吉林省梅河口五中(实验班)等联谊校高三上学期期中数学(理)试题(解析版)

2020届吉林省梅河口五中（实验班）等联谊校高三上学期期
中数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{
}
2
|50A x x x =->，则C R A =（） A ．{|05}x x ≤≤ B ．{|0}x x < C ．{|5}
x x >
D ．{|50}x x -≤≤
【答案】A
【解析】求出集合A 后，根据补集定义求得结果. 【详解】
{}
{2500A x x x x x =-=<或}5x > {}05R C A x x ∴=≤≤
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题. 2．设i 是虚数单位,如果复数i
2i
a ++的实部与虚部是互为相反数,那么实数a 的值为 ( ) A ．
13
B ．13
-
C ．3
D ．3-
【答案】D
【解析】分析：由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程，求解即可得答案．
详解：
2a i i ++=()()()()()()2212225a i i a a i i i +-++-=+-=21255a a
i +-+， ∵复数2a i
i ++的实部与虚部是互为相反数， ∴212055
a a
+-+=，即a=3-． 故选：D ．
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的实部与虚部的概念，属于基础题．
3．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）
A ．1)-
B ．(-
C ．(1)-
D ．(1,-
【答案】B
【解析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】
()()0,2,3,1m n =-=
()23,3m n ∴+=-
()(
)
3
1,33-=--
故选B 【点睛】
本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.
4．设a ，b ∈R ，那么“＞1”是“a ＞b ＞0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】试题分析：a ＞b ＞0，可推出
，而当
，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，
显然不能推出a ＞b ＞0，由充要条件的定义可得答案． 解：由不等式的性质，a ＞b ＞0，可推出，
而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a ＞b ＞0． 故
是a ＞b ＞0的必要不充分条件．
故选B ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的长度为（ ）．
A
．B
．C
．D ．2
【答案】A
【解析】先由三视图得出该几何体的直观图，结合题意求解即可. 【详解】
由三视图可知其直观图，
该几何体为四棱锥P-ABCD ，最长的棱为PA
，则最长的棱长为
PA ==A ．
【点睛】
本题主要考查几何体的三视图，属于基础题型. 6．等比数列{}n a 的首项为
32，公比为12
-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n
n S S -的最小值与最大值的比值为（ ） A ．5
12
-
B ．710
-
C ．
910
D ．
512
【答案】B
【解析】先计算得到11()2
n n S =--，11
1()121()2
1n n n n S S ---=---
，构造函数1
()11f t t t
=---，证明函数单调递减，得到最大值和最小值.
【详解】
等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为11()3121()12212
n n n S --=⨯
=--+ 111()121()2
1n n n n S S ---=---
设1()2n t -=，则max min 11,42
t t ==-
数列对应函数为：1()11f t t t
=--- 易知：1t -在11,24⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
上递减，11t --在11,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上递减
故1()11f t t t =--
-在11,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上递减 max min 1517
()(),()()26412f t f f t f =-===-
1n n S S -
的最小值与最大值的比值为7
10
-
故选：B 【点睛】
本题考查了数列的最大最小值，构造数列1
()11f t t t
=---是解题的关键，可以简化运算.
7．.某汽车公司的A,B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若A 厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B 厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为( ) A ．16,8 B ．15,9
C ．17,7
D ．14,10
【答案】A
【解析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最小值取法，即得结果. 【详解】
设A 厂工作x 小时， B 厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z x y =+，约
束条件为340,240,0,0.
x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩作出可行域如图所示，由图知当直线y x z =-+经过Q 点时，z
取得最小值，由340,
240,x y x y +=⎧⎨+=⎩
可得()16,8Q ，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，
可使所费的总工作时数最少.选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
8．已知正数x 、y 满足1x y +=，则
14
1x y
++的最小值为（ ） A ．2 B ．
92 C ．
143
D ．5
【答案】B
【解析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y
++相乘，利用基本不等式可求出
141x y
++的最小值． 【详解】
1x y +=，所以，(1)2x y ++=，
则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x y x
++
=+++=+++=+++…，
所以，
14912
x y ++…， 当且仅当4111
x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当23
13x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立，
因此，141x y ++的最小值为92
， 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
9
．已知函数()cos f x x x =+，把函数()f x 的图象向右平移3
π
个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，方程
()0g x k -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（ ）
A
．⎡⎣
B
．)
2
C ．[]1,2
D ．[)1,2
【答案】D
【解析】化简函数为() 26f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，由平移变换与伸缩变换得到
()226g x sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，然后数形结合可得实数k 的取值范围.
【详解】
函数(
)cos 26f x x x sin x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
把函数()f x 的图象向右平移3
π
个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半， 得到函数()226g x sin x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，方程()0g x k -=有两个不同的实根等价于函数()226g x sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭与y k =有两个不同交点，
令t 52666x π
ππ⎡⎤
=-
∈-⎢⎥⎣⎦
，，即y 2sint =与y k =有两个不同交点， 结合图象可知：12k ≤< 故选D 【点睛】
函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且
()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多
少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A ．1
B 1
C 1
D 1
【答案】D
【解析】程序框图表示的是数列
n a =2019项和，利用裂项相消法得
到答案. 【详解】 设数列
n a =
2019项和
n a =
=即
2019122019 (1)
S S a a a ==+++== 故选：D
【点睛】
本题考查了程序框图，确定程序框图表示的是数列
n a =2019项和是
解题的关键.
11．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者 B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师 C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者 D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师 【答案】C
【解析】由甲的年龄和记者不同和记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师. 故选C
12．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，
()()0f x f x x
'+
>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是
（ ）
A ．()1,+∞
B ．()11,1,5⎛
⎫-+∞ ⎪
⎝⎭
C ．1,15⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．(),1-∞
【答案】C
【解析】根据0x >时()()0f x f x x
'+
>可得：()()0xf x f x '+>；令()()
g x x f x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在
(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量
的大小关系，解不等式求得结果. 【详解】
当0x >时，()()0f x f x x
'+
> ()()0x f x
f x '∴+> 令()()
g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增
()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数
则()g x 在(),0-∞上单调递减
()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-
可得：231x x >-，解得：1
15
x << 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.
二、填空题
13．已知函数2()(1)f x ax ab x b =+--，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为________________. 【答案】31{|}22
x x x <-
>或 【解析】先得到不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，再确定()20f x -<的
解为21x -<- 或23x ->，解得答案. 【详解】
不等式()0f x >的解集为()1,3-，则不等式()0f x <的解集为(,1)
(3,)-∞-+∞
()20f x -<的解为：21x -<- 或23x ->
解得答案：31
{|}22x x x <->或 故答案为：31
{|}22
x x x <->或
【点睛】
本题考查了解不等式，将2x -看成整体可以简化运算，是解题的关键.
14．观察下列式子：3211=，332123+=，33321236++=，
33332123410+++=，…，根据以上式子可猜想：
3333123n +++
+=________________．
【答案】()2
12n n +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【解析】因为
33321=11+2=12+，（）,33321+2+3=123（）++,333321+2+3+4=1234+++（）
, 所以()2
333
31+2+3+123n n =+++
+=(
)2
2
14
n n +
15．若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积
为 ；
【答案】
【解析】试题分析：由图像，得,即，即；
令，
得
；由定积分的几何意义，得所求阴影部分的面积为
.
【考点】1.三角函数的图像与性质；2.定积分的几何意义. 16．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为
1
2
cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________________.
【答案】1(3π+
cm 3 【解析】设四个实心铁球的球心为1234,,,O O O O ，其中12,O O 为下层两球的球心，四个球心连线组成棱长为1 的正四面体，,,,A B C D 分别为四个球心在底面的射影，则
ABCD
是一个边长为
2
的正方形，所以注水高为正四面体相对棱的距离与球半径的
二倍的和，即为12
+
， 故应注水的体积等于以注入水的高度为高的圆柱的体积减去
四个球的体积，3
41(14232ππ⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭
＝1(32π+
，故答案为3
13cm π⎛+ ⎝⎭
.
三、解答题
17．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，*n N ∈. （1）求通项公式n a .
（2）求数列{}2n a n --的前n 项和.
【答案】（1）1
3-=n n a ，*
n N ∈；（2）n S 23152
n n n
---=
【解析】（1）根据11n n n a S S ++=-即可化简得13n n a a +=，可证明数列为等比数列，即可求出通项公式（2）采用分组求和的方法，利用等差数列、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】 （1）由题意得12214,21,a a a a +=⎧⎨
=+⎩则121,
3.
a a =⎧⎨
=⎩ 又当n 2≥时，由()()1121212n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=， 所以数列{}n a 是以1为首项，公比为3的等比数列， 所以13-=n n a ，*n N ∈.
（2）记()()()()1232122232n n n S a a a a --=--+--+--+
+
()12[345(2)]n a a a n =+++-+++
++
2213(32)315315132222
n n n n n n n n n
-++-+---=-=-=
-. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的证明、通项公式，求和公式，等差数列的求和公式，分组求和，属于中档题.
18．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍
进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km )的关系为(08)35
k
p x x =
≤≤+,若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f (x )为建造宿舍与修路费用之和.
(1)求f (x )的表达式
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小并求最小值. 【答案】（1）800
()56,0835
f x x x x =
++≤≤+ （2）宿舍应建在离厂5km 处可使总费用()f x 最小为75万元. 【解析】(1)先代入数据计算800k =，再把两部分费用相加得到答案. (2)先变形800
()2(35)535
f x x x =++-+,再利用均值不等式得到答案. 【详解】
（1）根据题意，距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元
100800315k
k =
∴=⨯+
800
()56,0835
f x x x x ∴=++≤≤+
（2）800
()2(35)58057535f x x x =
++-≥-=+ 当且仅当
800
2(35)35x x =++即5x = 时min ()75f x = 【点睛】
本题考查了函数的应用，均值不等式，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.
19．如图，在四边形ABCD 中，,2,AC CD AD =
=2.3
ADC π∠=
（1）求CAD ∠的正弦值；
（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.
【答案】（1）
7
（2
【解析】（1）ACD ∆中，设(0)AD x x =>，利用余弦定理得到1x =，再利用正弦定理得到答案.
（2）利用面积关系得到sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠化简得到
cos 2.AB CAD AD ⋅∠=根据（1
）中sin 7
CAD ∠=
解得答案. 【详解】
（1）在ACD ∆中，设(0)AD x x =>， 由余弦定理得2
2
27=422cos 3
x x x x +-⨯⋅π 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==
由正弦定理得2sin sin 3
DC AC
DAC =∠π
，解得sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=， 所以
11
sin 4sin 22
AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠
所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=
因为sin 7CAD ∠=
，且CAD ∠为锐角，
所以cos CAD ∠==
代入计算21AB =⨯
因此AB = 【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.
20．各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知152,512,n a a T ==是数列{}2log n a 的前n 项和.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求n T ； （3）求满足23
11
11011
(1)(1)(1)2013
n T T T ---
>的最大正整数n 的值. 【答案】（1）212n n
a -=，（2）2n T n =，（3）223
【解析】（1）直接利用等比数列公式计算得到答案. （2）先计算得到22og 1l n a n =-，前N 项和2n T n = （3）化简23
11
11(1)(1)(1)2n n T T T n +---
=再解不等式1101122013
n n +>得到答案.
【详解】
（1）41512,512(0),4a a a q q q ===>=，故121
242
n n n a --=⨯= （2）2221
2
o 1l g log 2n n a n -==-，2(121)2
n n n
T n +-== （3）23
1111111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)...(1)(1)22332n n T T T n n n
+-
--
=-+-+-+= 即
1101122013n n +>解得6713
n <
故最大正整数223n = 【点睛】
本题考查了等比数列通项公式，等差数列前N 项和，数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
21．已知函数()ln 3f x a x ax =-- (0)a ≠． (1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()(1)40f x a x e +++-≤对任意2[,]x e e ∈恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）； (3)求证：22221111
ln(
1)ln(1)ln(1)...ln(1)1234n
++++++++<*(2,)n n ≥∈N ． 【答案】（1）当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,1]，单调减区间为[1,)+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为(0,1]；
（2）21
2
e e a --≤
（3）证明见解析
【解析】(1)求导得到'
(1)
()a x f x x
-=
，讨论0a >和0a <两种情况得到答案. (2) 令()()(1)4ln 1F x f x a x e a x x e =+++-=++-，讨论()F x 的单调性，计算
()F x 的最值得到答案.
(3) 令1a =-，()ln 3f x x x =-+-在[1,)+∞上单调递增，得到ln 1x x <-对一切
(1,)x ∈+∞成立，故2211111ln(
1)(1)1n n n n n n
+<<=---代入计算得到到答案. 【详解】
（1）函数的定义域为()0,∞+，'
(1)
()a x f x x
-=
当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,1]，单调减区间为[1,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为(0,1]； （2）令()ln 3(1)4ln 1F x a x ax a x e a x x e =--+++-=++-, 则'
()a x F x x +=
，令'
()0a x F x x
+=
=，则x a =-, （a ）若a e -≤,即a e ≥- 则()F x 在2
[,]e e 是增函数,
2
2
max
()()210F x F e a e e ==++-≤ , 21
2
e e a --≤ 无解.
（b ）若2a e -≥即2a e ≤-，则()F x 在2
[,]e e 是减函数,
max ()()10F x F e a ==+≤ 1a ≤- 所以2a e ≤-,
（c ）若2e a e <-<,即2e a e -<<-，()F x 在[,]e a -是减函数, 在2
[,]a e -是增函数,
最大值2
2
()210F e a e e =++-≤可得21
2
e e a --≤
,()10F e a =+≤可得1a ≤- 所以22
1
2
e e e a ---≤≤
, 综上所述21
2
e e a --≤
, （3）令1a =-，此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，
由（1）知()l n 3f x x x =-+-在[1,)+∞上单调递增，
∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立，
∵*2,n n N ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n
+<<=---， 所以 22221111
ln(
1)ln(1)ln(1)...ln(1)234n ++++++++ 1111111(1)()()...()223341n n <-+-+-+--111n
=-<
【点睛】
本题考查了函数的单调性，恒成立问题，不等式的证明，其中放缩
2211111ln(
1)(1)1n n n n n n
+<<=---并用裂项相消法是解题的关键. 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l
的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭:3
OM π
θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2
【解析】（1）首先利用2
2
1cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{
x cos y sin ϕ
ϕ
=+=（φ为参数）
进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐
标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），
联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】
（1）圆C 的普通方程为()2
211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（2）设()11,ρθP ，则由2{3
cos ρθ
πθ==解得11ρ=，1
3πθ=，得1,3P π⎛⎫
⎪⎝⎭
；
设()22Q ,ρθ
，则由
2sin 3{
3
πρθπ
θ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭=
解得23ρ=，23
π
θ=
，得3,
3Q π⎛⎫
⎪⎝⎭
； 所以Q 2P = 【点睛】
本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23．已知函数()|1|f x x =- （1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；
（2）若||1,||1,0a b a <<≠，求证：()||()b
f ab a f a
>. 【答案】（1）{}
|53x x x ≤-≥或 （2）证明见解析
【解析】（1）得到分段函数()22,3(4)4,3122,1x x f x f x x x x --<-⎧⎪
++-≤≤⎨⎪+>⎩
＝，分别计算不等式得到
答案.
（2）不等式等价于1||||ab a b >--，证明22
|1|||0ab a b --->得到答案.
【详解】
（1）()22,3+(4)134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪
+-++-≤≤⎨⎪+>⎩
＝＝
当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-； 当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立； 当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥．
综上所述：不等式()4f x ≤ 的解集为5{}3|x x x ≤-≥或． （2）()||()b f ab a f a
>，即1||||ab a b >-- ．
11a b <<，，
()()()()22222222|1|||212110ab a b a b ab a ab b a b ∴---=-+--+=--> ，
所以1||||ab a b >--．
故所证不等式成立．
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，不等式的证明，将绝对值不等式转化为分段函数是常用的技巧，需要灵活掌握.。