAD=180°-66°-55°=59°

点评：运用代数列方程的方法解决几何问题，是解几何题的基本方法之一，要学会并熟练运用这一方法．

三、 分类讨论思想

例3 有四条线段，分别是x-3，x ，x+1，x+2（x ＞3），则以其中的三条为边，能不能组成三角形？

分析：四条线段由三条组成一组，共有四种情况，可一一列出再用三角形三边关系判断．

A D C

B E 图2

解：可组合的情况为：①x-3，x，x+1；②x-3，x，x+2；③x-3，x+1，x+2；④x，x+1，x+2

①中x-3+x=2x-3与x+1相比较，已知x＞3，则①不一定能构成三角形，因为2x-3

有可能等于x+1，如x=4．

②中x-3+x=2x-3与x+2相比较，因为当x=5时，2x-3=x+2=7，则也可能组不成三角

形．

③中x-3+x+1=2x-2与x+2相比较，不保证2x-2＞x+2，则不一定构成三角形．

④中x+x+1=2x+1与x+2相比较，因为x＞3，所以x+x+1-（x+2）＞0，则可以组成三

角形．

点评：由于x为大于3的数，则可先将各数排序后再讨论，分类讨论思想能提高同学们解题思路的严谨性．