4.4二阶常系数

由§4.3定理1知,
y1 , y2 为方程（1）的两个线性
无关的特解，于是得齐次方程(1)的通解为
y e (C1 cos x C 2 sin x ).
把微分方程(1)的求解问题化为特征方程(2)的 求根问题,再由特征方程的根确定其通解的方 法称为特征根法.
x
例4 求
d 2x k 2 x 的通解. 0 2 dt
y2 设另一特解为 y2 u( x )e , (令 u ( x)) y1
r1 x
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一个特解为 y1 e , 2
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
0, 取 u( x ) x , 则 y2 xe r x , u
0, 当不是特征方程的根； k 1，当是特征方程的单根； 2，当是特征方程的重根 .
二、f ( x) ex Pl ( x) cosx Pn ( x) sin x
Pl ( x), Pm ( x)分别为 x的 l, m 次多项式
方程 y py qy f (x) (6)
3、会解欧拉方程.
4.4.1二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y py qy 0 (1) 这里 p, q为常数. 解法: 特征根法 rx 设 y e , 将其代入上方程, 得
( r 2 pr q )e rx 0 e rx 0, (2) 故有 r 2 pr q 0 特征方程
1. 不是特征方程的根
F ( ) p q 0 ,可设 ( x) m ( x) ,
2
m ( x) b0 x b1 x
m
m1
bm1 x bm
所求的特解为 y* m ( x)e x .
例7求方程
y 4 y 3 y x 的通解. 2
二阶常系数线性非齐次方程一般形式为 (6) y py qy f (x) 其中 p, q为常数, 对应齐次方程 y py qy 0 (1)
通解结构 y y y .
*
y *为(6)的特解, y 为(1)的通解. * y的方法—待定系数法. 求特解
一、f ( x) e P( x) , 为一个常数, P(x) 为 x 的 m 次多项式 * x 设方程(6)有特解 y ( x) e ( x) (7)
r2 i
(1)的两个复值函数形式解: (利用欧拉公式: e i cos i sin )
，，
y1 e
( i ) x
e cos x ie sin x
e cos x ie sin x
x x
x
x
y2 e
( i ) x
1 重新组合,令 y1 ( y1 y 2 ) ex cos x, 2 1 y 2 ( y1 y 2 ) ex sin x, 2i
3. 是特征方程的重根
F ( ) 2 p q 0, F ( ) 2 P 0
( x) x 2 m ( x), y * x 2 e x m ( x). 可设
x 6 y 9 y 5e 3的一个特解. 例9 求 y
解 特征方程为 r
*
5 A , 于是所求特解为 2
综合所述,方程
py qy e x P(x) y
的特解具有形式
y ( x) x e m ( x)
* k
x
其中 m ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
为与P (x)同次的多项式,
1
得齐次方程(1)的通解为 y (C1 C 2 x )e
r1 x
;
例3 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程为
解得
r 2 4r 4 0 ,
r1 r2 2 ,
y (C1 C2 x )e 2 x . 故所求通解为
3. 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为 r1 i
y x(b0 x b1 )e .
* x
将 ( x) x1 ( x) x(b0 x b1 ) 代入（8）
得
( x) x
2b0 (2b0 x b1 ) x ,
即
1 2b0 1, b0 , b1 1, 2 2b0 b1 0, 1 * x 特解为 y x( x 1)e 2 1 2x x x 通解为 y C1e C 2 e x( x 1)e . 2
F (r ) r pr q 称为(1)的特征多项式.
2
p p 2 4q 特征根 r1, 2 (3) 2 ( p 2 4q 0) 1. 有两个不相等的实根
p 2 4q p p 2 4q 特征根为 r , r2 , 1 2 2 (1)的两个线性无关的特解
2 2
解 特征方程为 r k 0, 故所求通解为
故方程的通解为 .
r ik.
x C1 coskt C2 sin kt.
例5 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1， 1 2 j , 2
故所求通解为 x y e (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
小结 求二阶常系数线性齐次方程的通解步骤: 第一步 写出特征方程; 第二步 求特征方程的两个根 r1 , r2 ; 第三步 按特征根形式写出方程(1)的通解:
特征根的情况
通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
的特解可设为
y x e
* k
x

(1) m
( x) cos x ( x) sin x
( 2) m

1 2 其中 (m) ( x), (m ) ( x)为待定的 m次多项式,
; 0, i不是特征根 m maxl , n, k 1, i是特征根.
例6 求 y ( 4) 2 y 5 y 的通解. 0 解法1 特征方程为
r 4 2r 3 5r 2 0, 解得 r1 r2 0和r3, 4 1 2i.
故微分方程的通解为
y C1 C2 x e (C3 cos2x C4 sin 2x).
例10 求微分方程 y y xe x cos x的特解. 解法1 先求y y xe(1i ) x 的特解 y *， 由§4.3中的定理6知,它的实部即为原方程的特解. 1 不是特解方程 r 2 1 0的根，可设 i
y* (ax b)e
代入(8)得
p
y1 e ,
r1 x
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程(1)的通解为
y C1e
C2e ;
r2 x
0 例1 求 y 4 y 3 y 的通解.
解 特征方程为 r 4r 3 0, 解得特征根为 r2 1, r1 3,
2
故微分方程的通解为
特征方程 r 2 4r 3 0, 解法1 特征根为 r2 1, r1 3 , 对应齐次方程通解 y C1e 3 x C2 e x . 因为
0不是特征方程的根, m 1
设特解为 y (b0 x b1 )e
*
0x
b0 x b1 ,
代入原方程,得 4b0 3b0 x 3b1 x 2
y C1e 3 x C2 e x .
例2 求 y y 0 的通解.
解 特征方程为 r r 0,
2
r1 0, r2 1 x 故微分方程的通解为 y C1 C2 e .
解得
2. 有两个相等的实根 ( 0)
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
x
(x)为待定多项式, 代入(6)中,并消去 e x ，得
( x) (2 p) ( x) ( 2 p q) ( x) P( x)(8)
或写成
F ( ) F ( ) P( x)
F ( ) 2 p q 为(1)的特征多项式. 这里
§4.4二阶常系数线性微分方程
4.4.1 二阶常系数线性齐次微分方程 4.4.2*阶常系数线性齐次方程的解法 4.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程 求特解的方法 4.4.4 欧拉方程
基本要求
1、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法;
会解高于二阶常系数齐次线性微分方程; 2、会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、 余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐 次线性微分方程;
特征方程为 r n P r n 1 P r P 0(5) 1 n 1 n 特征方程的根 若是k 重根 r 若是k重共轭 复根r i 通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
x
解法2(降阶法) 令 z y ， 原方程变为 z 2 z 5 z 0 , 其特征方程为 2 r 2r 5 0, r 1 2i
e x (C1 cos2 x C2 sin 2x). y
再对 x 积分两次，可求得原方程的通解.
4.4.3二阶常系数线性非齐次微分方程 求特解的方法
2
6r 9 0 ,
特征根 r1 r2 3 ,即 3 为特征方程 , 的重根, 又m 0于是可设特解为
y Ax e
*
2 3 x
.
将 Ax 代入(8), 可得 ( x)
2
5 ,即 2 A 5
5 2 3 x y x e . 2 注:也可以用例1的解法,将 y * Ax2 e 3 x 代入原方程, 约去 e 3 x ,再比较等式两端 的同次幂系数求A. x
(1i ) x
.Baidu Nhomakorabea
( x) ax b, ( x) a, ( x) 0
(1 2i)(ax b) (2 2i)a 0 x
(1 2i)ax [(1 2i)b (2 2i)a] x .
实根r1
y C1e r x C 2 e r x rx y (C1 C 2 x )e y ex (C1 cos x C 2 sin x )
1 2 2
4.4.2*n阶常系数线性齐次方程的解法
y
( n)
Py 1
( n1)
Pn1 y Pn y 0 (4)
比较等式两边
x 同次幂的系数,可得
1 10 b0 , b1 3 9
特解为
1 10 y x , 3 9
*
通解为
y C1e
3 x
C2e
x
1 10 x . 3 9
2. 是特征方程的单根
F ( ) p q 0, 2 P 0.
2
可设
( x) x m ( x), 所求的特解为
y * xex m ( x).
3 y 2 y xe x 的通解. 例8 求方程 y
解 特征方程为 r 3r 2 0,
2
特征根为 r1 2, r2 1, 对应齐次方程的通解
y C1e C2 e .
2x x
m 因 1是特征方程的单根， 1 ,可设特解为