2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期中考试数学试卷(B)+答案解析(附后)

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期中考试数学试卷（B）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的倾斜角为( )

A. B. C. D.

2.已知向量，，且，则( )

A. B. C. 4 D. 2

3.已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，则点B的坐标为( )

A. B. C. D.

4

.已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为( )

A. B. C. D.

5.圆截x轴所得弦的长度为( )

A. 2

B.

C.

D. 4

6

.若直线和直线的交点在第二象限，则m的取值范围为( )

A. B.

C. D.

7.如图，在平行六面体中，若，则有序实数组

( )

A. B. C. D.

8.已知直线：，：，若，则实数( )

A. 1

B. 3

C. 1或0

D. 1或3

9.已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是( )

A. B. C. D.

10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2，M，N分别为棱AD，AC 的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为( )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.以为圆心，半径为2的圆的标准方程为__________.

12.已知点，，，则__________.

13.已知直线l经过点，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为__________.

14.已知点P为圆上一点，记d为点P到直线的距离.当m变化时，d的最大值为__________.

15.在长方体中，，，点E是棱CD上的动点，给出下列4

个结论：

①；

②；

③若E为CD中点，则点到直线的距离为；

④存在点E，使得平面

其中所有正确结论的序号是__________.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.本小题13分

在中，，，

求边AB所在直线的方程；

求边AB上的中线所在直线的方程.

17.本小题13分

已知向量，，

若，求实数x的值；

求；

若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数x的值.

18.本小题14分

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E是棱PA的中点.

求证：平面BDE；

再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值.

条件①：平面平面ABCD；

条件②：

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.本小题15分

已知圆：

求圆的圆心坐标以及半径；

求经过点的圆的切线方程；

若圆与圆：有公共点，求实数m的取值范围.

20.本小题15分

赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高为4m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．

求这座圆拱桥的拱圆的方程；

若该景区游船宽10m，水面以上高3m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由

21.本小题15分

如图，在直三棱柱中，，，，N分别为棱AB，

的中点，与交于点

求直线与平面所成角的正弦值；

求直线到平面的距离；

在线段上是否存在点Q，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

直接根据倾斜角与斜率的关系即可.

【解答】

解：直线的斜率为，

设其倾斜角为，则，

又，故其倾斜角为 .

故选：B

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.

由向量的共线定理即可求解.

【解答】

解：因为向量，，且，

所以，即，

可得，解得，

所以 .

故选：

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查空间中点的坐标，属于基础题.

利用点在坐标平面内的射影坐标运算即可得解.

【解答】

解：点B是点在坐标平面Oxy内的射影，

点B的坐标为，

故选：

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查直线的点斜式方程，一般式方程，属于基础题.

把两直线的垂直关系转化为斜率的关系，由点斜式方程即可得答案.

【解答】

解：已知直线的斜率

所以垂直直线的斜率为

即直线l的方程为即

故选：

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查直线与圆相交所得的弦长，属于基础题.

利用圆的弦长公式：，计算可求弦长

【解答】

解：由圆的方程可知，圆心为，半径为，

圆心到x轴的距离为，

则 .

故选：B

6.【答案】D

【解析】【分析】