高中趣味数学题及答案

高中趣味数学题及答案
1. 赛车比赛问题
甲、乙两辆赛车进行比赛，每辆车必须按规定次序穿过四个门，在一门经过前会获得相应的得分，如下表所示：门号 | 得分
-------- | --------
1 | 5
2 | 3
3 | 2
4 | 1
比赛规则如下：两辆赛车同时在门外起跑，当其中一辆车通过所有门且累计得分高于另一辆车时，比赛结束，高分车获胜。

求甲、乙两车同时通过所有门的概率。

答案：通过所有四个门的方案数为4！=24，其中甲车与乙车同步通过所有门的方案数为2^4=16种，因为每个门都只有两个可能的结果：先经过甲车或先经过乙车。

所以两车同时通过所有门的概率为16/24=2/3。

2. 整数半径的球问题
一个半径为整数的球，最多能在什么样的长方体内？
答案：如果球的半径为r，则它的直径为2r，可以在一个取长宽高均为2r的长方体内。

我们可以证明，在长方体的边长大于2r时，这个半径为r的球必定无法在其中放置。

假设长方体的边长为a，考虑球的直径在x，y，z三个方向上的投影。

因为r为整数，所以直径的长度应为k(2r) (k为正整
数)。

而长方体的任意一条边的长度小于等于a，故有k(2r)＜a，即2rk＜a。

由于k为正整数，所以k≥1，因此有2r＜a。

因此，当长方体的边长大于2r时，这个半径为r的球必定无
法在其中放置。

3. 骑士巡游问题
骑士巡游是指一个象棋中的骑士从某个位置出发，在不
允许重复经过的前提下，挨个经过棋盘上所有的格子。

求骑士巡游的路径数。

棋盘的大小为n×n，骑士的起始位置任意指定。

答案：骑士巡游是一个经典的应用数学问题，其路径数
可以通过递归和动态规划两种方法求得。

这里简单介绍一下递归的解法：
对于棋盘上某个位置(pos_x, pos_y)，假设当前已经经
过了已知的k个格子，那么下一个要经过的格子应该是哪个呢？根据骑士移动的规则，它可以前往八个位置，即(pos_x+1,
pos_y+2)，(pos_x+1, pos_y-2)，(pos_x-1, pos_y+2)，
(pos_x-1, pos_y-2)，(pos_x+2, pos_y+1)，(pos_x+2,
pos_y-1)，(pos_x-2, pos_y+1)，(pos_x-2, pos_y-1)。

对于每个位置，都可以递归地计算出从该位置开始，经过剩余未访问过的格子所需的路径数目。

初始时，所有格子均未访问过，因此路径数为0。

对于起始位置(pos_x0, pos_y0)来说，其路径数可以定义为从该位置开始，经过所有未访问过的格子的路径数。

因此，最终骑士巡游的路径数相当于从起始位置出发，经过所有格子的路径数之和。

递归的过程中，我们需要记录已经访问过的格子的位置，以便计算剩余未访问过的格子的路径数。

在实现中，我们可以
使用一个布尔类型的标记数组来记录已经访问过的格子。

具体实现细节可以参考代码实现。

4. 数字变幻问题
有一组由4个数字组成的数码，其中每个数字都可以是0-9之间的整数，且可以重复。

现在将其中任意两个相邻的数字交换位置，问经过若干次交换后，最小的数码是多少？
答案：对于4个数字构成的数码，总共有4! = 24种不同的排列方式。

因为数字能够重复，所以没有必要考虑某个数字是否已经在数码之中。

在每次交换时，我们可以找到最终造成最小影响的那一对数码进行交换。

具体地，从左到右依次检查相邻的数字对(i, i+1)，如果i > i+1，就将这两个数字交换位置。

不断重复这个过程，直到无法继续交换为止。

虽然这种贪心的策略无法保证一定能找到最优解，但实际上在大多数情况下，它的效果都是比较好的。

在本问题中，使用这种策略进行交换，最终能够得到最小的数码。