随机过程 第6章 平稳随机过程

1 lim T 2T 1 2 1 [ B ( ) R ( ) ]d1 0 X 1 2T 2T
2T
其中 B( 1 ) E[ X (t ) X (t ) X (t 1 ) X (t 1 )]
当 X (t) 是实均方连续平稳过程时，充要条件为

T
T T
X (t ) d t X (t ) X (t ) d t
T
为该过程的时间均值和时间相关函数。
各态历经性
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，若
1 T X (t ) E[ X (t )] , 即 l .i . m X (t ) d t mX T 2T T
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有 关，因此它是平稳随机序列。
例2 (例6.4)

设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X (t )] E [sin( 2 t )]
大数定律（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 lim P N N
Xk m 1 k 1
N
大数定律表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间 平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。
例1 (例6.1)——白噪声

设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。
[解]
因为: (1) E[Xn] = 0
2 , 0 (2) RX (n, n ) E[ X n X n ] 0, 0




sin( 2 t ) f ( ) d
sin( 2 t ) d 0
0
1
R X (t , t ) E [ X (t ) X (t )]
1
1 2 , 0 sin( 2 t ) sin[ 2 (t )]d 0 0, 0


X ( t )Y ( t ) Y ( t ) X ( t ) ] R X ( ) RY ( ) R XY ( t , t ) RYX ( t , t )
联合平稳过程的定义
[定义] 设 {X (t), t T } 和 {Y (t), t T } 是两个平稳过程， 若它们的互相关函数 E[ X (t )Y (t )] 及 E[Y (t ) X (t )] 仅与 有关，而与 t 无关，则称 X (t) 和 Y (t) 是联合平 稳随机过程。 它们的和 W(t) = X(t) + Y(t) 也是平稳过程。
互相关函数的性质
联合平稳过程 X (t) 和 Y (t) 的互相关函数具有性质： (1)
R XY ( ) R X ( 0 ) RY (0), R YX ( ) R X ( 0 ) RY (0) ;
2
2
(2)
R XY ( ) R YX ( ) .
对于实平稳过程，
R XY ( ) R YX ( )
故 Y (t) 是平稳过程。
6.3 平稳过程的各态历经性
对于随机过程 X (t, e) ， 对于每一个固定的 t T ，X (t, e) 是一个随机变量， E[X (t)] = mX (t) 为统计平均。 对于每一个固定的 e ，X (t, e) 是普通的时间函数， 在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。

Y (t)
W (t) = X (t) + Y (t)
是否平稳？
RW ( t , t ) E [W ( t )W ( t ) ]
E [ X ( t ) Y ( t )][ X ( t ) Y ( t ) ] E [ X ( t ) X ( t ) Y ( t )Y ( t )
因此 X (t)是平稳随机过程。
平稳过程相关函数的性质
[定理] 设 {X (t), t T }是平稳过程，则其相关函数 RX() 具有下列性质：
(1) R X (0) 0 ; (2) R X ( ) R X ( ) ; (3) R X ( ) R X (0) ; (4) RX()是非负定的，即
1 lim T T

2T
0
1 2 1 [ B ( 1 ) R X ( )] d 1 0 2T
例4 (例6.9)

设有随机相位过程 X (t) = acos(t+)，a, 为常数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是 否为各态历经过程。
各态历经性
[定义] 如果均方连续的平稳过程 { X (t), t T } 的 均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平 稳过程具有各态历经性或遍历性。
均值各态历经的充要条件
[定理] 设 { X (t), < t < } 是均方连续的平稳过 程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为
1 lim T 2T 2 1 [ R ( ) m ]d 0 X X 2T 2T
mW (t ) E[ X (t ) Y (t )] m X (t ) mY (t )
RW ( ) R X ( ) RY ( ) R XY ( ) RYX ( )
R XY (t , t ) E [ X (t )Y (t ) ] R XY ( ) RYX (t , t ) E [Y (t ) X (t ) ] RYX ( )
第6章 平稳随机过程
内容提要
平稳过程的概念与性质 联合平稳过程 平稳过程的各态历经性
6.1 平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相 同的联合分布函数，则称{X (t), t T } 为严平稳过程， 也称狭义平稳过程。
[例3] 如图所示X (t) 是平稳过程，
分析过程Y (t)的平稳性。 [解]
Y (t ) X (t ) X (t T Y (t )] E[ X (t )] E[ X (t T )] 2m X
RY (t , t ) E [Y (t )Y (t ) ] E {[ X (t ) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} 2 R X ( ) R X ( T ) R X ( T )
2T
当 X (t) 是实均方连续平稳过程时，充要条件为
1 lim T T

2T
0
2 1 [ R X ( ) m X ] d 0 2T
相关函数各态历经的充要条件
[定理] 设 { X (t), < t < } 是均方连续的平稳过 程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为
2
故 X (t) 是为各态历经过程。
各态历经性的重要意义
如果一个实平稳过程是各态历经的，则可用其任一样 本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即
1 m X l .i . m T T 1 R X ( ) l . i . m T T

T
0 T
x (t ) d t x (t ) x (t ) d t
Pr.1
以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。 若
X (t ) X (t ) E[ X (t ) X (t )] , 即 1 l .i . m T 2T
Pr .1

T
T
X (t ) X (t ) d t RX ( )
以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。
只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函 数都能够“遍历”各种可能状态——遍历性（或各态历 经性、埃尔古德性Ergodicity）
时间均值和时间相关函数
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，则 分别称
1 X (t ) l . i . m T 2T 1 X (t ) X (t ) l . i . m T 2T
0
若样本函数 x (t) 只在有限区间 [0, T] 上给出，则有
1 ˆX mX m T ˆ ( ) R X ( ) R X

T
0
x (t ) d t
1 T

T
0
x (t ) x (t ) d t
i , j 1
实平稳过程的相关函数是偶函数
R X ( ) R X ( )
R
n
X
( t i , t j )a i a j 0 ;
(5) 若 X (t) = X (t+T)，则有 RX() = RX(+T) ；
6.2 联合平稳过程
X (t) 和 Y (t) 是 两个平稳过程
X (t)
1 E [ X (t )] a cos( t ) d 0 0 2 1 T X (t ) l . i . m a cos( t ) dt 0 T 2T T a2 R X ( ) cos( ) X (t ) X (t ) 2
宽平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，如果 (1) {X (t), t T }是二阶矩过程； (2) 对任意 t T ，mX(t) = E{X(t)} = 常数；（均值平稳） (3) 对任意s , t T ，RX (s, t) = E[X(s)X(t)] = RX (ts) ； （自相关平稳） 则称{X (t), t T } 为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。