基于MATLAB实现FIR数字滤波器

科学技术学院
NANCHANG UNIVERSITY COLLEGE OF
SCIENCE AND TECHNOLOGY
学士学位论文
THESIS OF BACHELOR
（2005— 2009 年）
题目：基于MATLAB实现FIR数字滤波器
学科部：信息学科部
专业：电子信息工程
班级：05电信（4）班
学号：7020905167
学生姓名：黎春涛
指导教师：谢芳娟
起讫日期：
目录
摘要 (I)
ABSTRACT (II)
第一章引言 (1)
1.1 选题背景及意义 (1)
1.2 MA TLAB概述 (1)
1.3 滤波器的发展与现状 (1)
1.4 滤波器的分类 (1)
第二章FIR数字滤波器的概述 (3)
2.1 FIR数字滤波器的概述 (3)
2.2 FIR数字滤波器的特点 (3)
2.3 FIR数字滤波器的优点 (3)
2.4 FIR数字滤波器的缺点 (4)
第三章FIR数字滤波器设计 (5)
3.1 FIR数字滤波器的设计方法 (5)
3.2 设计方法的选择 (5)
3.2.1 窗函数法 (5)
3.2.2 频率采样法 (5)
3.2.3 等波纹逼近法 (5)
3.2.4 方法比较 (6)
3.3 滤波器阶数对切比雪夫滤波器的影响 (6)
第四章切比雪夫实现FIR数字滤波器 (8)
4.1 切比雪夫等波纹逼近准则 (8)
4.2 等波纹最优化设计 (8)
4.3 MA TLAB程序设计 (8)
第五章结束语 (13)
参考文献 (14)
致谢 (15)
基于MATLAB实现FIR数字滤波器专业：电子信息工程学号：7020905167 学生姓名：黎春涛指导教师：谢芳娟
摘要：数字滤波是语音和图象处理、模式识别、频谱分析等应用中的一个基本处理算法，数字滤波技术是数字信号处理的一个重要组成部分。

从实现的网络方式上分为无限脉冲响应（IIR）滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。

MA TLAB软件在多个研究领域都有着广泛的应用。

传统的数字滤波器的设计过程复杂，计算工作量大，滤波特性调整困难，影响了它的应用。

利用matlab强大的计算功能进行计算机辅助设计，可以快速有效的设计数字滤波器，大大的简化了计算量，直观简便。

在实现方式上，切比雪夫法克服了窗函数和频率采样法的缺点，是FIR滤波器的最优化设计方法。

本文利用切比雪夫等波纹逼近法设计一个数字FIR低通滤波器，并用MA TLAB软件进行了仿真实现。

实验结果表明用切比雪夫等波纹法设计出来的滤波器阶数N要比频率采样法和窗函数法要小的多。

这可以大大简化滤波器的设计结构，节省设计成本也相应减少了滤波器的运行时间。

关键词：无限脉冲，有限脉冲，matlab，切比雪夫
The Realize Of FIR Digital Filter Based on MATLAB
ABSTRACT: Digital filter is the voice and image processing, pattern recognition, spectral analysis applications such as a basic processing algorithms, digital filtering digital signal processing technology is an important part. From the way the realization of the network is divided into infinite impulse response (IIR) filter and finite impulse response (FIR) filter. MATLAB software in various fields of study has a wide range of applications. Traditional digital filter design process complexity, computing workload and filtering properties adjustment difficulties, and adversely affect its application. Matlab calculated using powerful computer-aided design features, you can quickly and efficiently design of digital filter, greatly simplifying the calculation of the amount of intuitive easy.
In the realization of the way, Chebyshev method to overcome the window function and frequency of sampling shortcomings, is the optimal FIR filter design methods.
Key words: infinite impulse, finite impulse, matlab, Chebyshev
第一章引言
1.1 选题背景及意义
数字信号处理技术在各类电子产品和电子系统中的地位与作用日趋重要，以前用模拟技术进行处理或者以往根本无法进行数字处理的问题，都可以进行数字处理了。

数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。

信息是通过各种各样的信号传递的，携带着不同信息的不同信号之间可能相互叠加，并且信号在传递过程中不可避免地受到噪声的干扰。

因此，如何采用数字方法从嘈杂的信号中提取所需信号，是数字信号处理的基本任务，即数字信号处理是对信号进行提取、存储、变换、滤波、估值、增强、压缩、识别等处理。

滤波器的作用是除去不需要的背景噪声、消除干扰、频带划分、信号频谱成形。

数字滤波器得到了飞速的发展，实际上，语音处理设备、图像处理设备和数字通信系统等各种系统中都使用数字滤波器[1]。

1.2 MA TLAB概述
MATLAB是由美国Mathworks公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算系统环境。

MATLAB是英文MATrix LABoratory（矩阵实验室）的缩写。

在MATLAB环境下，用户可以集成地进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文件管理等各项操作。

MATLAB软件以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计有机的融合到了一个简单易学的交互式工作环境中。

Matlab系统由Matlab内核和其辅助工具箱组成。

Matlab内核是由大量的内部函数及用户自定义的函数组成。

通过对这些函数的调用，可以简便的处理具体的技术问题。

Matlab的主要功能有：强大的数值运算功能；数据可视化功能；动态系统仿真；数据处理；数学计算；数字信号处理及与外部应用程序进行动态链接等[2]。

1.3 滤波器的发展与现状
1917年美国和德国科学家分别发明了LC滤波器，次年导致了美国第一个多路复用系统的出现。

50年代无源滤波器日趋成熟。

自60年代起由于计算机技术、集成工艺和材料工业的发展，滤波器发展上了一个新台阶，并且朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉方向努力，其中小体积、多功能、高精度、稳定可靠成为70年代以后的主攻方向，导致RC有源滤波器、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种滤波器的飞速发展。

到70年代后期，上述几种滤波器的单片集成被研制出来并得到应用。

80年代致力于各类新型滤波器性能提高的研究并逐渐扩大应用范围。

90年代至今在主要致力于把各类滤波器应用于各类产品的开发和研制[3]。

当然，对滤波器本身的研究仍在不断进行。

1.4 滤波器的分类
数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。

IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。

这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。

IIR数字滤波器的优点是可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。

其缺点是相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本也高。

FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程
实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。

FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。

数字滤波器的设计方法有多种，随着MA TLAB软件尤其是MA TLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。

第二章 FIR 数字滤波器的概述
2.1 FIR 数字滤波器的概述
所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。

数字滤波器从功能上分为分为低通，高通，带通，带阻滤波器。

从实现的网络方式上分为无限脉冲响应（IIR ）滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。

有限脉冲响应( FIR) 数字滤波器的传输函数为[4]
：
∑-=-=10)()(N n n z
n h z H （2.1）
其单位脉冲响应就是系统传输函数的各项系数。

2.2 FIR 数字滤波器的特点
1）时域特点
A 类：()()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=-=--=21
21,1N N n n h n N h n h ωωθ偶对称关于 （2.2）
B 类：()()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---=-=---=21221,1N N n n h n N h n h ωπωθ奇对称关于 （2.3） A 类和B 类线性相位特性统称为恒定群时延特性。

B 类滤波器，对任何频率都有一固定的π/2相移，不适合用以做高通和组带滤波器，一般微分器及90°相移器采用这种情况，而选频性滤波器则用A 类情况[5]。

2）频域特点
A 类：N 为奇数（情况1）：()ωg H 关于ππω2,,0=三点偶对称。

N 为偶数（情况2）：()ωg H 关于πω=奇对称（()0=πg H ）。

B 类：N 为奇数（情况3）：()ωg H 关于ππω2,,0=三点奇对称。

N 为偶数（情况4）：()ωg H 关于πω2,0=奇对称，关于πω=偶对称
这里的()ωg H 是振幅响应函数，而不是幅度响应函数。

这个振幅响应是一个实函数，但不
像振幅响应总是正的，振幅响应可以是正的，也可以是负的实数。

与幅度响应有关的相位响应是一个不连续性函数，而与振幅响应有关的相位响应则是一个连续性函数。

2.3 FIR 数字滤波器的优点
（1）可以在设计任意幅度频率特性滤波器的同时，保证精确、严格的线性特性；
（2）FIR数字滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长的，可以用一个因果系统来实现，因而FIR数字滤波器可以做成既是因果又是稳定的系统；
（3）允许设计多通带（或多阻带）滤波器。

2.4 FIR数字滤波器的缺点
FIR滤波器的缺点在于：对于相同的设计指标，FIR滤波器所要求的阶数比IIR滤波器高2～5倍，信号的延迟偏大。

考虑到用高性能的DSP或FPGA来实现，由于其处理速度快，此缺点是可以避免的。

第三章 FIR 数字滤波器设计
3.1 FIR 数字滤波器的设计方法
对FIR 数字滤波器的设计，常用的有三种方法。

分别是窗函数法，频率采样法和切比雪夫法。

窗函数法也称为傅氏级数法。

常用的窗函数有矩形窗，三角形窗，汉宁窗，哈明窗，布莱克曼窗。

一个有限长的序列，如果满足频域采样定理的条件，可以通过频谱的有限个采样点的值准确的恢复。

频率采样法就是采用这种思想来设计FIR 数字滤波器的。

切比雪夫法是一种等波纹逼近法，它使误差在整个频带均匀分布。

3.2 设计方法的选择
设计FIR 滤波器的常用方法有窗函数法，频率采样法和等波纹逼近法（切比雪夫法）。

各有优缺点，在实际中，根据不同的条件可以选择不同的方法来设计滤波器。

3.2.1 窗函数法
窗函数的理论根据。

窗函数设计滤波器的基本思想，就是根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器的阶数N 和合适的窗函数)(n ω。

即用一个有限长度的窗口函数序列)(n ω来截取一个无限长的序列)(n h d 获得一个有限长序列)(n h ，即)(n h =)(n ω*)(n h d ，并且要满
足以下两个条件：
（1）窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；
（2）尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，使峰肩和纹波减小，就可增多阻带的衰减[5]。

这就给窗函数序列的形状和长度选择提出了严格的要求。

通常以上几种难以同时达到，实际中选用的窗函数往往是它们的折中。

表3.1给出了五个窗函数的参数。

表3.1 窗函数的特征
窗类型
旁瓣峰值/dB 主瓣宽度/π/M 最小阻带衰减/dB 矩形窗
13 4 21 三角窗
25 8 25 汉宁窗
31 8 44 海明窗
41 8 53 凯瑟窗
57 12 74 3.2.2 频率采样法
频率采样法先对理想频响)(ωj d e H 采样,得到样值H(k),再利用插值公式直接求出系统
转换函数H(z),以便实现;或者求出频响)(ωj e
H ,以便与理想频响进行比较。

在[0,2π]区间上对)(ωj d e H 进行N 点采样,等效于时域以N 为周期延拓。

3.2.3 等波纹逼近法
等波纹切比雪夫逼近准则就是通过对通带和阻带使用不同的加权函数，实现在不同频段(通常指的是通带和阻带)的加权误差最大值相同，从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值。

3.2.4 方法比较
窗函数法和频率采样法设计FIR 数字滤波器都是比较有效的，同时它们都有固有的缺点。

窗函数法不容易设计预定给出截止频率的滤波器，也不能解决当滤波器的阶次N 给定时，怎样设计一个最佳的FIR 数字滤波器的问题。

用有限序列去代替无限长序列,肯定会引起误差,表现在频域就是通常所说的吉布斯(Gibbs)效应。

频率采样法是一种优化设计方法，但是在进行优化设计时所使用的变量仅限于过渡带上的几个采样值，因而它不是最优设计。

从FIR 数字滤波器的系统函数可以看出，极点都是在Z 平面的原点，而零点的分布是任意的。

不同的分布将对应不同的频率响应，最优设计实际上就是调节这些零点的分布，使得实际滤波器的频率响应和理想滤波器的频率响应之间的最大绝对误差最小[6]。

切比雪夫逼近法正是利用这种思想进行FIR 数字滤波器设计的。

这种设计方法由于是在一致意义上对理想滤波器的频率响应作最佳逼近，因而获得了较好的通带和阻带性能，并能准确的指定通带和阻带的边缘，是一种更有效的设计方法。

所以本次论文选取了切比雪夫法来设计FIR 数字滤波器。

3.3 滤波器阶数对切比雪夫滤波器的影响
在相同的条件下，用不同的方法如果可以降低滤波器的阶数，可以降低滤波器的设计成本和运行时间。

N 即是通带内最大值与最小值的总个数。

N 的取值将直接影响阻带衰减和通带波纹。

Kaiser 提出过一个非常简单的滤波器阶数的逼近表达式[7]： N=πωωσσ2/)(6.1413
)(log 2010p s s p -- （3.1）
由上式可以看出，一个FIR 滤波器的阶数N 与过渡带宽（p s ωω-）成反比。

并且不依赖
于过渡带的实际位置。

这表明，一个具有较宽过渡带的FIR 滤波器将较长，而一个具有较宽过渡带FIR 滤波器将较短。

这个方程另一个性质是，滤波器的长度依赖于乘积s p σσ，这意味着如果交换s p σσ和的值，滤波器的长度保持不变。

在matlab 环境下，可以清楚的比较。

下面是同一条件下不同N 值对滤波器的影响。

clc;
clear all ;
close all ;
n=0:0.01:2;
for i=1:4;
switch i
case {1}
N=2;
case {2}
N=4; case {3} N=6; case {4} N=10; end ; Rp=1;
[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp); [b,a]=zp2tf(z,p,k); [H,W]=freqs(b,a,n); magh2=(abs(H)).^2; subplot(2,2,i) plot(W,magh2); axis([0 2 0 1]); xlabel('w/wc');
ylabel('chebyshev1 /H(jw)/^2'); end
0.5
1 1.5
2
00.5
1
w/wc c h e b y s h e v 1 /H (j w )/2
N=2
00.5
1 1.52
0.5
w/wc c h e b y s h e v 1 /H (j w )/2
N=4
0.5
1 1.5
2
00.5
1w/wc
c h e b y s h e v 1 /H (j w )/2
N=6
00.5
1 1.52
0.5
w/wc
c h e b y s h e v 1 /H (j w )/2
N=10
图 3.3.1 阶数不同对切比雪夫滤波器的影响
由图可以看出，阶数N 越大，通带波纹越细，幅度下降越快，过度带宽（p s ωω-）变窄。

也就是说，滤波器的阶数越大，滤波器的性能越好。

第四章 切比雪夫实现FIR 数字滤波器
4.1 切比雪夫等波纹逼近准则
切比雪夫等波纹副近准则也称最大误差最小化准则，可表示为[8]
F
E ∈=ωωmin,)(max ， （4.1）
式中：()E ω为最大加权误差；F 为根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带或阻带．通过改变那个频率采样值(或脉冲响应h(n)值，n 为序列)，使频率响应误差在给定频带范围内，最大逼近误差达到最小．如果有2个FIR 滤波器，一个滤波器的逼近误差在频率轴上均匀分布；另一个滤波器的逼近误差非均匀分布，它在某个频率上误差最大．为使每个频率点上的逼近误差都满足给定的指标，第2个滤波器必须在有最大误差的频率点上刚好满足指标．第2个滤波器的阶数一定比第1个滤波器的阶数高．反之，若在相同的阶数条件下，逼近误差均匀分布的滤波器其最大逼近误差肯定要小于逼近误差非均匀分布的滤波器；因此逼近误差均匀分布的滤波器能用最少的阶数达到最佳化，该滤波器即为等波纹滤波器。

4.2 等波纹最优化设计
等波纹滤波器的最优化设计方法主要有2种，第1种是离散最小二乘法。

它的思路是在给定的一些离散点上，使实际的幅频特性和理想幅频特性之间的误差的平方和为最小。

第2种是最优化等波纹设计法，也称为雷米兹法或切比雪夫逼近法。

该类型滤波器幅频特性在通带和阻带上的误差峰值是均匀分布的，其误差具有等波纹特性，因而把波纹的幅度控制到最小，或在同等指标下减小它的阶次[9]。

第1种方法是连续最小的平方法的推广，容易理解，但它的指标与滤波器没有直接关联，误差平方小的滤波器不能保证没有窄而大的波纹出现，像吉布斯效应那样。

第2种方法直接控制通带波动和阻带衰减，最具针对性，是滤波器的最优化设计方法。

因此，采用MATLAB 信号处理工具箱提供的函数，运用最优化等波纹设计法实现数字FIR 滤波器的设计和仿真． 4.3 MA TLAB 程序设计
下面我们用等波纹方法，借助MATLAB 来完成一个低通滤波器的设计[14]。

设计参数为：
,
2.0πω=p
,25.0dB R p =
,3.0πω=s
dB A s 50=。

设计此滤波器的MATLAB 程序为：
clc
clear all
close all
wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=0.25;As=50;
delta1=(10^(Rp/20)-1)/(10^(Rp/20)+1);
delta2=(1+delta1)*(10^(-As/20));
[N,f,m,weights]=firpmord([wp,ws]/pi,[1,0],[delta1,delta2]); h=firpm(N,f,m,weights);
[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);
mmag=mag.^2;
figure(1)
plot(w/pi,mmag)
hold on
mag2=10*log10(mmag);
delta_w=2*pi/1000;wsi=ws/delta_w+1;
wpi=wp/delta_w;
asd=-max(db(wsi:1:length(mag)));
while asd<As
N=N+1;
h=firpm(N,f,m,weights);
[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);
delta_w=2*pi/1000;wsi=ws/delta_w+1;
wpi=wp/delta_w;
asd=-max(db(wsi:1:501));
end
M=N+1;
h=firpm(N,f,m,weights);
figure(3)
stem(h)
[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);
mmag=mag.^2;
figure(1)
plot(w/pi,mmag,'r-*')
mag2=10*log10(mmag);
figure(2) plot(w/pi,mag2) figure(4) dh=[];
dh(1:100)=real(mag(1:100))-1; dh(151:500)=real(mag(151:500)); plot(dh);
function [db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(b,a); [H,w]=freqz(b,a,1000,'whole'); H=(H(1:1:501))';w=(w(1:1:501))'; mag=abs(H);
db=20*log10((mag+eps)/max(mag)); pha=angle(H); grd=grpdelay(b,a,w); 当算
s A 时，迭代过程结束。

找到最优的N 值为47。

这个值要比采
用窗函数设计法（凯泽窗的N=61）或频率采样法（N=60）要小的多。

图4.3.1 给出了此滤波器的冲击响应。

-0.05
00.050.10.15
0.2
0.25
0.3
N
h
图4.3.1 实际脉冲响应
0.10.20.30.4
0.50.60.70.80.91
0.2
0.4
0.6
0.81.2
1.4w/pi
H (e j w )
图 4.3.2振幅响应
00.05
0.10.150.2
w/pi
H (e j w )
图 4.3.3 不同的N 的通带波纹
图4.3.2中显示，0.2π-0.3π为此低通滤波器的过渡带，符合题目所给参数要求。

图4.3.3中显示，最初算得N=42，Asd=47.8562，然后做N+1的循环，一步一步逼近s A 。

直到N=47时，Asd=51.0896>As=50，循环结束[15]。

这时我们取N=47为最优滤波器的阶数。

从图中我们可以清楚的看出，N=47的红色曲线在通带上的波纹要比N=42的波纹小，这在
低通带上通过我们所设计的方法有明显的优化。

00.10.20.30.4
0.50.60.70.80.91
w/pi
H (e j w )/d B
图 4.3.4幅度响应（单位：分贝）
此副图的纵坐标是用db 为单位的，通带上的峰值通带波纹为0.25db ，所以我们从图中看到的基本上是一条直线。

主要是看阻带上的最小衰减有没有符合要求。

图中显示约为50db ，符合题目参数要求。

第五章结束语
随着科技的发展，信号的处理将变得更加普遍和日益重要。

滤波器无疑是信号处理环节中一个不可或缺的部分。

信号的不断更新和丰富，也促使滤波器的设计必须不断的更新来接受信息时代的挑战。

眼下，各种各样，不同用途的滤波器也相继而出。

这么多滤波器可选，又有那么多的方法可选，滤波器的优化设计也将慢慢变得更为人们所关注。

本论文中讨论FIR数字滤波器的优化设计。

在常用的三种FIR数字滤波器的设计方法中，在同样的阶数下，切比雪夫等波纹优化设计可以获得最佳的频率特性和衰耗特性，具有通带和阻带平坦，过渡带窄等优点。

加上MATLAB的强大计算功能，使滤波器的设计变得更加的方便和容易。

参考文献（References）
[1] 丁玉美,高西金数字信号处理(第二版).西安电子科技大学出版社,2001
[2] 唐向宏,岳恒立,郑雪峰.MA TLAB在数字信号处理中的应用.北京：电子工业出版社,2003
[3] 郑卫国.MA TLAB程序设计与应用[M].高等教育出版社,2004
[4] 程佩青.数字信号处理教程第2版[M].北京:清华大学出版社,2002.
[5] 陈怀琛，王朝英，高西全．数字信号处理及其MA TLAB实现．北京：电子工业出版社，
1998.
[6] 刘树棠．数字信号处理（第二版）．西安：西安交通大学出版社，2008
[7] 程佩青．数字信号处理教程[M]．北京：清华大学出版社，2003
[8] 王世一．数字信号处理—使用MA TLAB．西安：西安交通大学出版社，2002
[9] 陈亚勇，等．MAllIAB信号处理详解[M]．北京：人民邮电出版社，2001．
[10] 程明,李裕能,王翔．基于MA TLAB的数字滤波器的分析[J]．武汉：武汉大学电气工程
学院，武汉：通信电源技术，2006，（23）：25~29.
[11] 岳学东，买鹏．基于MA TLAB的FIR数字滤波器最优设计[J]．郑州：中国科技信息，
2005，（8）
[12] 李阳，樊文侠．MA TLAB在数字滤波器设计中的应用[J]．西安：电子元器件运用，2007，（12）
[13] 董良威，刘龙春．线性相位数字滤波器的设计[J]．常州：常州工学院学报，2006，（2）
[14] C.C. Tseng, Design of FIR and IIR fractional order Simpson digital integrators, Signal
Process. 87 (2007) 1045–1057.
[15] J.F. Epperson, An Introduction to Numerical Methods and Analysis, Wiley, 2002.
致谢
本次论文的完成离不开我的导师指导和同学的帮助。

谢芳娟老师教学严谨，工作富有激情。

在论文写作期间，谢老师认真负责，并提出了许多宝贵的建议。

也让我从中学到了很多新的知识。

尤其是在MATLAB的语言编程上，让我受益匪浅。

再次感谢谢老师和所有帮助过我的同学。

黎春涛
2009-5-22。