2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-11

[命题报告·教师用书独具]
考查知识点及角度
题号及难度
基
础
中档稍难
导数的运算1
导数的几何
意义
2、36、7、10
综合应用4、5、8、
9
11、
12
1．y＝错误!的导数是（）
A.错误!
B.错误!
C。

错误!D。

错误!
解析:y′＝错误!＝错误!。

答案：B
2．已知P(x，y）为函数y＝x sin x＋cos x上的任意一点，f(x）为该函数在点P处切线的斜率,则f(x)的部分图象是（）
解析：f（x)＝y′＝x cos x，显然f(x）为奇函数，其图象关于原点成中心对称，排除A、C，当x∈错误!时,f（x）>0，排除D.故选B。

答案：B
3．（2013年石家庄质检)已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是( )
A．e B．－e
C.错误!D．－错误!
解析：依题意，设直线y＝kx与曲线y＝ln x相切于点（x0，kx0)，则有错误!由此得ln x0＝1，x0＝e，k＝错误!，选C。

答案：C
4．（2013年南昌二校联考)已知函数f(x）的图象如图所示，f′（x)是f（x)的导函数，则（)
A．0<f′（2)<f′（3)〈f（3）－f(2）
B．0〈f′（3)<f(3）－f（2）<f′(2)
C．0<f′（3）<f′（2)<f(3)－f(2）
D．0〈f（3）－f(2)<f′（2）<f′(3）
解析:根据函数f（x）的图象可得函数f(x)的导函数f′（x）在［0，＋∞）上是单调递减,函数f（x）在［2,3]上的平均变化率小于函数f（x)在点（2，f(2）)处的瞬时变化率，大于函数f（x）在点（3，
f（3）)处的瞬时变化率．所以0<f′（3）<f3－f2
3－2
<f′（2),
即0〈f′(3)<f（3）－f(2）〈f′(2)．
答案:B
5．在函数y＝x3－9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于错误!，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：依题意得,y′＝3x2－9，令0≤y′〈1得3≤x2〈错误!,显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于错误!，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.
答案：A
二、填空题
6．(2013年焦作模拟)点P为曲线f（x）＝2
3
x3－2x2上的一个动
点，则曲线f(x）在点P处的切线的斜率k的最小值为________．解析：k＝f′(x）＝2x2－4x＝2（x－1)2－2，故k的最小值为－2.
答案：－2
7．（2012年高考新课标全国卷)曲线y＝x（3ln x＋1）在点（1，1）处的切线方程为______．
解析：利用导数的几何意义先求得切线斜率．
∵y＝x（3ln x＋1),∴y′＝3ln x＋1＋x·错误!＝3 ln x＋4，
∴k＝y′|x＝1＝4,
∴所求切线的方程为y－1＝4（x－1），即y＝4x－3.
答案：y＝4x－3
8．(2013年太原四校联考）已知M是曲线y＝ln x＋错误!x2＋(1－a）x上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于错误!的锐角,则实数a的取值范围是________．
解析:依题意得y′＝错误!＋x＋（1－a）,其中x>0。

由曲线在M 处的切线的倾斜角是均不小于错误!的锐角得，对于任意正数x，均有错误!＋x＋(1－a)≥1，即a≤错误!＋x.当x>0时，错误!＋x≥2 错误!＝2，当
且仅当错误!＝x，即x＝1时取等号，因此实数a的取值范围是（－∞，2］．
答案：（－∞，2］
9．（2013年长沙十二校联考）设曲线y＝x n＋1(n∈N＊）在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,则x1·x2·x3·…·x2 012的值为________．
解析：∵y′＝（n＋1)x n，∴曲线在点(1,1）处的切线斜率k＝n ＋1，切线方程为y－1＝（n＋1）(x－1)，即y＝（n＋1)x－n，令y ＝0得x n＝错误!，∴x1·x2·x3·…·x2 012＝错误!·错误!·错误!·…·错误!
＝
1
2 013
.
答案：错误!
三、解答题
10．设函数f（x)＝x3＋ax2－9x－1，当曲线y＝f(x)斜率最小的切
线与直线12x＋y＝6平行时，求a的值．
解析:f′（x）＝3x2＋2ax－9＝3（x＋错误!）2－9－错误!,即当x＝－
错误!时,函数f′（x）取得最小值－9－错误!，因斜率最小的切线与12x ＋y＝6平行，
即该切线的斜率为－12，所以－9－错误!＝－12，
即a2＝9，∴a＝±3。

11．已知函数f（x)＝x3－x.
(1)求曲线y＝f（x）过点（1,0)的切线方程；
(2）若过x轴上的点(a,0）可以作曲线y＝f(x)的三条切线，求a 的取值范围．
解析：(1)由题意得f′(x）＝3x2－1.曲线y＝f（x）在点M（t，f （t))处的切线方程为y－f（t）＝f′（t）（x－t），即y＝(3t2－1）·x －2t3，将点(1,0）代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0，解得t＝1或－错误!，代入y＝（3t2－1）x－2t3得曲线y＝f（x)的过点(1，0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－错误!x＋错误!.
(2)由(1)知若过点（a,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实数根．
记g（t）＝2t3－3at2＋a，
则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．
当a>0时,函数g(t）的极大值是g（0）＝a,极小值是g（a）＝－a3＋a,要使方程g(t）＝0有三个相异的实数根，需使a〉0且－a3＋a<0，即a>0且a2－1〉0，
即a〉1；
当a＝0时，函数g（t)单调递增，方程g（t）＝0不可能有三个
相异的实数根;
当a<0时，函数g（t)的极大值是g（a）＝－a3＋a，极小值是g （0）＝a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a〈0且－a3＋a〉0，即a〈0且a2－1>0,
即a〈－1.
综上所述，a的取值范围是(－∞，－1）∪（1，＋∞)．
12．(能力提升）已知函数f（x)＝ln x，g（x）＝e x。

(1)若函数φ(x)＝f（x)－错误!，求函数φ(x）的单调区间；
（2)设直线l为函数f（x)的图象上一点A(x0，f(x0）)处的切线．证明：在区间(1，＋∞）上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y＝g(x）相切．
解析：(1）∵φ（x)＝f(x）－错误!＝ln x－错误!，
∴φ′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.
∵x>0且x≠1，
∴φ′（x）>0，
∴函数φ（x）的单调递增区间为(0，1)和(1，＋∞）．
（2）∵f′（x）＝错误!，∴f′(x0）＝错误!，
∴切线l的方程为y－ln x0＝错误!（x－x0），
即y＝错误!x＋ln x0－1，①
设直线l与曲线y＝g(x）相切于点(x1，e x1）,
∵g′(x)＝e x,∴e x1＝错误!，∴x1＝－ln x0.
∴直线l的方程为y－错误!＝错误!(x＋ln x0）,
即y＝错误!x＋错误!＋错误!，②
①－②，得ln x0－1＝错误!＋错误!，
∴ln x0＝错误!.
证明:在区间（1，＋∞)上x0存在且唯一．
由（1)可知，φ(x)＝ln x－错误!在区间(1，＋∞）上递增．
又φ(e）＝ln e－错误!＝错误!<0，
φ（e2）＝ln e2－错误!＝错误!>0,
结合零点存在性定理，说明方程φ（x)＝0必在区间（e，e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x0.故结论成立．
［因材施教·学生备选练习］
1．（2011年高考重庆卷)设f（x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′（1)＝2a，f′（2）＝－b，其中常数a，b∈R.
(1）求曲线y＝f(x)在点（1，f（1)）处的切线方程；
(2）设g（x)＝f′（x)e－x，求函数g（x)的极值．
解析：(1）因为f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x）＝3x2＋2ax ＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b,由已知f′(1）＝2a，
因此3＋2a＋b＝2a,解得b＝－3.
又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2）＝－b，
因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－错误!。

因此f(x)＝x3－错误!x2－3x＋1，从而f（1）＝－错误!。

又因为f′(1）＝2×错误!＝－3,故曲线y＝f(x)在点（1，f（1））处的切线方程为y－错误!＝－3（x－1)，即6x＋2y－1＝0。

(2）由(1)知g（x）＝（3x2－3x－3)e－x，
从而有g′（x）＝（－3x2＋9x)e－x。

令g′(x）＝0,得－3x2＋9x＝0,解得x1＝0，x2＝3。

当x∈(－∞，0)时，g′（x)<0，故g（x)在（－∞，0）上为减函数；
当x∈(0，3）时，g′（x)〉0,故g(x)在（0，3）上为增函数；
当x∈（3，＋∞）时,g′（x)<0，故g(x）在(3,＋∞)上为减函数．从而函数g（x）在x1＝0处取得极小值g(0）＝－3，在x2＝3处取得极大值g（3）＝15e－3。

2．(2013年九江模拟)已知a∈R，函数f(x)＝错误!＋ln x－1,g（x）＝(ln x－1）e x＋x（其中e为自然对数的底数）．
(1）判断函数f（x）在(0，e]上的单调性;
(2）是否存在实数x0∈（0，＋∞）,使曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由．
解析：(1）∵f(x）＝a
x＋ln x－1，x∈（0，＋∞)，
∴f′(x)＝－错误!＋错误!＝错误!。

①若a≤0，则f′(x）〉0，f(x）在（0，e]上单调递增；
②若0<a〈e,当x∈(0，a)时，f′（x)〈0，函数f(x)在区间(0,a)上单调递减，
当x∈（a，e］时，f′(x）>0，函数f（x）在区间（a,e]上单调递增；
③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x）在区间(0,e]上单调递减．
(2)∵g（x）＝(ln x－1)e x＋x，x∈(0,＋∞)，
∴g′（x)＝（ln x－1)′e x＋(ln x－1)（e x）′＋1＝e x
x＋（ln x－1）
e x＋1＝错误!e x＋1,
由（1)易知，当a＝1时，f（x)＝1
x＋ln x－1在(0，＋∞）上的最
小值f（x）min＝f(1)＝0，
即x0∈(0,＋∞）时，错误!＋ln x0－1≥0.
学必求其心得，业必贵于专精
又e x0〉0,∴g′（x0)＝错误!e x0＋1≥1〉0.
曲线y＝g(x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x0）＝0有实数解．
而g′(x0）〉0，即方程g′(x0）＝0无实数解．故不存在．
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