六年级奥数 乘法和加法原理

第26讲乘法和加法原理
一、知识要点
在做一件事情时, 要分几步完成, 而在完成每一步时又有几种不同的方法, 要知道完成这件事一共有多少种方法, 就用乘法原理来解决. 做一件事时有几类不同的方法, 而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决.
二、精讲精练
【例题1】由数字0, 1, 2, 3组成三位数, 问：
①可组成多少个不相等的三位数？
②可组成多少个没有重复数字的三位数？
在确定组成三位数的过程中, 应该一位一位地去确定, 所以每个问题都可以分三个步骤来完成.
①要求组成不相等的三位数, 所以数字可以重复使用. 百位上不能取0, 故有3种不同的取法：十位上有4种取法, 个位上也有4种取法, 由乘法原理共可组成3×4×4=48个不相等的三位数.
②要求组成的三位数没有重复数字, 百位上不能取0, 有三种不同的取法, 十位上有三种不同的取法, 个位上有两种不同的取法, 由乘法原理共可组成3×3×2=18个没有重复数字的三位数.
练习1：
1、有数字1, 2, 3, 4, 5, 6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？
2、在自然数中, 用两位数做被减数, 一位数做减数, 共可组成多少个不同的减法算式？
3、由数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 可组成多少个：
①三位数；
②三位偶数；
③没有重复数字的三位偶数；
④百位是8的没有重复数字的三位数；
⑤百位是8的没有重复数字的三位偶数.
【例题2】有两个相同的正方体, 每个正方体的六个面上分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6. 将两个正方体放在桌面上, 向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
要使两个数字之和为偶数, 就需要这两个数字的奇、偶性相同, 即两个数字同为奇数或偶数. 所以, 需要分两大类来考虑：
两个正方体向上一面同为奇数的共有3×3=9（种）不同的情形；
两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3=9（种）不同的情形；
两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形.
练习2：
1、在1—1000的自然数中, 一共有多少个数字1？
2、在1—500的自然数中, 不含数字0和1的数有多少个？
3、十把钥匙开十把锁, 但不知道哪把钥匙开哪把锁, 问最多试开多少次, 就能把锁和钥匙配起来？
4、由数字0, 1, 2, 3, 4可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
【例题3】书架上层有6本不同的数学书, 下层有5本不同的语文书, 若任意从书架上取一本数学书和一本语文书, 有多少种不同的取法？
从书架上任取一本数学书和一本语文书, 可分两个步骤完成, 第一步先取数学书, 有6种不同的方法, 而这6种的每一种取出后, 第二步再取语文书, 又有5种不同的取法, 这样共有6个5种取法, 应用乘法计算6×5=30（种）, 有30种不同的取法.
练习3：
1、商店里有5种不同的儿童上衣, 4种不同的裙子, 妈妈准备为女儿买上衣一件和裙子一条组成一套, 共有多少种不同的选法？
2、小明家到学校共有5条路可走, 从学校到少年宫共有3条路可走. 小明从家出发, 经过学校然后到少年宫, 共有多少种不同的走法？
3、张师傅到食堂吃饭, 主食有2种, 副食有6种, 主、副食各选一种, 他有几种不同的选法？
【例题4】在2, 3, 5, 7, 9这五个数字中, 选出四个数字, 组成被3除余2的四位数, 这样的四位数有多少个？
从五个数字中选出四个数字, 即五个数字中要去掉一个数字, 由于原来五个数字相加的和除以3余2, 所以去掉的数字只能是3或9.
去掉的数字为3时, 即选2, 5, 7, 9四个数字, 能排出4×3×2×1=24（个）符合要求的数, 去掉的数字为9时也能排出24个符合要求得数, 因此这样的四位数一共有24+24=48
练习4：
1、在1, 2, 3, 4, 5这五个数字中, 选出四个数字组成被3除余2的四位数, 这样的四位数有多少个？
2、在1, 2, 3, 4, 5这五个数字中, 选出四个数字组成能被3整除的四位数, 这样的四位数有多少个？
3、在1, 4, 5, 6, 7这五个数字中, 选出四个数字组成被3除余1的四位数, 这样的四位数有多少个？
【例题5】从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通（如图）, 小明从学校出发到少年宫（只许向东或向南行进）, 最后有多少种走法？
为了方便解答, 把图中各点用字母表示如图. 根据小明步行规则, 显然可知由A到T通过AC边上的各点和AN边上的各点只有一条路线, 通过E点有两条路线（即从B点、D点来各一条路线）, 通过H点有3条路线（即从E点来有二条路线, 从G点来有一条路线）, 这样推断可知通过任何一个交叉点的路线总数等于通过该点左边、上方的两邻接交叉点的路线的总和, 因此, 可求得通过S点有4条路线, 通过F点有3条路线……由此可见, 由A点通过T点有10条不同的路线, 所以小明从学校到少年宫最多有10种走法.
练习5：
1、从学校到图书馆有5条东西的马路和5条南北的马路相通（如图）. 李菊从学校出发步行到图书馆（只许向东或向南行进）, 最多有多少种走法？
2、某区的街道非常整齐（如图）, 从西南角A处走到东北角B处, 要求走最近的路, 一共有多少种不同的走法？
3、如图有6个点, 9条线段, 一只小虫从A点出发, 要沿着某几条线段爬到F点. 行进中, 同一个点或同一条线段只能经过一次, 这只小虫最多有多少种不同的走法？
面积计算
一、知识要点
计算平面图形的面积时, 有些问题乍一看, 在已知条件与所求问题之间找不到任何联系, 会使你感到无从下手. 这时, 如果我们能认真观察图形, 分析、研究已知条件, 并加以深化, 再运用我们已有的基本几何知识, 适当添加辅助线, 搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”, 就会使你顺利达到目的. 有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征, 添
加一些辅助线, 运用平移旋转、剪拼组合等方法, 对图形进行恰当合理的变形, 再经过分析
推导, 方能寻求出解题的途径.
二、精讲精练
【例题1】已知如图, 三角形ABC的面积为8平方厘米, AE
＝ED, BD=2/3BC, 求阴影部分的面积.
练习1：
1、如图, AE＝ED, BC=3BD, S△ABC＝30平方厘米. 求阴影部分
的面积.
2、如图所示, AE=ED, DC＝1/3BD, S△ABC＝21平方厘米. 求阴影部分的面积.
3、如图所示, DE＝1/2AE, BD＝2DC, S△EBD＝5平方厘米.
求三角形ABC的面积.
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, 如图所示, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积各是多少？
练习2：
1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, （如图所示）, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积是多少？
2、已知AO＝1/3OC, 求梯形ABCD的面积（如图所示）.
【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分, 且四边形AECF的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.
练习3：
1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分, 且四边形AECG的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图）.
2、如图所示, 求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.
【例题4】如图所示, BO＝2DO, 阴影部分的面积是4平方厘米. 那么, 梯形ABCD的面
积是多少平方厘米？
练习4：
1、如图所示, 阴影部分面积是4平方厘米, OC＝2AO. 求梯形面积.
2、已知OC＝2AO, S△BOC＝14平方厘米. 求梯形的面积（如图所示）.
3、已知S△AOB＝6平方厘米. OC＝3AO, 求梯形的面积（如图所示）.
【例题5】如图所示, 长方形ADEF的面积是16, 三角形ADB的面积是3, 三角形ACF的面积是4, 求三角形ABC的面积.
练习5：
1、如图所示, 长方形ABCD的面积是20平方厘米, 三角形ADF的面积为5平方厘米, 三角形ABE的面积为7平方厘米, 求三角形AEF的面积.
2、如图所示, 长方形ABCD的面积为20平方厘米, S△ABE＝4平方厘米, S△AFD＝6平方厘米, 求三角形AEF的面积.
三、课后练习
1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米, 线段OB的长度为OD的3倍. 求梯形ABCD的
面积. （如图所示）.
2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分, 且阴影部分面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.
3、如图所示, 长方形ABCD的面积为24平方厘米, 三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米, 求三角形AEF的面积.。