线性代数模拟试题1

1、 ,则 ___ __________.
2、设 ，则 ___ __________.
3、已知3元非齐次线性方程组 的增广矩阵 经初等行变换化为： ，若方程组无解，则 的取值为____0________.
4、要使矩阵 的秩取得最小值，则 ______ ______.
5、已知 阶矩阵 有一个特征值为2，则 阶矩阵 必有一个特征值为_____-1______.
6、设 , 为 中元素 的代数余子式，则 _____0_______.
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三、判断正误（共5小题，每题2分，共计10分）
1、若行列式 中每个元素都大于零，则 . ( X )
2、零向量是任一向量组的线性组合. ( )
3、任意 个 维向量必线性相关. （ ）
4、若 为可逆矩阵 的特征值，则 的特征值为 （ X ）
线性代数模拟试卷一
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一、选择题（共6小题，每题3分，共计18分）
1、排列32514的逆序数为（ B ）
A． B． C． D．
2、设 ，则 （B）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
3、设 是方阵且可逆，若 ,则必有（ A ）
A． B． C． D．
4、设 为3阶方阵， ，则其行列式 （ D ）
A． B． C． D．
5、设矩阵 与矩阵 相似，则 . ( )
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四、计算题（共5小题，每题8分，共计40分）
1、计算行列式
解： (3分)
2、设 ,且 ,求
解：矩阵方程可化为： （2分）
,（3分）
3、解线性方程组 ，要求利用导出组的基础解系表示其通解.
解： （3分）
相应的方程组 ， （2分）
相应的齐次方程组 ， （2分）
方程组的全部解： （ 为任意实数）
4、已知向量组 ，
（1）求向量组的一个极大无关组;
（2）将其余向量用此极大无关组线性表示;
（3）求这组向量组的秩.
解： （2分）
极大无关组（2分）
（2分）
5、设 ,判断 能否与对角矩阵相似；若能，求出相似变换矩阵
解 的特征多项式为
，
故 的特征值为 （2分）
，解齐次线性方程组 得到对应的特征向量 ;（2分）
，解齐次线性方程组 得到对应的特征向量;
（2分）
所以 有3个线性无关的特征向量 ，从而 可对角化
令 则有
得分
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五、应用题（共1小题，每题8分，共计8分）
一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C、钙和铁, 其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量. 这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出.
5、设向量组 线性相关，则一定有（ B ）
A． 线性相关 B． 线性相关
C． 线性无关 D． 线性无关
6、设 是一非齐次线性方程组， 是其任意2个解，则下列结论错误的是（A ）
A． 是 的一个解 B． 是 的一个解
C． 是 的一个解 D． 是 的一个解
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二、填空题（共6小题，每题3分，共计18分）
营养食谱问题
营养
单位食谱所含的营பைடு நூலகம்（毫克）
需要的营养总量（毫克）
食物1
食物2
食物3
维生素C
10
20
10
80
钙
10
30
20
130
铁
10
20
50
200
求食谱中应分别包含多少单位的食物1，食物2，食物3？
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六、证明题（共1小题，每题6分，共计6分）
若 是 阶方阵，且 证明 其中 为单位矩阵.