2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷(文科)含详解

2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）函数y=log2的定义域是．
2．（4分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=．
3．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x+a≥0，x∈R}，B={x||x﹣1|≤3，x∈R}．若（∁U A）∩B=[﹣2，4]，则实数a的取值范围是．
4．（4分）已知等差数列{a n}（n∈N*）的公差为3，a1=﹣1，前n项和为S n，则的数值是．
5．（4分）函数f（x）=|log a x|（a＞0，且a≠1）的单调递增区间是．6．（4分）函数f（x）=﹣x2（x≤0）的反函数是f﹣1（x），则反函数的解析式是f﹣1（x）=．
7．（4分）方程log2（4x﹣3）=x+1的解x=．
8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．
9．（4分）已知x1=1﹣i（i是虚数单位，以下同）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则实数a=，b=．
10．（4分）若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是．
11．（4分）（文）已知直线l1：2x+y﹣1=0，l2：x﹣3y+5=0，则直线l1与l2的夹角的大小是．（结果用反三角函数值表示）
12．（4分）（文）已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数
z=x﹣y﹣1的最大值是．
13．（4分）（文）某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球（袋中仅有白色和黄色两种颜色的球），若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色
乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．
14．（4分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有
且只有7个不同实数根，则a+b的值是．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A．a+b≥2B．+≥2C．|+|≥2D．a2+b2＞2ab 16．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
17．（5分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by=0与圆：x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定18．（5分）（文）四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB平行于主视图投影平面）则四棱锥S﹣ABCD的体积=（）
A．24B．18C．D．8
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷
的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）（文）已知矩形ABB1A1是圆柱体的轴截面，O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．
的值；
（1）求圆柱体的侧面积S
侧
（2）若C1是半圆弧的中点，点C在半径OA上，且OC=OA，异面直线CC1与BB1所成的角为θ，求sinθ的值．
20．（14分）已知复数z1=cosx+i，z2=1﹣isinx，x∈R．
（1）求|z1﹣z2|的最小值；
（2）设z=z1•z2，记f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．试求函数g（x）的解析式．21．（12分）某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=
（1+）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；
最小，并求出其面积的最小（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S
△OAC
值．
22．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*）．（1）求a3、a5、a7的值；
（用含n的式子表示）；
（2）求a2n
﹣1
（3）（文）记b n=a2n﹣1+a2n，数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，求S n（用含n 的式子表示）．
23．（18分）（文）已知点D（1，）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，且双曲线的一条渐近线的方程是x+y=0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；
（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．
2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）函数y=log2的定义域是（﹣1，1）．
【考点】4K：对数函数的定义域．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】函数y=log2的定义域满足，由此能求出结果．
【解答】解：函数y=log2的定义域满足，
解得﹣1＜x＜1，
∴函数y=log2的定义域是（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意分式不等式的合理运用．
2．（4分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=π．
【考点】GS：二倍角的三角函数；H1：三角函数的周期性．
【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．
【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x，
∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．
故答案为：π．
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x+a≥0，x∈R}，B={x||x﹣1|≤3，x∈R}．若（∁U A）∩B=[﹣2，4]，则实数a的取值范围是a＜﹣4．
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【专题】5J：集合．
【分析】表示出A中的解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，根据A补集与B的交集确定出a的范围即可．
【解答】解：由A中的不等式解得：x≥﹣a，即A=[﹣a，+∞），
∵全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，﹣a），
由B中的不等式变形得：﹣3≤x﹣1≤3，即﹣2≤x≤4，
∴B=[﹣2，4]，
∵（∁U A）∩B=[﹣2，4]，
∴﹣a＞4，即a＜﹣4．
故答案为：a＜﹣4
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
4．（4分）已知等差数列{a n}（n∈N*）的公差为3，a1=﹣1，前n项和为S n，则的数值是2．
【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的性质求出=，由此能求出
的值．
【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）的公差为3，
a1=﹣1，前n项和为S n，
∴a n=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4，
S n=﹣n+=，
∴=，
∴==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公
式和前n项和公式的灵活运用．
5．（4分）函数f（x）=|log a x|（a＞0，且a≠1）的单调递增区间是[1，+∞）．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；4N：对数函数的图象与性质．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数的图象和性质，结合a的取值范围即可得到结论．
【解答】解：若a＞1，则f（x）=，
若0＜a＜1，则f（x）=，
∴当a＞1时，函数的单调递增区间为[1，+∞），
当0＜a＜1时，函数的单调递增区间为[1，+∞），
综上：函数的单调递增区间为[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题主要考查函数单调性的判断，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键．
6．（4分）函数f（x）=﹣x2（x≤0）的反函数是f﹣1（x），则反函数的解析式是f﹣1（x）=﹣（x≤0）．
【考点】4R：反函数．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】令y=﹣x2（x≤0），开方可得x=﹣，可得反函数．
【解答】解：∵y=﹣x2（x≤0），
∴y≤0，开方可得x=﹣，
∴f﹣1（x）=﹣，x≤0
故答案为：﹣（x≤0）
【点评】本题考查反函数，注意原函数的值域是反函数的定义域即可，属基础题．7．（4分）方程log2（4x﹣3）=x+1的解x=log23．
【考点】4H：对数的运算性质．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由已知条件推导出（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），
由此能求出结果．
【解答】解：∵log2（4x﹣3）=x+1，
∴2x+1=4x﹣3，
∴（2x）2﹣2•2x﹣3=0，
解得2x=3，或2x=﹣1（舍），
∴x=log23．
故答案为：log23．
【点评】本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．
【考点】HR：余弦定理．
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．
【解答】解：∵a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC==，
∵∠C为三角形的内角，
∴∠C=．
故答案为：
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
9．（4分）已知x1=1﹣i（i是虚数单位，以下同）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则实数a=﹣2，b=2．
【考点】A5：复数的运算．
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵x1=1﹣i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴x2=1+i也是此方程的一个虚根，
∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+i+1﹣i）=﹣2．
b=x1x2=（1+i）（1﹣i）=2．
故答案分别为：﹣2，2．
【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系，属于基础题．
10．（4分）若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是100π．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【专题】5U：球．
【分析】先确定截面圆的半径，再求球的半径，从而可得球的表面积．
【解答】解：∵截面的面积为16π，∴截面圆的半径为4，
∵球心O到平面α的距离为3，
∴球的半径为=5
∴球的表面积为4π×52=100π．
故答案为：100π
【点评】本题考查球的表面积，解题的关键是求球的半径，属于基础题．11．（4分）（文）已知直线l1：2x+y﹣1=0，l2：x﹣3y+5=0，则直线l1与l2的夹角的大小是artan7）．（结果用反三角函数值表示）
【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则由题意可得tanθ=|=7，
由此求得θ的值．
【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），
由题意可得tanθ=|=7，解得θ=arctan7，
故答案为：arctan7．
【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于中档题．
12．（4分）（文）已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数
z=x﹣y﹣1的最大值是﹣．
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x﹣y﹣1得y=x﹣1﹣z，
平移直线y=x﹣1﹣z，由图象可知当直线经过点A时，直线y=x﹣1﹣z的截距最小，此时z最大，
由，解得，
即A（），
∴z==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．13．（4分）（文）某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球（袋中仅有白色和黄色两种颜色的球），若从袋中随机摸一个乒乓球，得到
的球是白色乒乓球的概率是，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】5I：概率与统计．
【分析】由题意可得袋子中共有2个白色球和5个黄色球，故一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是，计算求得结果．【解答】解：由题意可得从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，得到的球是黄色乒乓球的概率是，
故袋子中共有2个白色球和5个黄色球，
∴一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题．
14．（4分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有
且只有7个不同实数根，则a+b的值是﹣1．
【考点】5B：分段函数的应用．
【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．
【分析】确定函数f（x）的性质，可得关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则方程t2+at+b=0必有两个根x1，x2，其中x1=1，x2∈（，1），即可得出结论．
【解答】解：由题意，f（x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2]上是减函数，在[﹣2，0]和[2，+∞）上是增函数，
∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值，|x|≥16时，f（x）≥1，
∴关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则方程t2+at+b=0必有两个根x1，x2，其中x1=1，x2∈（，1），
∴1+a+b=0，
∴a+b=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确确定函数的性质是关键．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A．a+b≥2B．+≥2C．|+|≥2D．a2+b2＞2ab 【考点】7F：基本不等式及其应用．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：对于A，B，没有给出a、b∈R+，因此不一定成立，故不正确；C．若，则．∴=2，当且仅当a=b时取等号；同理时也成立．因此正确．
D．∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2＞2ab不一定成立．
综上可知：只有C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了使用法则“一正二定三相等”，属于基础题．
16．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可得到结论．
【解答】解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，
当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，
∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和平面的位置关系是解决本题的关键．
17．（5分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by=0与圆：x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【专题】11：计算题；5B：直线与圆．
【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由d=r可得出直线与圆位置关系是相切．
【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2=，
∴圆心坐标为（﹣，﹣），半径r=，
∵圆心到直线ax+by=0的距离d===r，
则圆与直线的位置关系是相切．
故选：B．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
18．（5分）（文）四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB平行于主视图投影平面）则四棱锥S﹣ABCD的体积=（）
A．24B．18C．D．8
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图知四棱锥的底面矩形的长、宽分别为3、4，四棱锥的高为2，代入棱锥的体积公式计算可得答案．
【解答】解：由三视图知四棱锥的底面矩形的长、宽分别为3、4，四棱锥的高为2，
∴四棱锥的体积V=×3×4×2=8．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状
及三视图的数据所对应的几何量．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）（文）已知矩形ABB1A1是圆柱体的轴截面，O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．
的值；
（1）求圆柱体的侧面积S
侧
（2）若C1是半圆弧的中点，点C在半径OA上，且OC=OA，异面直线CC1与BB1所成的角为θ，求sinθ的值．
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
的【分析】（1）利用圆柱体的体积为32π，求出R，即可求圆柱体的侧面积S
侧值；
（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO∥BB1，因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，求出DC1=，CC1=，即可求sinθ的值．
【解答】解：（1）设圆柱的底面圆的半径为R，依据题意，有AA1=2AB=4R，∴πR2•AA1=32π，
∴R=2．
∴S
=2πR•AA1=32π．
侧
（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO∥BB1．
因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，即∠C1CD=θ．
又R=2，∠C1CD=θ，∠C1O1D=90°，
∴DC1=，CC1=．
∴sinθ==．
【点评】本题考查圆柱体的侧面积，考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．（14分）已知复数z1=cosx+i，z2=1﹣isinx，x∈R．
（1）求|z1﹣z2|的最小值；
（2）设z=z1•z2，记f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．试求函数g（x）的解析式．【考点】A5：复数的运算；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用已知条件直接求解|z1﹣z2|，得到表达式后，利用三角函数的最值求解复数的模的最小值；
（2）化简z=z1•z2，求出函数f（x）的表达式，利用图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，求出函数g（x）的图象对应的函数g（x）的解析式．
【解答】解（1）∵复数z1=cosx+i，z2=1﹣isinx，x∈R，
∴|z1﹣z2|==．
∴当sin（x﹣）=﹣1，即x=2k，k∈Z时，
|z1﹣z2|min=．
（2）∵z=z1•z2，
∴z=z1•z2=sinx+cosx+（1﹣sinxcosx）i．
f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．
∴f（x）=1﹣sinxcosx=1﹣sin2x，x∈R．．
将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后，得到的图象所对应的函数是y1=1﹣sinx．
把函数y=1﹣sinx的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数是
y=1﹣sin（x﹣）．
∴g（x）=1﹣sin（x﹣）=1+，x∈R．
【点评】本题以复数为载体，考查三角函数的化简求值，函数的图象的变换，基本知识的考查．
21．（12分）某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=
（1+）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；
（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S
△OAC
最小，并求出其面积的最小值．
【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．
【专题】12：应用题；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）由图形知，S
△BOC +S
△AOB
=S
△AOC
，代入面积公式，求出函数y的解
析式；
（2）由（1）知，函数y的解析式，求出S
△AOC
的表达式，利用基本不等式求出S△OAC最小时，x的取值以及最小面积是什么．
【解答】解：（1）结合图形可知，S
△BOC +S
△AOB
=S
△AOC
．
于是，x（1+）sin30°+y（1+）sin45°=xysin75°，解得：y=，（其中3≤x≤6）．
（2）由（1）知，y=（3≤x≤6），
因此，S
=xysin75°
△AOC
=•
=[（x﹣2）++4]
≥2+2（当且仅当x﹣2=，即x=4时，等号成立）．
最小，最小面积是（2+2）×∴当x=400米时，整个中转站的占地面积S
△OAC
104平方米．
【点评】本题考查了求函数的解析式以及利用基本不等式求函数的最值问题，解题时应根据题意，列出等量关系，求出函数的解析式，是综合题．22．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*）．（1）求a3、a5、a7的值；
（用含n的式子表示）；
（2）求a2n
﹣1
（3）（文）记b n=a2n﹣1+a2n，数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，求S n（用含n 的式子表示）．
【考点】8E：数列的求和．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）由a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*），分别令n=1，2，3可求结果；
（2）累加法：a2n+1﹣a2n﹣1=3n+（﹣1）n（n∈N*），得a2n﹣1﹣a2n﹣3=3n﹣1+（﹣1）n ﹣1，a2n
﹣a2n﹣5=3n﹣2+（﹣1）n﹣2，…a5﹣a3=32+（﹣1）2，a3﹣a1=31+（﹣1）﹣3
1，以上各式累加可得；
（3）首先根据b n=a2n﹣1+a2n，以及（2）中求出的a2n﹣1的表达式，求出数列{b n}的通项，然后求和即可．
【解答】解：（1）由题意得，a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*），∴a2=a1+（﹣1）n=0，a3=a2+31=3，a4=a3+1=4，a5=a4+32=13，
a6=a5﹣1=12，a7=a6+33=39，
∴a3、a5、a7的值分别为：3、13、39；
（2）将a2n=a2n﹣1+（﹣1）n代入a2n+1=a2n+3n（n∈N*），
得a2n+1﹣a2n﹣1=3n+（﹣1）n（n∈N*），
∴a2n
﹣a2n﹣3=3n﹣1+（﹣1）n﹣1，
﹣1
a2n﹣3﹣a2n﹣5=3n﹣2+（﹣1）n﹣2，
…
a5﹣a3=32+（﹣1）2，
a3﹣a1=31+（﹣1）1，
﹣a1=31+32+…3n﹣1+[（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）n﹣1]．以上各式累加得，a2n
﹣1
=+=﹣2
=﹣1（n∈N*）．
∴a2n
﹣1
=﹣1（n∈N*）
（3）（文）由（2）可知，a2n
﹣1
∴b n=a2n﹣1+a2n=2a2n﹣1+（﹣1）n=[﹣1]×2+（﹣1）n=3n﹣2（n∈N*）∴s n=b1+b2+b3+…+b n
=（3﹣2）+（32﹣2）+（33﹣2）+…+（3n﹣2）
=﹣2n
=.3n+1﹣2n﹣（n∈N*）．
【点评】本题考查了由数列递推式求数列通项，考查数列求和，考查学生的计算能力．
23．（18分）（文）已知点D（1，）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，且双曲线的一条渐近线的方程是x+y=0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；
（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）点D（1，）代入双曲线方程，结合且双曲线的一条渐近线的方程是x+y=0，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的方程；
（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根的判别式，即可求实数k的取值范围；
（3）存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k OA•k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．
【解答】解：（1）由题知，有
解得
因此，所求双曲线C的方程是
（2）∵直线l过点（0，1）且斜率为k，
∴直线l：y=kx+1．
代入双曲线方程得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0．
又直线l与双曲线C有两个不同交点，
∴3﹣k2≠0且△=（﹣2k）2+8（3﹣k2）＞0
解得k∈（﹣，﹣）∪（﹣，）∪（，）．
（3）设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）．
由（2）可得x1+x2=，x1x2=
又以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则k OA•k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴，解得k=±1．
又k=±1满足3﹣k2≠0且△=（﹣2k）2+8（3﹣k2）＞0，
∴所求实数k=±1．
【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．。