河北省邢台市新高中数学导数及其应用多选题专题复习附答案

一、导数及其应用多选题

1．已知函数()21

x

x x f x e

+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值

C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根

D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5

f x e

=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】

首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】

对于A ．2

()010f x x x =⇒+-=，解得15

x -±=

，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)

()x x

x x x x f x e e

--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，

所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．

对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；

对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.

【点睛】

易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是

(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，

如果这里判断错了，那选项容易判断错了．

2．设函数()ln x

f x x

=

，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立

C ．若120x x <<时，总有()

()()22

212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥

D ．若函数()()2

h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈

【答案】AC 【分析】

利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()2

2s x g x ax

=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x

m x

+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】

对于A 选项，函数()ln x f x x =

的定义域为()0,∞+，则()2

1ln x

f x x -'=

. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.

所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln x

f x x

=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即

ln ln 44π

π

>

，又

ln 41ln 213ln 22

043236

--=-=>， 所以，

ln ln 41

43

π

π

>

>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()

()()22

212122a x x g x g x ->-恒成立，

可得()()2

2

112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2

2

22ln s x g x ax x x ax =-=-，

则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，

()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，

即1ln x

a x

+≥

对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=

，其中0x >，()2ln x

t x x

'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '

<，此时函数()t x 单调递减.

所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；

对于D 选项，()()2

2

ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，

由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x

m x

+=

， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1

x e

>

时，()0t x >，如下图所示：

当021m <<时，即当1

02

m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.

所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a

=