北师大版四年级上册小学数学第2单元 线与角_第02讲_平行垂直(教师版讲义)

知识图谱
平行与垂直
知识精讲
一．认识平行于垂直
1．平行：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条线互相平行 2．平行的符号为：“∥”记作直线a ∥b ，读作直线a 平行于b ．
3．垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线就做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足．
4．垂直的符号为：“⊥”记作直线a ⊥b ，读作直线a 垂直于b ，交点称为垂足．
二．垂线的作法
1．画互相垂直的两条线
a
a
a
b
b
b
a a
a
b
b
b
O O
O
2．过直线外一点画这条直线的垂线
3． 过直线上一点画这条直线的垂线：方法与过过直线外一点画这条直线的垂线类似，同学们可以自己画一画． 三． 平行的画法
1．可以用量角器与三角尺画平行线，先固定三角尺，沿一条直角边画一条直线； 2．用量角器紧靠三角尺的另一直角边，固定量角器，然后平移三角尺； 3．再重复第一步．
典型例题 从直线外一点A ，到这条直线画几条线段．量一量所画线段的长度，哪一条最短？
名师学堂 解题思路．先按要求作出几条线,用直尺实际测量这些线段的长度，但带直角符号的线段最短．
总结：我们把直线外一点到直线距离定义为：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段．
正确答案．略
A
a
点A 到直线a 的距离怎么画？
A
a
三点剖析
重点： 理解垂直与平行的概念． 难点： 画垂线和平行线．
易错点： 点到直线距离的定义就．
认识平行与垂直
例题
例题1、看一看，说一说，填一填． （1）
上图中直线a 与b 是在同一平面内不（ ）的两条直线，叫做（ ），也可以说这两条直线（ ），记作（ ），读作（ ）．
（2）
上图中，直线a 与b 相交成（ ）角，我们就说这两条直线（ ），其中一条直线叫做另一条直线的（ ）线，这两条直线的交点叫做（ ）．直线a 与b 互相垂直，记作（ ），读作（ ）． 【答案】（1）相交 平行线 互相平行 a b // 平行于b （2）直 互相垂直 垂 垂足 a b ⊥ a 垂直于b 【解析】（1）相交 平行线 互相平行 a b // 平行于b （2）直 互相垂直 垂 垂足 a b ⊥ a 垂直于b
例题2、下图中，哪些线段互相平行？哪些互相垂直？
【答案】a d b e c f b l e l //////⊥⊥ 【解析】a d b e c f b l e l //////⊥⊥
例题3、看图想一想，直线a 和直线b 互相垂直吗？为什么？
【答案】互相垂直，因为直线a 和直线b 相交成直角， 即：180°-60°-30°=90°． 【解析】互相垂直，因为直线a 和直线b 相交成直角， 即：180°-60°-30°=90°．
例题4、辨一辨．（对的画“√”，错的画“×”） （1）不相交的两条直线叫做平行线．（ ） （2）正方形的两条对边互相平行．（ ） （3）长方形的两条邻边互相平行．（ ）
（4）两条直线互相垂直，则所成的四个角一定都是直角．（ ） 【答案】（l ）×（2)√（3）×（4）√ 【解析】（l ）×（2)√（3）×（4）√
例题5、描一描，找一找，把平移前后两幅图中的平行线画上相同的颜色。

【答案】略 【解析】略
随练
随练1、找一找，填一填．
（1）只存在线段互相平行的字母有________． （2）只存在线段互相垂直的字母有________．
（3）既存在线段互相平行，又存在线段互相垂直的字母有________． 【答案】（1）Z （2）L 、K (3）E 、H 【解析】（1）Z （2）L 、K (3）E 、H
随练2、下面图形中，哪两条线段互相平行？哪两条线段互相垂直？（请标上字母写一写）
【答案】略
【解析】略
随练3、找一找，描一描。

（1）描出房子中的平行线和垂线。

（2）描出平移前后两幅图中的平行线。

【答案】略
【解析】略
随练4、找一找：哪些边互相平行？哪些边互相垂直？（每种至少写4组）
互相平行的有：（ ）； 互相垂直的有：（ ）。

【答案】略 【解析】略
垂线的画法
例题
例题1、看图，再归纳画垂线的方法。

过直线上一点A 画这条直线的垂线。

（1）用三角尺来画垂线，方法是：
①把三角尺的一条（ ）边与这条直线（ ）。

②沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点（ ）。

③从直角的顶点起沿三角尺的另一条直角边画一条（ ）。

④在垂足处标出（ ）。

【答案】①直角，重合②重合③垂线④垂直符号 【解析】①直角，重合②重合③垂线④垂直符号
例题2、画出下面直线的垂线。

【答案】略 【解析】略
例题3、动手操作．
过D 点画直线AB 的平行线，画直线AC 的垂线．
【答案】略 【解析】略
例题4、（1）分别画已知直线的垂线。

我发现：画一条直线的垂线，可以画（ ）条。

（2）分别过直线外、直线上一点画直线的垂线。

（3）我发现：过直线外或直线上一点画直线的垂线，只能画（ ）条。

【答案】（1）（画垂线略），无数 （2）略 （3）1 【解析】（1）（画垂线略），无数 （2）略 （3）1
随练
随练1、过下面各点画直线的垂线。

【答案】
【解析】
随练2、过A 点画直线a 的平行线，画直线b 的垂线。

【答案】略 【解析】略
随练3、按要求作图．
（1）画一条长5.5cm 的线段．
（2）分别画出50°、90°、135°的角．
（3）过图中的点A 分别画直线BC 的垂线和平行线，并量一量点A 到直线BC 的距离是（ ）厘米．
（4）元元要在点A 过马路（如下图）．
①画出元元从点A 安全过马路的最短路线．
②在元元左边对面马路边有一根电线杆，这根电线杆与点A 的连线正好与马路成60°夹角，请标出电线杆的大概位置．
【答案】略 【解析】略
点到直线的距离
例题
例题1、把直线外的A 点与直线上的B ．C ．D ．E 各点连接起来，量出线段AB ．AC ．AD ．AE 的长度。

（精确到1mm ）
AB ＝（ ）mm AC ＝（ ）mm
AD ＝（ ）mm AE ＝（ ）mm
我发现：从直线外一点到这条直线所画的（ ）最短，它的长度叫做这点到直线的（ ）。

【答案】（量线段长度略），垂直线段，距离
【解析】（量线段长度略），垂直线段，距离
例题2、直线外一点到这条直线的距离，是指这一点到这条直线的（ ）的长。

A.线段 B.射线 C.垂直线段 【答案】 C 【解析】C
例题3、李新家刚建了新房子，要把自来水从主水管引到自己家，怎样做最节省？请画图表示．
【答案】略 【解析】略
例题4、乐乐在游泳馆的A 处游泳，如果他想尽快上岸，应该怎样游呢？请在图中画出来。

【答案】
【解析】
随练
随练
1、两条平行线之间的距离是6厘米，在这两条平行线之间作一条垂线段，这条垂线段的长度是（ ）厘米。

【答案】6 【解析】6
随练2、一次跳远比赛中，张亮发现裁判员测量的跳远成绩不准确（如图）。

你认为呢？
【答案】不准确
A A
A
【解析】不准确
随练3、（1）小林准备游泳过河，怎样游路程最短？请画出来。

（2）从小明家到公路要修一条小路，你来帮小明设计一下，在哪儿修路才最省钱，把它画在图上。

【答案】画图略 ，提示：（1）过小林所在的点向河对岸画垂直线 （2）过小明家那一点向公路画垂直线 【解析】画图略 ，提示：（1）过小林所在的点向河对岸画垂直线 （2）过小明家那一点向公路画垂直线
利用平行与垂直画图形
例题
例题1、画一个周长是8厘米的正方形。

【答案】略 【解析】略
例题2、你能在下面这组平行线间画一个最大的正方形吗？试一试．
【答案】略 【解析】略
例题3、菜园在贝贝家的东北面，有一条小河在他家的北面。

爸爸想从家修条路到菜园，再从河边修条水渠到菜园，要求修的路和水渠都最短。

请你帮贝贝设计一下。

【答案】
【解析】
随练
随练1、画一画．
（1）画一个长5厘米、宽2厘米的长方形． （2）画一个边长是3厘米的正方形． 【答案】略 【解析】略
随练2、以下面线段为长方形的长，画出宽为1cm 的长方形。

这样的长方形能画（ ）个。

【答案】（画图略），2 【解析】（画图略），2
拓展
拓展1、你能在长方体的一个面上找到几组互相垂直的线段？
菜园
贝贝家
河边
北
菜园 贝贝家
河边
北
我能找到（）组互相
垂直的线段。

【答案】4
【解析】4
拓展2、将图形的序号填在合适的圈里．
【答案】○2○8○1○7
【解析】○2○8○1○7
拓展3、在既有平行线段，又有垂直线段的图形下面画“√”．
【答案】(√)(√)( )(√)
【解析】(√)(√)( )(√)
拓展4、在下图中分别找出三组互相平行和互相垂直的线段，写下来．
【答案】略
【解析】略
拓展5、折一折．（把折的方法用虚线画出来）
（1）把一张长方形的纸折两次，使两条折痕互相垂直．
（2）把一张正方形的纸折两次，使两条折痕互相平行．
【答案】
【解析】
拓展6、画一画。

（1）画出线段AB的平行线。

（2）在方格纸上画一组垂线。

【答案】略
【解析】略
拓展7、过O点分别画三角形三条边的垂线。

【答案】略
【解析】略
拓展8、过A点分别画角的两条边的垂线。

【答案】略
【解析】略
拓展9、如下图，最短的一条线段是（）。

A.OB．
B.OC．
C.OE
【答案】B
【解析】B
拓展10、幸福村为了方便往城里运木材，要修一条使伐木场与公路相连接的水泥路，怎样修最节省材料？请画出来。

【答案】略
【解析】略
拓展11、你能想办法求出下面各点到直线的距离吗？
（）cm
（）cm
【答案】过已知点向直线作垂直线段，垂直线段的长度就是已知点到直线的距离，1.7，1.2
【解析】过已知点向直线作垂直线段，垂直线段的长度就是已知点到直线的距离，1.7，1.2
拓展12、将没有画完的长方形和正方形画完整．
【答案】略
【解析】略
拓展13、在下面两条平行线之间画一画。

（1）画出一个长方形，使长方形的顶点都在平行线上。

（2）画一个最大的正方形。

【答案】略
【解析】略
拓展14、大街的两边都是自来水管，小小、笑笑、红红家分别住在大街两边新建的楼房．每家的水管怎样接合适？画一画．
【答案】略【解析】略。