圆锥曲线—定点、定值专项训练题

圆锥曲线—定点、定值专项训练题
1．过抛物线y =ax 2
(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
q
p 1
1+等于 （ ）
A ．2a
B ． a 21
C ．4a
D ． a
4 【答案】C 【解析】
试题分析：y =ax 2
化为标准形式即2
1x y a =
，其焦点为（0，1
4a
）。

解答此题可利用极限（端）思想，假定PQ 垂直于抛物线的轴，将14y a =代入方程得12x a =±，即1
2p q a
==，故
q
p 1
1+=4a 。

若直接解答，方法多种，均较为复杂。

故选C 。

考点：本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质，考查直线与抛物线的位置关系。

点评：解答此题利用极限（端）思想，从而达到了化难为易，化繁为简的目的。

20．已知椭圆22
21(5)25
x y a a +
=>的两焦点分别是1F ，2F ，且∣12F F ∣=8,弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长是（ ）
A.10
B.20
C.
D.【答案】D 【解析】
试题分析：设半焦距是c ，则有2c=|12F F |=8，c=4，222
a b c =+=41，AB 2
F 的周长，只需把AB 分成1AF ，1F B
1AF +A 2F ＝2a ，B 1F +B 2F ＝2a
所以2ABF ∆的周长是D 。

考点：主要考查椭圆的定义。

点评：注意分析图形特征，正确运用椭圆定义。

此类题为常考题目。

48．P 是双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，左支上的一点，
12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．
【答案】a - 【解析】
试题分析：由已知，双曲线两焦点为12(,0)F F c (-c,0)， 。

设12PF F △的内切圆圆心为
'(,)O x y ，过'O 分别作1PF ，212,PF F F 的垂线，垂足分别为E,F,G ，
由双曲线定义平面几何知识得21212||||||||a PF PF F G FG =-=-=()()c x c x --+=
2x -，所以x a =-，即12PF F △的内切圆圆心的横坐标为a -。

考点：主要考查双曲线的定义、几何性质以及三角形内切圆的性质。

点评：本题综合考查了双曲线的定义、几何性质以及三角形内切圆的性质，是一道几何“味”十足的解析几何题，意在引导考生，注重借助于“形”解决解析几何问题。

49．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线22
1(0)x y a b a b
-=>>有相同的焦点12F F ，，
点P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ·的值为 ． 【答案】m a -
【解析】
试题分析：因为椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线22
1(0)x y a b a b
-=>>有相同的焦点
12F F ，，点P 是两条曲线的一个交点，所以由椭圆、
双曲线定义得到12||||||PF PF +=，
12||||||PF PF -
= 12|||||PF PF m a ⋅=-。

考点：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆与双曲线的定义。

点评：解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，根据椭圆和双曲线的
定义，
12||||||PF PF +=12||||||PF PF -
= 论12|||||PF PF m a ⋅=-
59．（12分）设1F ,2F 是椭圆22
194
x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P, 1F ,2F 是一个直角三角形的三个顶点且12PF PF >,求12
PF PF 的值.
【答案】7
22
或 【解析】
试题分析：由已知12PF PF >，12PF PF +=6，12F F
=
若21PF F ∠为直角，则由22
21212||PF
PF F F =+可得1143PF =，2PF =4
3
，此时，12
PF PF =
7
2
； 若21F PF ∠为直角，则由2
2
21212||PF PF F F +=可得14PF =，2PF =2，此时，
12
PF PF =2；
综上知
12
PF PF 的值为7
22
或。

考点：主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。

87．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的两个焦点12,F F 和上下两个顶点12,B B 是一个边
长为2且∠F 1B 1F 2为60的菱形的四个顶点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过右焦点F 2 ，斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE 、AF 分别交直线3x =于点M 、N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '.求证:k k '⋅为定值.
【答案】(1)22143
x y +=；（2）k k '⋅为定值34-.
【解析】
试题分析：(1)由椭圆两个焦点12,F F 和上下两个顶点12,B B 是一个边长为2且∠F 1B 1F 2为
60
的菱形的四个顶点可得2,a b ==，从而得到椭圆方程.（2）通过题目条件，将直线l 方程设出来，再将它与椭圆交点坐标设出来，即点11(,)E x y ，点22(,)F x y ，再分别表示出直线AE 、AF 的方程，令3x =，得到点M ,N ，的坐标，再利用中点坐标公式得到线段MN
的中点为P 的坐标，利用斜率公式即得到k '，通过联立直线l 与椭圆方程，用韦达定理替换
11,x y ，22,x y ，化简之后即可证明k k '⋅为定值.本题利用“设而不求”达到证明的目的，
充分利用韦达定理消去繁杂的未知数.这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段.
试题解析：(1)
由条件知2,a b ==， 2分
故所求椭圆方程为22
143
x y +=. 4分
（2）设过点(1,0)P 的直线l 方程为：(1)y k x =-，设点11(,)E x y ，点22(,)F x y ，
将直线l 方程(1)y k x =-代入椭圆C ：22
143
x y +=， 整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=， 6分
因为点P 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，0∆>恒成立，且
22121222
8412
,,4343
k k x x x x k k -+==++ 8分 直线AE 的方程为：11(2)2y y x x =
--，直线AF 的方程为：2
2(2)2
y y x x =--，令3x =，
得点11(3,
)2y M x -，22(3,)2
y N x -，所以点P 的坐标12121(3,())222y
y x x +--. 9分 直线2PF 的斜率为1
21212121()02221()31422
y y x x y
y k x x +---'==+---.
21211212122()142()4y x x y y y x x x x +-+=⋅-++1212121223()4142()4
kx x k x x k
x x x x -++=⋅
-++. 11分 将221212228412
,4343
k k x x x x k k -+==++代入上式得：
2222222
24128234134343412844244343
k k k k k k k k k k k
k k -⋅-⋅+++'=⋅=-
--+++. 所以k k '⋅为定值3
4
-. 14分
100．已知点M 是椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>上一点，12,F F 分别为C 的左右焦点
12||4F F =，01260F MF ∠=，12F MF ∆
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设(0,2)N ，过点(1,2)P --作直线l ，交椭圆C 异于N 的,A B 两点，直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k +为定值.
【答案】（Ⅰ）22
184
x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
试题分析：本题考查椭圆的定义、余弦定理及韦达定理的应用.第一问是利用三角形面积公式、余弦定理、椭圆的定义，三个方程联立，解出a ，再根据,,a b c 的关系求b ，本问分析已知条件是解题的关键；第二问是直线与椭圆相交于,A B 两点，先设出,A B 两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用. 试题解析：（Ⅰ）在12F MF ∆中，
由
0121||||sin 602MF MF =
，得1216||||3MF MF =． 由余弦定理，得2220
121212||||||2||||cos60F F MF MF MF MF =+-
201212(||||)2||||(1cos60)MF MF MF MF =+-+，
从而122||||a MF MF =+=
a =2
b =， 故椭圆C 的方程为22
184
x y +=． 6分
（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为2(1)y k x +=+，
由22
184
2(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩
，得222
(12)4(2)280k x k k x k k ++-+-=． 8
分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1224(2)
12k k x x k -+=-+，2122
2812k k x x k -=+．
从而1212121221212222(4)()4(2)
2(4)428y y kx x k x x k k k k k k x x x x k k
--+-+-+=+==--=-．
11
分
当直线l
的斜率不存在时，得((1,)22
A B ---，得124k k +=． 综上，恒有124k k +=．
12分
考点：1.椭圆的定义；2.韦达定理；3.直线的斜率.
64．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .
（1）当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； （2）过点Q 作直线1QR
AF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .
①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；
②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.
【答案】(1)
221259
x y +=(2)①略②432
(,)1313. 【解析】
试题分析：(1)根据题意，3b =，4=c ，求出a ，可得到方程；(2)①解法一：根据题意写出R Q P ,,的坐标，线段11PF R F 、的中垂线的交点就是圆心，将圆心坐标代入
7480x y ++=中，可得证；解法二：设出一般方程，将R Q P ,,三点的坐标代入，联立求
解；②根据①，写出圆系方程22
7
(216)(4)04
x y y t x y ++-+-
+=，联立方程2241607
404
x y y x y ⎧++-=⎪
⎨-+=⎪⎩解得该定点. 试题解析：(1)设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,
当3t =时,PQ 的中点为(0,3)，则3b = 1分 而2216a b -=,所以225a =， 2分
故椭圆的标准方程为
22
1259
x y += 3分 (Ⅱ)①解法一:易得直线1:28AF y x =+，直线2:28AF y x =-+
可得88(
,),(,)22
t t
P t Q t --,再由1QR AF ,得(4,0)R t - 5分 则线段1F R 的中垂线方程为2t
x =-, 6分
线段1PF 的中垂线方程为1516
28
t y x -=-+, 7分
由1516282
t y x t x -⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩, 8分
解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28
t t
-
- 9分 经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 10分
②由①可得圆C 的方程为22
7
(4)41604x y tx t y t +++-
+-= 11分 该方程可整理为22
7(216)(4)04
x y y t x y ++-+-+=,
则由2241607
40
4x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或4
0x y =-⎧⎨=⎩, 13分
所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432
(
,)1313
14分 解法二: 易得直线1:28AF y x =+，直线2:28AF y x =-+ 5分 所以可得88(,),(,)22
t t
P t Q t --, 6分 再由1QR
AF ,得(4,0)R t - 7分
设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,
则2222(4)(4)0(4)40
88()022
t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩, 8分 解得圆心坐标为7(,2)28
t t
-
-, 9分 经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 10分
②由①可得圆C 的方程为22
7
(4)41604x y tx t y t +++-
+-= 11分 该方程可整理为22
7(216)(4)04
x y y t x y ++-+-+=,
则由224160740
4x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或4
0x y =-⎧⎨=⎩, 13分
所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432
(
,)1313
14分
考点：椭圆的定义及基本性质，三角形外接圆. 68．在平面直角坐标系中，已知定点A （－2，0）、B （2，0），异于A 、B 两点的动点P 满足
121
.4
k k =-，其中k 1、k 2分别表示直线AP 、BP 的斜率．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）若N 是直线x=2上异于点B 的任意一点，直线AN 与（I ）中轨迹E 交予点Q ，设直线QB 与以NB 为直径的圆的一个交点为M （异于点B ），点C （1，0），求证：|CM|·|CN| 为定值.
【答案】（Ⅰ）2
21(0)4
x y y +=≠；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据斜率公式，有斜率乘积等于4
1
-
整理即得，注意0≠y ；（Ⅱ）设直线AN 的方程，与椭圆方程组成方程组，消去y ，由韦达定理求点Q 的坐标，根据直线QB 与
以NB 为直径的圆的另一个交点为M ，得QB MN ⊥，从而得到直线MN 的方程，确定恒过的定点.证明,,C M N 三点共线,又CB 是以NB 为直径的圆的切线,由切割线定理可知,2
1CM CN CB ⋅==,即为定值. 试题解析：(Ⅰ)设(,)P x y ,由1214k k =-
得 1224
y y x x ⋅=-+-,其中2x ≠±, 整理得P 点的轨迹方程为2
21(0)4
x y y +=≠. (4分) （Ⅱ）设点)0)(,2(≠m m N ，则直线AN 的方程为)2(4
+=
x m
y ， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=44)2(4
22y x x m y ，消去y 得01644)4(2
222=-+++m x m x m ， 设),(11y x Q ，则44)2(221+-=-+m m x ，∴42844222
221+-=+-+=m m m m x ，
从而)4
4,428(22
2++-m m
m m Q ，又)0,2(B ， m m m m m k QB
14
2844222-=+-+= 直线QB 与以NB 为直径的圆的另一个交点为M ，∴QB MN ⊥，
MN ∴方程为(2)y m m x -=-,即(1)y m x =-,过定点(1,0)C , (9分)
定值证法一:即,,C M N 三点共线,又CB 是以NB 为直径的圆的切线,由切割线定理可
知,2
1CM CN CB ⋅==,为定值. (12分) 定值证法二:直线QB :1
(2)y x m
=-
-,直线CN :(1)y m x =-,
联立得,2221
M m x m +=+,M C N C CM CN x x ⋅=--
2
2
111(1)11
m m =-=+⋅=+,为定值. (12分) 考点：椭圆方程，直线与椭圆的关系，定点、定值问题.
73．已知椭圆：22
221x y a b
+=（0a b >>）上任意一点到两焦点距离之和为
为
1F ，2F ，点P 是右准线上任意一点，过2F 作直 线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；
（3）点P 的纵坐标为3，过P 作动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点H ，满足
MP MH
PN HN
=，试证明点H 恒在一定直线上． 【答案】（1）22
132
x y +=；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析. 【解析】
试题分析：（1）利用椭圆的定义、离心率的定义、,,a b c 的关系列出方程组，解得,,a b c 的值；（2）由右准线方程设出P 点坐标，由垂直的充要条件得1012(1)y y x -=-，表达出
21102
11
3PQ OQ
y y y k k x x -=-，将Q 点代入椭圆22132x y +=中，即22
112(1)3x y =-，代入
2110
2
11
3PQ OQ
y y y k k x x -=-中，化简得常数；（3）设出点,M N ，代入椭圆方程中，设(,)H x y ，由
MP MH PN HN
=得向量关系，得到1122,,,x y x y 与,x y 的关系，据21x 与21y 及22x 与2
2y 系数比为2:3，得H 在直线2320x y +-=.
试题解析：（1
）由题意可得2222a c e a a b c ⎧=⎪
⎪
==⎨⎪=+⎪⎩
，解得a =1c =
，b =
所以椭圆E ：22
132x y +=． 2分 （2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为2
3a x c
==， 设011(3,),(,)P y Q x y ， 因为PF 2⊥F 2Q ，所以22011121
QF PF y y
k k x =∙=--， 所以1012(1)y y x -=-， 又因为21011012
1111
33PQ OQ
y y y y y y k k x x x x --=∙=--且22
112(1)3x y =-代入化简得23PQ OQ k k =-． 即直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值2
3
-
． 7分. （3）设过(3,3)P 的直线l 与椭圆交于两个不同点1122(,),(,)M x y N x y ，点
(,)H x y ，则2211236x y +=，22
22236x y +=．
设
MP MH
PN HN
λ==，则,MP PN MH NH λλ=-=， ∴1122(3,3)(3,3)x y x y λ--=---，1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--， 整理得1231x x λλ-=
-，121x x x λλ+=+，1212
3,11y y y y y λλλλ
-+==-+，
∴从而2222221212
22
3,311x x y y x y λλλλ-+==--，
由于2211236x y +=，2222236x y +=，∴我们知道21x 与21y 的系数之比为2：3，22
x 与2
2y 的系数之比为2：3．
∴22222222222
1212112222
223323(23)
69611x x y y x y x y x y λλλλλ
-+-+-++===--， 所以点H 恒在直线2320x y +-=上． 13分 考点：1.椭圆的定义；2.离心率的定义；3.垂直的充要条件.
78．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
C 的左顶点T 为
圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；
（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，
O 为坐标原点，
求证：OR OS ⋅为定值．
【答案】（1）2214
x y +=；（2）15-，22
13(2)25x y ++=；（3）证明过程详见解析.
【解析】
试题分析：（1）先通过离心率求出c ，再通过222
a b c =+，然后写出椭圆方程；（2）先设
出,M N 点的坐标，由于点M 在椭圆C 上，所以4
12
12
1x
y -=，找到,TM TN 向量坐标，
根据点乘列出表达式，配方法找到表达式的最小值，得到M 点坐标，点M 在圆上，代入得到圆的半径，就可以得到圆的方程；（3）设出点P 的坐标，列出直线MP 的方程，因为直线与x 轴有交点，所以令0y =，得到,r s x x ，所以r s x x ∙，又因为点,M P 在椭圆上，得到
方程，代入r s x x ∙中，得到4r s x x ∙=，所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR .
试题解析：（1）依题意，得2a =，c e a =
=
1,322=-==c a b c ； 故椭圆C 的方程为2
214
x y += ． 3分 （2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．
由于点M 在椭圆C 上，所以4
12
12
1x
y -=． （*） 4分
由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=， 所以2
1211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅
344
5)41()2(12
12
121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ． 6分
由于221<<-x ，故当581-
=x 时，TM TN ⋅取得最小值为1
5
-． 由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到2
1325
r =．
故圆T 的方程为：22
13(2)25
x y ++=． 8分
方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则
)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅ 3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ
241
5(cos )55θ=+-． 6分
故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，此时83
(,)55
M -，
又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到2
1325
r =．
故圆T 的方程为：22
13(2)25
x y ++=． 8分
(3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(01
01
00x x x x y y y y ---=
-，
令0y =，得101001y y y x y x x R --=
， 同理：1
01
001y y y x y x x S ++=， 10分
故2
1
2
02
1
2
02
02
1y y y x y x x x S R --=
⋅ （**） 11分
又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42
02
0y x -=，)1(42
12
1y x -=， 12分 代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(42
1
2
02
1202
1
2
02
1
202021=--=
----=
⋅y y y y y y y y y y x x S R ．
所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． 14分
方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ， 其中θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθ
αθ
αα---=
-x y ，
令0y =，得θ
αθαθαsin sin )
sin cos cos (sin 2--=
R x ，
同理：θ
αθαθαsin sin )
sin cos cos (sin 2++=S x ， 12分
故4sin sin )
sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=
⋅θ
αθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． 14分 考点：1.椭圆方程；2.配方法求最值.
81．如图，已知椭圆2
2:14
x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，
（Ⅰ）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；
（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论． 【答案】（Ⅰ）121
4
k k ⋅=-；
（Ⅱ）
（Ⅲ）(0,2-+
或(0,2--. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）12,k k 随点P 运动而变化，故设点00(,)P x y 表示12k k ⋅，进而化简整体消去变量；（Ⅱ）点,M N 的位置由直线AP ，BP 生成，所以可用两直线方程解出交点坐标，求出MN ，它必是12,k k 的函数，利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用,M N 的坐标求出圆的方程，方程必含有参数12,k k ，消去一个后，利用等式恒成立方法求出圆所过定点坐标.
试题解析：（Ⅰ）
(0,1),(0,1)A B -，令00(,)P x y ，则由题设可知00x ≠，
∴直线AP 的斜率010
1y k x -=
，BP 的斜率0201
y k x +=，又点P 在椭圆上，
所以22
0014x y +=，（00x ≠），从而有200012200011114
y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-. （Ⅱ）由题设可以得到直线AP 的方程为11(0)y k x -=-， 直线BP 的方程为2(1)(0)y k x --=-，
由113122x y k x k y y ⎧=--=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎩， 由2
21122
x y k x k y y ⎧
=-+=⎧⎪⇒⎨⎨
=-⎩⎪=-⎩
， ∴直线AP 与直线l 的交点13(,2)M k -
-，直线BP 与直线l 的交点2
1
(,2)N k --. 又121
4k k ⋅=-
，111211313344MN k k k k k k ∴=-=+=+≥=等号当且仅当
1134k k =
即1k =MN
长的最小值是 （Ⅲ）设点(,)Q x y 是以MN 为直径的圆上的任意一点，则0QM QN ⋅=，故有
12
31
()()(2)(2)0x x y y k k +
++++=，又1214k k ⋅=-，所以以MN 为直径的圆的方程为
22113(2)12(
4)0x y k x k ++-+-=，令22
0(2)120
x x y =⎧⎨++-=⎩
解得02x y =⎧⎪⎨=-±⎪⎩， 以MN
为直径的圆是否经过定点(0,2-+
和(0,2--. 考点：直线的交点，圆的方程，圆过定点问题，基本不等式的应用. 84．椭圆的左、右焦点分别为)0,3(1-F 和)0,3(2F ，且椭圆过点)2
3
,1(-. (Ⅰ)求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点)0,5
6
(-
作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为椭圆的左顶点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由.
【答案】（I ）2214
x y +=；（II ）是定值900
.
【解析】
试题分析：（I ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>
，有c =22
3a b -=
，把
(1,2
-
代入椭圆方程得221314a b +=，
从而求出224,1a b ==，即可求出椭圆方程；（II ）利用直线与圆锥曲线相交的一般方法，将直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理，求AM AN ⋅,继而判定是否为定值。

试题解析：（I ）设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由于焦点为12(F F ,
可
知c =，即22
3a b -=，
把(1,
)代入椭圆方程得221314a b +=，解得
2
2
4,1a b ==，故椭圆的方程为2
214
x y +=;
（II ）设直线MN 的方程为65
x ky =-
, 联立方程组可得2
21465x y x ky ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
，化简得：22
1264(4)0525k y ky +--=, 设()1122,,(,)M x y N x y ，则1212
226412y y ,y y 25(4)5(4)
k
k k =-
+=++，又(2,0)A -,
1122121212(2,)(2,)2()4AM AN x y x y x x x x y y ∴⋅=+⋅+=++++，由65
x k y
=-得221212224166441216
(1)()(1)()0
52525(4)55(4)25
k AM AN k y y k y y k k k k ⋅=++++=+-++=++,
所以AM AN ⊥,所以90MAN ∠=，所以MAN ∠为定值.
考点： 1、待定系数法求椭圆方程; 2、二次函数求最值 ; 3、直线与圆锥曲线相交的综合
应用.
85．已知21,F F 为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左，右焦点，M 为椭圆上的动点，且
21MF MF ⋅的最大值为1，最小值为-2.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过点),(05
6
-
作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为椭圆的左顶点。

试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由.
【答案】（I ）
2
214
x y += （II ）定值90. 【解析】
试题分析：（I ）M 是椭圆上的点， 12MF MF ⋅可以转化为关于x 的二次函数，利用二次函数求最值，可求得椭圆方程中的参数a 和b ；（II ）利用直线与圆锥曲线相交的一般方法，将直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理，求AM AN ⋅,继而判定是否为定值. 试
题
解
析
：（
I
）
12(,0),(,0)
F c F c -,设
(,)
M x y ''，则
12(,),(,)MF c x y MF c x y '
'
'
'
=---=--，因为点M 在椭圆上，则22
2
2
2b y b x a
''=-，
2222
2
2
2
2
2
2
22
221222
2b a b MF MF x c y x a b b x x b a a a
'''''-∴⋅=-+=-++-=+-，又因为22,0a x a x a ''-≤≤∴≤≤，所以当20x '=时，12MF MF ⋅取得最小值2222b a -=-，当
2
2
x a '=时，12MF MF ⋅取得最大值2222222
21a b a b a b a
-+-==，从而求得2
4a =，故椭圆的方程为2
214
x y +=;
（II ）设直线MN 的方程为65
x ky =-
, 联立方程组可得22
146
5x y x ky ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，化简得：22
1264(4)0525k y ky +--=, 设()1122,,(,)M x y N x y ，则121222
6412y y ,y y 25(4)5(4)
k
k k =-
+=++，又(2,0)A -, 1122121212(2,)(2,)2()4AM AN x y x y x x x x y y ∴⋅=+⋅+=++++，由6
5
x k y
=-得22121222
4166441216
(1)()(1)()052525(4)55(4)25
k AM AN k y y k y y k k k k ⋅=++++=+-++=++,
所以AM AN ⊥,所以90MAN ∠=，所以MAN ∠为定值.
考点： 1、待定系数法求椭圆方程; 2、二次函数求最值 ; 3、直线与圆锥曲线相交的综合
应用.。