一元二次方程竞赛解题方法

一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。

除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。

以下是一些解题方法：
一、换元法
例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。

我们
可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得
到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。

进一步解得$x=-
1.0.
2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。

二、降次法
例如，考虑已知$\alpha。

\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个
实数根，求$a^4+3\beta$的值。

我们可以利用方程$x^2-x-
1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为
$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和
$\beta^2=\beta+1$代入，得到
$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此
$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。

三、整体代入法
例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。

S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证
$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。

我们可以将
$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和
$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-
4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。

将$S_{1993}$代入
$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}$，可以发现所有项都抵消了，因此等式成立。

四、配方法
例如，考虑已知$\alpha。

\beta$是方程$x^2-7x+8=0$的两根且$\alpha>\beta$，求$-\frac{3}{\beta^2}$的值。

我们可以利
用韦达定理，即$\alpha+\beta=7$和$\alpha\beta=8$，将$-
\frac{3}{\beta^2}$表示为$-\frac{3\alpha}{\alpha\beta^2}$，然
后代入$\alpha+\beta=7$和$\alpha\beta=8$，得到$-
\frac{3}{\beta^2}=-\frac{3\alpha}{8}=-\frac{3(7-
\beta)}{8}=\frac{15}{8}$，选项A。

五、反证法
例如，考虑证明：设$a。

b。

c$为互不相等的非零实数，
则方程组
ax^2+2bx+c=0$$
bx^2+2cx+a=0$$
cx^2+2ax+b=0$$
不可能都有两个相等的实数根。

我们可以假设存在一组$a。

b。

c$使得上述方程组都有两个相等的实数根，不妨设它们为$x_1.x_1$。

由于$x_1\neq x_2$，因此至少有两个方程的判别
式$\Delta=b^2-4ac。

\Delta'=c^2-4ab$不为零，不妨设它们分别
为$\Delta\neq 0$和$\Delta'\neq 0$。

然而，我们可以将三个方
程相加，得到$(a+b+c)x^2+2(b+c+a)x+(a+b+c)=0$，由于$a。

b。

c$互不相等，因此系数不全为零，因此这个方程有两个不相等的实数根，与假设矛盾。

因此原命题成立。

六、构造新方程法
例如，考虑已知两数$a。

b$，且$ab\neq 1$，且方程
$2a^2+xxxxxxxx90a+3=0$和$3b^2+xxxxxxxx90b+2=0$的根分
别为$x_1.x_2$，求$(x_1+x_2)^2$。

我们可以将两个方程相加，得到$2a^2+3b^2+xxxxxxxx90(a+b)+5=0$，然后将$x=a+b$代入，得到$2a^2+3(x-a)^2+xxxxxxxx90x+5=0$，化简后得到
$3x^2+xxxxxxxx90x+xxxxxxxx91=0$，因此$x_1+x_2=-
\frac{xxxxxxxx90}{3}$，从而$(x_1+x_2)^2=1.358\times
10^{18}$。

七、巧用因式分解
例如，考虑求满足关于$x$的方程$kx^2+(k+1)x+(k-
1)=0$的根都是整数的所有$k$值。

我们可以将方程因式分解为$(kx+k-1)(x+1)=0$，因此$kx+k-1=0$或$x+1=0$。

若$kx+k-
1=0$，则$x=\frac{1-k}{k}$，因此$k$必须是$1$或$-1$的因子。

若$x+1=0$，则$x=-1$，因此$k$必须满足$k-1$和$k+1$都是
$x=-1$的根，即$k$是$2$的倍数。

综合两种情况，得到
$k\in\{-2.-1.0.1.2\}$，选项D。

八、整体变形法
例如，考虑证明在方程$x^2+\frac{a}{x^2}+2=b$中，当
$b\geq 2$时，至少有两个不相等的实数根。

我们可以将方程变形为$x^4+2bx^2+a=0$，然后令$t=x^2$，得到$t^2+2bt+a=0$。

因此$t=\frac{-2b\pm\sqrt{4b^2-4a}}{2}=b\pm\sqrt{b^2-a}$。

当$b\geq 2$时，$t$有两个不相等的实数解，因此$x^2$也有两个
不相等的实数解，从而$x$也有两个不相等的实数解。

以上是一些与一元二次方程有关的竞赛题的求解方法。

例2：已知方程$x-x_1=0$有两个实数根$\alpha$和$\beta$，求$a+3\beta$的值。

解：由$x-x_1=0$得$\alpha=\alpha-1$，即
$\alpha+1=\alpha$，从而$\alpha=\alpha+1=\alpha+2$，即
$\alpha+1=3\alpha+2$。

同理，$\beta=\beta+1=\beta+2$，即
$\beta+1=3\beta+2$。

因此，
$a+3\beta=a+3(\alpha+1)=a+3(\alpha+2)=a+3\alpha+6=4a+8$。

由题意得，$\alpha$和$\beta$是$x-x_1=0$的两个实数根，即它
们的和为$1$，因此$\alpha+\beta=1$。

将其代入上式可得
$4a+8=5$，即$a=-\frac{3}{4}$。

因此，当$a=-\frac{3}{4}$时，方程$x-
\frac{3}{4}x+3=0$有且仅有一个整数根。

因为a、b、c、d都是正实数，所以△1、△2、△3、△4
都大于等于0.
假设所有方程都有相等的实数根，那么它们的判别式都为0，即
2a+b=2，2b+c=2，2c+d=2，2d+a=2
将这些式子相加，得到4(a+b+c+d)=8，即a+b+c+d=2.
将这个式子代入上面4个式子中，得到a=b=c=d=0.这与a、b、c、d都是正实数矛盾。

因此，假设不成立，即至少有两个方程有不相等的实数根。

已知三个关于 $x$ 的方程：
x-x+m=0 \quad (1) \\
m-1)x+2x+1=0 \quad (2) \\
m-2)x+2x-1=0 \quad (3)
其中至少有两个方程有实根，则实数 $m$ 的取值范围是什么？
首先，对于方程 $(1)$，有实根的条件是 $1-4m\geq0$，即$m\leq\frac{1}{4}$，无实根的条件是 $m>\frac{1}{4}$。

对于方程 $(2)$，有实根的条件是 $m-1=0$ 或 $m\leq2$ 且$m\neq1$，无实根的条件是 $m>2$。

对于方程 $(3)$，有实根的条件是 $m-2=0$ 或 $m<1$，无实根的条件是 $m\geq1$。

我们可以分情况讨论：
①若 $(1)(2)$ 有实根，$(3)$ 无实根，则 $m=2$ 或
$m\geq1$ 且 $m\neq2$，无实根的条件是 $m>2$，解得
$m\leq2$。

②若 $(1)(3)$ 有实根，$(2)$ 无实根，则无解。

③若 $(2)(3)$ 有实根，$(1)$ 无实根，则 $1\leq m\leq2$。

④若 $(1)(2)(3)$ 均有实根，则无解。

综上所述，当 $m\leq\frac{1}{4}$ 或 $1\leq m\leq2$ 时，
至少有两个方程有实根。

因此，选项$\textbf{(B)}$ 是正确的。