抛物线题型总结大全

抛物线
知识点一、抛物线的定义的应用
定义：若()00,y x P 是抛物线c ：()022
>=p px y 上一点，F 为抛物线c 的焦点，则2
||0p x PF +
=。

与焦点弦有关的常用结论
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
.
(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．
(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p
. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 抛物线简单性质
抛物线px y 22
=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x
结论1：(1)p x x AB ++=21 (2)若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ
2sin 2p
AB =
p
21|CD |1|AB |1=+结论2： (1) 2
21p y y -= (2) x 1x 2=42p (3) 8
3
2p AB S oAB =
∆ (4) p FB FA 211=+ 结论3：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
结论4：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F 结论5：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F
M ⋅=2
1
（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）0=+BE AE K K
结论6： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴
（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴
结论7：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则
题型一、定义求轨迹方程 1、抛物线
的焦点坐标是_________________
2 、抛物线2
8y x =的焦点到准线的距离是（ ）
（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 3、在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_________．
4、若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P (x ，y )的轨迹方程为
A ．y 2
＝8x B ．y 2
＝－8x C ．x 2
＝8y D ．x 2
＝－8y 5、方程
表示（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
6、已知点(2,3)A -在抛物线C ：2
2y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．4
3
- B ．1- C ．34-
D ．12
-
8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）
A 、
B 、、4 D 、9、已知直线l 过抛物线
C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为( )
10、已知点A(2,0),抛物线C:x 2
=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=
（ ）
A ．2:
B ．1:2
C ．1:
D ．1:3
12、以抛物线 （ ）的焦半径 为直径的圆与 轴位置关系为（ ）
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．不确定
13．已知⊙ 的圆心在抛物线
上，且⊙ 与 轴及
的准线相切，则⊙ 的方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．已知抛物线 （ ）的焦点弦 的两端点坐标分别为 ， ，则 的
值一定等于（ ）
A ．4
B ．－4
C ．
D ．
15．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A ．y 2
＝±4x B ．y 2
＝±8x C ．y 2
＝4x D ．y 2
＝8x
16． 过抛物线y 2
＝4x 焦点的直线l 的倾斜角为π3
，且l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点，那么△AOB 的面
积为________．
1、已知动圆M 与直线L ：x=1相切，与圆1)2(:2
2
=++y x C 相外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是
2、点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于
2
2
，则这样的点P 的个数为________． 练习：如图所示，点点P 在轴上运动，M 在x 轴上，N 为动点，且→
（1）求点N 的轨迹C 的方程； 题型二、定义求最值
1、抛物线
y 2
＝－x 上的点到直线3x ＋4y －8＝0的距离的最小值为________．
2、抛物线)0(22
>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p . 3、
4、
5、 已知点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线y 2
＝2x 的焦点，若点P 在抛物线上移动，当|PA |＋|PF |取得最小值时，则点P 的坐标是( )
A ．(1，2)
B ．(2,2)
C ．(2，－2)
D ．(3，6)
6．已知点P 是抛物线y 2
＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
B ．3
7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2
＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最
),0)(0,(>a a F y =+=⋅PM PN PF PM ,0
小值是( )
A ．2
B ．3
8． 已知点M 是抛物线y ＝14
x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2
＝1上，则|MA |＋|MF |的最
小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 9、
1、已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2
＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3
2已知点P 是抛物线y 2
＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A (72，4)，则
|PA |＋|PM |的最小值是( )
B ．4
D ．5
3．(2015·山西省忻州市联考)已知P 为抛物线y 2
＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2
＋(y －4)2
＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．
题型三、焦半径问题 1、过抛物线 的焦点作直线交抛物线于
，
两点，如果
，那么
长是
（ ）
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
2、过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。

3、倾斜角为60°的直线经过抛物线)0(22
p px y =的焦点F ，与抛物线交于B A ,两点（点A 在X 轴上方），则
________:=BF AF
4、设
，
是抛物线
上的不同两点，则
是弦
过焦点的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．不充分不必要条件
5、设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）
（A （B ）6 （C ）12 （D ）6、
—————
7．如图所示，过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )
8．已知 是抛物线 的焦点弦，其坐标
，
满足
，则直线
的斜
率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
9、已知 F 是抛物线2
y x = 的焦点，A ．B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为
(A)
34 (B)1 (C) 54 (D) 74
10
11设抛物线C:y 2=
4x 的
焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为 （ ）
A ．y=x-1或y=-x+1
B ．y=(X-1)或y=-(x-1)
C ．y=(x-1)或y=-(x-1)
D ．y=(x-1)或y=-(x-1)
12
13、
14、 已知以F 为焦点的抛物线x y 42
=上的两点A ，B 满足FB AF 3=，则弦AB 的中点到准线的距离为
______________________
15、已知过点A （-4,0）的动直线l 与抛物线G ：py x 22
=（p ＞0）相交于B,C 两点，当直线l 的斜率为
2
1
时，AB AC 4=，则抛物线G 的方程为__________________
16、设抛物线x y 122
=的焦点为F ，经过点P （1,0）的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且PA BP =2，则
____________2=+BF AF
例题1、O 为坐标原点，F
为抛物线2
:C y =的焦点，P 为C
上一点，若||PF =POF ∆的面积为（ ）
变式：1 已知点A （2，0），抛物线C ：x 2
=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=
:
:2 C. 1:
D. 1:3
变式2. 动圆的圆心在抛物线上，且动圆与直线相切，则动圆必过定点（ ）
练习1：过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 作直线交于A ，B 两点，若3AF =，则FB =
x y 82
=02=+x
2、过抛物线y ＝ax 2
(a>0)的焦点F 作一直交线抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mn m ＋n
等于( )
C ．2a
3、设F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA FB FC ++＝0，则||||||FA FB FC ++等于( )
4、若抛物线y 2
＝4x 的焦点是F ，准线为l ，则经过点F 、M(4,4)且与l 相切的圆共有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5、M 为抛物线2
8x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆与抛物线C 的准线相交，求M 点的纵坐标的取值范围
6、已知直线)()(02>+=k x k y 与抛物线x y C 82
=:相交于B A ,两点，F 为的焦点， 若FB FA 2=，则=k 题型四、焦点弦---------弦中点问题
例题、长为2的线段AB 的两个端点在抛物线2
y x =上滑动的，则线段AB 中点M 到y 轴的距离的最小值___________ 变式：1过抛物线2
4y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点为M （3，m ），则AB 的长度等于
练习1、过抛物线2
y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长度为4，则AB 的中点为到直线x+1=0的距离
2：已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF+BF=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离
题型五、焦点弦----------弦长问题
例、已知过抛物线y 2
＝6x 焦点的弦长为16，则此弦所在直线的倾斜角
是 。

变式1：设F 为抛物线2
3y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB 的长度为__________
变式2：设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且满足0AF BF λ+=,25
4
AB =.则直线AB 的方程为___________
变式3：过抛物线2
2y x =的焦点F 交抛物线于A ，B 两点，,25
12
AB =.。

|FA |>|FB |，则|FA |=
题型六、焦点弦---------分点问题
1、如图，过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．
2、抛物线24y x =的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于点K ，如果|AF|=|BF|，那么△AKF 的面积为
A. B.
3. 已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，
则||QF
4、已知以F 为焦点的抛物线x y 42
=上的两点A 、B 满足FB AF 3=,则弦AB 的中点到准线的距离为___________. 5、过抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分
别交于
A 、
B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF |
|FB |＝________.
知识点二、抛物线的方程及几何性质
1、如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.
2、设抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )
A ．y 2
＝4x 或y 2
＝8x B ．y 2
＝2x 或y 2
＝8x C ．y 2
＝4x 或y 2
＝16x D ．y 2
＝2x 或y 2
＝16x
3、抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2
＋y 2
＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
练习1、抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )
A ．y 2
＝6x B ．y 2
＝8x C ．y 2＝16x
D ．y 2
＝152
x
练习2、已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2
＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O
为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )
A ．1 C ．2 D ．3
练习3、已知等边△ABF 的顶点F 是抛物线C 1：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，顶点B 在抛物线的准线l 上且AB ⊥l ，则点A 的位置( )
A ．在C 1开口内
B ．在
C 1上 C ．在C 1开口外
D ．与p 值有关
已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )
C ．3
D ．2
知识点三、直线与抛物线位置关系 题型一、位置关系判断及交点问题
例．已知抛物线y 2
=–x 与直线y =k (x + 1)相交于A 、B 两点，则△AOB 的形状是
变式：已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，直线y=2x-4与抛物线交于A ，B 两点，则cos ∠AFB=
题型二、中点弦问题
1、、已知抛物线()022
>=p px y ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐
标为2，则该抛物线的准线方程为
（A ） (B) (C) (D)
1x =1x =-2x =2x =-
练习．已知抛物线y 2
=6x , 过点P(4, 1)引一弦，使它恰在点P 被平分，这条弦所在的直线l 的方程为 。

.
题型三、对称问题
、抛物线2
2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线
m x y +=对称，且2
121-=⋅x x ，则m 等于（ ）
A ．
23 B ．2 C ．2
5
D ．3 变式：已知双曲线2
2
13
y x -=上存在两点M ，N 关于直线m x y +=
对称，且MN 的中点在抛物线218y x =上，
则实数m 的值__________
题型四 抛物线综合题型
1、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162
=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）
()A ()B ()C 4 ()D 8
2、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与抛物线2
2(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐
近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为
A.3、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为
12
，E 的右焦点与抛物线2
:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )
（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
4、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M,若在
点M 处的切线平行于的一条渐近线,则= （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5、
6、
7、_________
8、
9、
10、
11、已知
，
是抛物线
上两点，
为坐标原点，若
，且
的垂心恰好
是此抛物线的焦点，则直线
的方程是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
12、已知抛物线2
:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则
k =
（ ）
A ．
12
B C D ．2
13、
14、已知是抛物线
的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原
点），则
与
面积之和的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
课后练习
1. 是任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（ ）
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 圆 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B.
C. D. 3、设抛物线y 2
＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为_____ ___．
4、已知抛物线焦点坐标为F （a ，0），则抛物线方程
5．(2015·衡水中学调研)已知等边△ABF 的顶点F 是抛物线C 1：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，顶点B 在抛物线的准线l 上且AB ⊥l ，则点A 的位置( )
A ．在C 1开口内
B ．在
C 1上 C ．在C 1开口外
D ．与p 值有关
6【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知抛物线2
:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A B 、两点，若0MA MB •=，则k =（ ）
A ．
1
2
B ．22
C ．2
D ．2
7、已知M (a,2)是抛物线y 2
＝2x 上的一定点，直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P 、Q 两点，则
直线PQ 的斜率为 ( )
A ．－14
B ．－12
8.【2013年2013年普通高等学校统一考试天津卷理
科
】
已
知
双
曲
线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲θ4sin 2
2
=+θy x 2
8mx y =)0,81
(
m
)321,
0(m
)321
,0(m
±
)0,321
(m
±
线的离心率为2, △AOB 则p = （ ）
(A) 1
(B)
32
(C) 2 (D) 3
9【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】抛物线1C ：2
21x p
y =
(p ＞0)的焦点与双曲线2C ：13
22
=-y x 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线.则p =( )
A.
163 B.833
34
10(2012年高考安徽卷理科9)过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,则AOB ∆的面积为（ ）
11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】抛物线2
2(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线
22133
x y -=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.
12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】设F 为抛物线x y C 4:2
=的焦点，过点)0,1(-P 的直
线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q 为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线的斜率等于________.
13.(2012年高考北京卷理科12)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线
=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B
两点.其中点A 在x 轴上方。

若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为 .
14(2012年高考辽宁卷理科15)已知P ，Q 为抛物线2
2x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________.。