最新人教A版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式质量检测试卷及解析

章末质量检测(二) 一元二次函数、方程和不等式
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设M ＝2a(a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M>N B ．M ≥N C ．M<N D ．M ≤N
2．若集合A ＝{x|x 2＋2x>0}，B ＝{x|x 2＋2x －3<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x|－3<x<1} B ．{x|－3<x<－2}
C ．R
D ．{x |－3<x <－2或0<x <1}
3．若a ，b ，c ∈R 且a >b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．ac >bc B ．(a －b )c 2>0
C ．1a <1
b
D ．－2a <－2b
4．函数y ＝2x ＋2
x －1
(x >1)的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．若实数2是不等式3x －a －4<0的一个解，则a 可取的最小正整数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为y ＝－4.9t 2＋14.7t ＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )
A ．26米
B ．28米
C ．30米
D ．32米
7．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝3，b ＋c ＝5，则此三角形面积的最大值为( )
A ．3
2
B ．3
C ．7
D ．11
8．已知两个正实数x ，y 满足2x ＋1
y
＝1，并且x ＋2y ≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的取
值范围( )
A ．－2<m <4
B ．－2≤m ≤4
C ．m <－2或m >4
D ．m ≤－2或m ≥4
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列表达式的最小值为2的有( )
A ．当ab ＝1时，a ＋b
B ．当ab ＝1时，b a ＋a
b
C ．a 2－2a ＋3
D ．a 2＋2 ＋
1
a 2＋2
10．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >3}，则下列正确的是( ) A ．a <0
B ．关于x 的不等式bx ＋c >0的解集为{x |x <－6}
C ．a ＋b ＋c >0
D ．关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x ⎪
⎪x <－13或x >12 11．若a ，b ，c 为实数，下列说法正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2
C ．“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立”的充要条件是“a >0，b 2－4ac ≤0”
D ．“a <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件 12．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么( )
A ．a ＋b 有最小值2＋22
B ．a ＋b 有最大值2＋22
C ．ab 有最大值1＋2
D ．ab 有最小值3＋22
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．) 13．不等式－x 2＋2x ＋8>0的解集是________．
14．若正数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则x ＋4y 的最小值等于________．
15．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m
2a ＋b
恒成立，则m 的最大值为________．
16．已知关于x 的不等式x 2－5ax ＋2a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a
x 1x 2
的最
小值是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)在①一次函数y ＝ax ＋b 的图象过A (0，3)，B (2，7)两点，②关于x 的不等式1<ax ＋b ≤3的解集为{x |3<x ≤4}，③{1，a }⊆{a 2－2a ＋2，a －1，0}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
问题：已知________，求关于x 的不等式ax 2－3x －a >0的解集．
18.(本小题满分12分)正数x ，y 满足1x ＋9
y
＝1.
(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．
19．(本小题满分12分)甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求
1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝
⎛⎭⎫5x ＋1－3
x 元．要使生产该产品2小时获得的利润不低
于3 000元，求x 的取值范围．
20．(本小题满分12分)已知a >0，b >0且ab ＝1. (1)求a ＋2b 的最小值；
(2)若不等式x 2－2x <14a ＋9
b
恒成立，求实数x 的取值范围．
21．(本小题满分12分)
(1)比较a 2＋13与6a ＋3的大小；
(2)解关于x 的不等式x 2－(3m ＋1)x ＋2m 2＋2m ≤0.
22．(本小题满分12分)2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产．某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革
新和营销策略改革，并将定价提高到x 元．公司拟投入1
6
()x 2－600 万元作为技改费用，投
入50万元作为固定宣传费用，投入1
5
x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销
售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
1．解析：M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋3
4
>0，∴M >N . 故选A. 答案：A 2．解析：A ＝{x |x 2＋2x >0}＝{x |x <－2或x >0}，B ＝{x |x 2＋2x －3<0}＝{x |－3<x <1}，∴A ∩B ＝{x |－3<x <－2或0<x <1}．
故选D. 答案：D
3．解析：∵a ，b ，c ∈R 且a >b ，∴取c ＝0，可排除A ，B ；取a ＝1，b ＝－1可排除C.由不等式的性质知当a >b 时，－2a <－2b ，故D 正确．
答案：D
4．解析：因为y ＝2x ＋2
x －1
(x >1)，
＝2(x －1)＋2x －1＋2≥22(x －1)·2x －1＋2＝6，当且仅当2(x －1)＝2
x －1
即x ＝2时取等
号，此时取得最小值6.故选C.
答案：C
5．解析：∵实数2是不等式3x －a －4<0的一个解， ∴代入得：6－a －4<0，解得a >2， ∴a 可取的最小整数是3.故选C. 答案：C
6．解析：∵y ＝－4.9t 2＋14.7t ＋17，
∴烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为t ＝－14.7
2×(－4.9)
＝1.5，
此时y ＝－4.9×1.52＋14.7×1.5＋17≈28， 故选B. 答案：B
7．解析：由题意p ＝1
2
(3＋5)＝4
S ＝4(4－a )(4－b )(4－c )＝4(4－b )(4－c )
＝4(bc －4)≤ 4×⎝⎛⎭⎫b ＋c 22
－16＝9＝3， 当且仅当4－b ＝4－c ，即b ＝c 时等号成立﹐ ∴此三角形面积的最大值为3. 故选B. 答案：B
8．解析：因为x ＋2y ≥m 2－2m 恒成立，则m 2－2m ≤(x ＋2y )min ，
x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ×x y ＝4＋2×2＝8， 当且仅当⎩
⎨⎧
4y x ＝x y 2x ＋1y
＝1即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4
y ＝2时等号成立，
所以x ＋2y 的最小值为8，
所以m 2－2m ≤8，即()m －4()m ＋2≤0， 解得：－2≤m ≤4， 故选B. 答案：B
9．解析：对选项A ，当a ，b 均为负值时，a ＋b <0，故最小值不为2；
对选项B ，因为ab ＝1，所以a ，b 同号，所以b a >0，a b >0，b a ＋a b ≥2b a ·a
b
＝2，当且仅当
b a ＝a
b
，即a ＝b ＝±1时取等号，故最小值为2； 对选项C ，a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2，当a ＝1时，取最小值2；
对选项D ，a 2＋2＋1a 2＋2≥2a 2＋2·1a 2＋2＝2，当且仅当a 2＋2＝1
a 2＋2
，即
a 2
＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2.故选BC.
答案：BC
10．解析：由已知可得a <0且－2,3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，A 正确，
则由根与系数的关系可得：⎩
⎨⎧
－2＋3＝－
b
a
－2×3＝
c
a
，解得b ＝－a ，c ＝－6a ，
则不等式bx ＋c >0可化为：－ax －6a >0，即x ＋6>0，所以x >－6，B 错误， a ＋b ＋c ＝a －a －6a ＝－6a >0，C 正确，
不等式cx 2－bx ＋a >0可化为：－6ax 2＋ax ＋a >0，即6x 2－x －1>0，
解得x >12或x <－1
3
，D 正确，
故选ACD. 答案：ACD
11．解析：A 选项，若a >b ，c ＝0，则ac 2＝bc 2，A 错；
B 选项，若a <b <0，则a 2>ab ，ab >b 2，即a 2>ab >b 2，B 正确；
C 选项，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0不一定是一元二次不等式，所以不能推出a >0；由a >0，b 2－4ac ≤0，可得出不等式ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，所以“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立”的充要条件不是“a >0，b 2－4ac ≤0”，C 错；
D 选项，若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0有两个异号的实根，则⎩
⎪⎨⎪
⎧
a <0Δ＝1－4a >0，即a <0，
因此“a <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件，D 正确．
故选BD. 答案：BD
12．解析：由ab －(a ＋b )＝1得：ab ＝1＋(a ＋b )≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
(当且仅当a ＝b >1时取等号)， 即()a ＋b 2－4(a ＋b )－4≥0且a ＋b >2，解得：a ＋b ≥2＋22， ∴a ＋b 有最小值2＋22，知A 正确；
由ab －(a ＋b )＝1得：ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b >1时取等号)， 即ab －2ab －1≥0且ab >1，解得：ab ≥3＋22， ∴ab 有最小值3＋22，知D 正确． 故选AD. 答案：AD
13．解析：不等式－x 2＋2x ＋8>0等价于x 2－2x －8<0 由于方程x 2－2x －8＝0的解为：x ＝－2或x ＝4
所以－2<x <4.
答案：{x |－2<x <4}
14．解析：∵x ＋y ＝xy ，∴1x ＋1y ＝1，∴x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝5＋x y ＋4y x ≥5＋2x y ·4y x
＝9.当且仅当x y ＝4y
x
时取等号．
答案：9
15．解析：由2a ＋1b ≥m 2a ＋b 得m ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ()2a ＋b 恒成立，而⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ()2a ＋b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋2
2a b ·2b
a ＝5＋4＝9，故m ≤9，所以m 的最大值为9. 答案：9
16．解析：由于a >0，故一元二次方程x 2－5ax ＋2a 2＝0的判别式： Δ＝25a 2－4·2a 2＝17a 2>0，
由韦达定理有：⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝5a
x 1x 2
＝2a 2，则： x 1＋x 2＋a x 1x 2＝5a ＋a 2a 2＝5a ＋12a ≥25a ×1
2a
＝10，
当且仅当5a ＝12a ，a ＝10
10
时等号成立．
综上可得：x 1＋x 2＋a
x 1x 2
的最小值是10.
答案：10
17．解析：若选①，由题得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，2a ＋b ＝7，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝3.将a ＝2代入所求不等式整理得：
(x －2)(2x ＋1)>0，解得x >2或x <－1
2，故原不等式的解集为：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x <－12或x >2. 若选②，因为不等式1<ax ＋b ≤3的解集为{x |3<x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1，4a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－5.
将a ＝2代入不等式整理得(x －2)(2x ＋1)>0，解得x >2或x <－1
2
，故原不等式的解集为：
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x <－1
2或x >2.
若选③，若1＝a 2－2a ＋2，解得a ＝1，不符合条件；若1＝a －1，解得a ＝2，则a 2－
2a ＋2＝2符合条件．将a ＝2代入不等式整理得(x －2)(2x ＋1)>0，解得x >2或x <－1
2
，故原
不等式的解集为：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x <－12或x >2. 18．解析：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9
y
，即y ＝9x ＝18时取等号，
故xy 的最小值为36.
(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9x y
＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x
y
，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 19．解析：根据题意，要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，
得2×100×⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3
x
≥0，即5x 2－14x －3≥0， 解得x ≥3或x ≤－1
5
，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.
20．解析：(1)∵a >0，b >0且ab ＝1， ∴a ＋2b ≥22ab ＝22，
当且仅当a ＝2b ＝2时，等号成立，故a ＋2b 的最小值为2 2. (2)∵a >0，b >0且ab ＝1， ∴14a ＋9b ≥294ab ＝3，当且仅当14a ＝9b ，且ab ＝1，即a ＝16，b ＝6时，取等号， 即14a ＋9
b
的最小值为3， ∴x 2－2x <3，即x 2－2x －3<0，解得－1<x <3， 即实数x 的取值范围是{}x |－1<x <3.
21．解析：(1)a 2＋13－()6a ＋3＝a 2－6a ＋10＝()a －32＋1， 因为()a －32≥0，所以()a －32＋1≥1>0， 即a 2＋13>6a ＋3.
(2)x 2－()3m ＋1x ＋2m 2＋2m ＝()x －2m ()x －m －1.
当2m <m ＋1，即m <1时，解原不等式，可得2m ≤x ≤m ＋1； 当2m ＝m ＋1，即m ＝1时，解原不等式，可得x ＝2；
当2m >m ＋1，即m >1时，解原不等式，可得m ＋1≤x ≤2m . 综上所述，当m <1时，原不等式的解集为{}x |2m ≤x ≤m ＋1； 当m ＝1时，原不等式的解集为{2}；
当m >1时，原不等式的解集为{}x |m ＋1≤x ≤2m . 22．解析：(1)设每件定价为t 元，
依题意得⎝⎛⎭
⎫8－t －25
1×0.2t ≥25×8，
整理得t 2－65t ＋1000≤0，解得25≤t ≤40
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意知当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16()x 2－600＋1
5
x 成立
等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋1
5
有解，
由于150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10，
当且仅当150x ＝x
6
，即x ＝30时等号成立，
所以a ≥10.2
当该商品改革后销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。