双曲线ppt课件

题型四 直线与双曲线的位置关系
【例4】(12分)已知双曲线C: x2 y2 1(0 1) 1
的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支
于M、N两点，试确定 的范围,使 OM· ON =0,
其中点O为坐标原点. 思维启迪 直线方程与双曲线方程联立，寻找 交点坐标的关系.
解 设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求 B（1，0）， ①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1， 设M（1，y0），N（1，-y0） （y0＞0）， 由 OM· ON =0，得y0=1， ∴M（1，1），N（1，-1）. 又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，
离心率e=
5 3
,渐近线方程为y=±
4 3
x.
（2）||PF1|-|PF2||=6，
cos∠F1PF2= PF1 2 PF2 2 F1 F2 2 2 PF1 PF2
( PF1 PF2 )2 2 PF1 PF2 F1F2 2 2 PF1 PF2
36 64 100 0. 64
∴∠F1PF2=90°.
思维启迪
设椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0),
双曲线方程为
x2 m2
y2 n2
1(m
0, n
0)
分别求a，b，m，n的值
利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得cos∠F1PF2
解 （1）由已知：c= 13 ,设椭圆长、短半轴长分 别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，
则a 7
4.（2009·安徽理，3）下列曲线中离心率为 6 的 2
是
（ B）
A. x2 y2 1 24
B. x2 y2 1 42
C. x2 y2 1
D. x2 y2 1
4 解析
6 ∵e=
4 10
6 ,∴e2= 3 .即
2
2
c2 a2
3. 2
∴
a2 b2 a2
3 2
.
b2 a2
1. 2
故B选项正确.
解得ba
23或ba
3 9. 2
故所求双曲线方程为 x2 y2 1或 y2 4x2 1.
94
9 81
探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方
法之一.
（1）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1有共同渐近线的双曲
线方程可表示为
x2 a2
y2 b2
t(t 0).
（2）若双曲线的渐近线方程是y=±
题型一 双曲线的定义 【例1】已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与
圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨 迹方程. 思维启迪 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解.
解 设动圆M的半径为r， 则由已知|MC1|=r+ 2 ， |MC2|=r- 2 ， ∴|MC1|-|MC2|=2 2 . 又C1（-4，0），C2（4，0）， ∴|C1C2|=8，∴2 2 ＜|C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4，0)、 C2（4，0）为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2 ，c=4， ∴b2=c2-a2=14， ∴点M的轨迹方程是 x2 y2 =1 （x≥ 2 ）.
由渐近线斜率得 b 2 或a 2 , a3b3
b 故a
2 3
a 或b
2 3
.
a2 b2 13 a2 b2 13
解得ba22
49或ba22
4 . 9
∴所求双曲线方程为
x2 y2 1或 y2 x2 1.
94
49
（3）由（2）所设方程
可得ba
2 3
或ba
2 3
,
2a 6 2a 6
94
若 ＜0，则a2=-4
,由题设2a=6,∴ =-
9， 4
所求双曲线方程为 y2 4x2 1.
9 81
故所求双曲线方程为 x2 y2 1或 y2 4x2 1.
94ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9 81
方法二 （1）由双曲线渐近线的方程y=± 2 x, 3
可设双曲线方程为 x2 y2 1 （mn＞0）. mn
有共同焦点的
双曲线方程表示为
x2 a2
y2 b2
1(b2
a2 ).
利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化
解题过程，提高解题速度.
知能迁移2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与双曲线 x2 y2 1有共同的渐近线，且过点 9 16
（-3，2 3 ）； （2）与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点
所以x1+x2=
2k 2 (1 ) , (1 )k 2
x1x2= (1 )(k 2 ) ,
(1 )k 2 于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=
k 22 (1
)k
2
,
8分 10分
因为 OM · ON =0,且M、N在双曲线右支上，
x1x2 所以x1
x1x2
y1 y2 x2 0 0
x，
可设双曲线方程为 x2 y2 ( 0).
94
（1）∵双曲线过点P（ 6 ，2），
6 4 , 1,
94
3
故所求双曲线方程为 3 y2 1 x2 1. 43
（2）若 ＞0，则a2=9 ,b2=4 .
c2=a2+b2=13 .
由题设2c=2 13 ,∴ =1,
所求双曲线方程为 x2 y2 1. 94
知能迁移3 已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
（1）求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线
方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双
曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
解 （1）由16x2-9y2=144,得 x2 y2 1, 9 16
∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5，0),F2(5，0),
∵双曲线过点P（ 6 ，2），∴m＜0,n＜0.
又渐近线斜率k=± 2 , 3
m6 nn4 m
1 ,
2 3
解得nm343,
故所求双曲线方程为 3 y2 1 x2 1. 43
（2）设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1或ay22
x2 b2
1(a
0, b
0).
∵c2=a2+b2，∴13=a2+b2,
题型二 双曲线的标准方程
【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
（1）若双曲线经过P（ 6 ,2）,求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是2 13 ，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.
思维启迪 用定义法或待定系数法求方程.
解
方法一
由双曲线的渐近线方程y=±
2 3
若 ＜0，则a2=-4 ,b2=-9 ,c2=a2+b2=-13 .
由2c=2 13 ,∴ =-1,
所求双曲线方程为 y2 x2 1. 49
所求双曲线方程为 x2 y2 1或 y2 x2 1.
94
49
（3）若 ＞0，则a2=9 ,由题设2a=6,∴ =1.
所求双曲线方程为 x2 y2 1,
2
，2）,∴
(3 2)2 a2
4 b2
1.
又∵a2+b2=（2 5）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为 x2 y2 1. 12 8
题型三 双曲线的性质 【例3】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一
双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2 13 ， 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率 之比为3∶7. （1）求这两曲线方程； （2）若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2 的值.
16 4 （3 2 ，2）.
解 （1）设所求双曲线方程为 x2 y2 ( 0),
9 16
将点（-3,2 3 ）代入得 1 ,
4
所以双曲线方程为 x2 y2 1 ,
9 16 4
即4x2 y2 1.
94 (2)设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1.
由题意易求c=2 5 .
又双曲线过点（3
5.若m＞0,点
P
m,
5 2
在双曲线
x2 y2 1 上，则 45 13
点P到该双曲线左焦点的距离为 2 .
解析
P
m,
5 2
在双曲线 x2 y2 1上,且m＞0, 45
代入双曲线方程解得m=3,双曲线左焦点F1(-3,0),
故|PF1|=
(3 3)2
5 2
02
13. 2
题型分类 深度剖析
轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.
c2 a2 b2 (c a 0, c b 0)
基础自测 1.双曲线方程： x2 y2 1, 那么k的范围是
k 2 5k （D ）
A.k＞5
B.2＜k ＜5
C.-2＜k＜2
D.-2＜k＜2或k＞5
解析 由题意知（|k|-2）（5-k）＜0，
解得-2＜k＜2或k＞5.
1 1 1,2 1 0, 1 5 ,
1
2
因为0＜ ＜1,所以 5 1.
4分
2
②当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1).
x2
由1
y2
1,
y k(x 1)
得［ -(1- )k2］x2+2(1- )k2x-(1- )·
(k2+ )=0,
由题意知： -(1- )k2≠0,
2.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，
0），则双曲线方程为
（ ）A
A. x2 y2 1
B. x2 y2 1
4 12
12 4
C. x2 y2 1
D. x2 y2 1
10 6
6 10
解析 由题知c=4,且 c =2,∴a=2,∴b2=c2-a2=12, a
∴双曲线方程为 x2 y2 1. 4 12
3.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支
上，若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q
的周长是
（ C）
A.28
B.14-8 2 C.14+8 2 D.8 2
解析 |PF2|+|PQ|+|QF2|
=（2a+|PF1|）+|PQ|+（2a+|QF1|）
=4a+2|PQ|=8 2 +14.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
图形
范围 对称性
顶点 性质 渐近线
离心率
实虚轴
a、b、c的关系
x a或x a, y R x R, y a或y a
对称轴：坐标轴
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
m4 13 3 a
13, m
解得a=7,m=3.∴b=6，n=2.
∴椭圆方程为 x2 y2 1,双曲线方程为 x2 y2 1.
49 36
94
（2）不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象
限的一个交点，则|PF1|+|PF2|=14，
|PF1|-|PF2|=6,
所以|PF1|=10，|PF2|=4.
2 14
探究提高 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几 何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数 法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量,提高 解题速度与质量.在运用双曲线的定义时,应特别 注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨 迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一 支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.
知能迁移1 已知点P是
双曲线
x2 a2
y2 b2
=1上除顶点外
的任意一点，F1、F2分别为左、
右焦点，c为半焦距，△PF1F2
的内切圆与F1F2切于点M，则
|F1M|·|F2M|=
.
解析 根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等, |F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=2a， 又|F1M|+|F2M|=2c，解得|F1M|=a+c， |F2M|=c-a，从而|F1M|·|F2M|=c2-a2=b2. 答案 b2
b
x,
a
则双曲线的方程可表示为
x2 a2
y2 b2
t(t 0);
（3）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1共焦点的双曲线方程可
表示为
x2 a2 k
y2 b2
k
1(b2
k
a2 );
（4）过两个已知点的双曲线的标准方程表示为
x2 y2 1(mn 0);
mn
（5）与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
又|F1F2|=2 13 ∴cos∠F1PF2=
， PF1
2
PF2
2
F1 F2
2
2 PF1 PF2
102 42 (2 13)2 4.
210 4
5
探究提高 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚
半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要 内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e= c
a 是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的 一个关系式，利用b2=c2-a2消去b，然后变形求e， 并且需注意e＞1.
对称中心：原点
顶点坐标：
顶点坐标：
A1（-a,0）,A2(a,0) A1（0,-a）,A2(0,a)
ybx a
yax b
e c , e (1,),其中c a2 b2 a
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长
|A1A2|=2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，
它的长|B1B2|=2b；a叫做双曲线的实半